第1章 1.1.3　空間向量的坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)系高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)講義

1、1 / 14 1.1.3 空間向量的坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)系空間向量的坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)系 學(xué) 習(xí) 目 標(biāo) 核 心 素 養(yǎng) 1掌握空間向量的坐標(biāo)表示，能在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中寫出向量的坐標(biāo)(重點(diǎn)) 2掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算(重點(diǎn)) 3掌握空間向量的坐標(biāo)與空間向量的平行、垂直的關(guān)系(重點(diǎn)、難點(diǎn)) 4理解空間直角坐標(biāo)系的定義、建系方法，以及空間的點(diǎn)的坐標(biāo)確定方法并能簡(jiǎn)單運(yùn)用 1通過空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理素養(yǎng) 2通過對(duì)空間直角坐標(biāo)系的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng) 一塊巨石從山頂墜落，擋住了前面的路，搶修隊(duì)員緊急趕到，從三個(gè)方向拉巨石，這三個(gè)力分別為 f1，f2，f3，它們兩兩垂直，且|

2、f1|3 000 n，|f2|2 000 n，|f3|2 000 3 n，若以 f1，f2，f3的方向分別為 x 軸、y 軸、z 軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，巨石受合力的坐標(biāo)是什么？怎樣求巨石受到的合力的大?。窟@就需要用到空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 1空間中向量的坐標(biāo) 一般地，如果空間向量的基底e1，e2，e3中，e1，e2，e3都是單位向量，而且這三個(gè)向量?jī)蓛纱怪?，就稱這組基底為單位正交基底，在單位正交基底下向量的分解稱為向量的單位正交分解，而且，如果 pxe1ye2ze3，則稱有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)為向量 p 的坐標(biāo)，記作 p(x，y，z)其中 x，y，z 都稱為 p 的坐標(biāo)分量 思考 1：

3、若 axe1ye2ze3，則 a 的坐標(biāo)一定是(x，y，z)嗎？ 提示 不一定，當(dāng) e1，e2，e3是單位正交基底時(shí)，坐標(biāo)是(x，y，z)，否則不是 2空間向量的運(yùn)算與坐標(biāo)的關(guān)系 2 / 14 假設(shè)空間中兩個(gè)向量 a，b 滿足 a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，則有以下結(jié)論： (1)ab(x1x2，y1y2，z1z2)； (2)若 u，v是兩個(gè)實(shí)數(shù)，uavb(ux1vx2，uy1vy2，uz1vz2)； (3)a bx1x2y1y2z1z2； (4)|a| a a x21y21z21； (5)當(dāng) a0 且 b0 時(shí)，cosa，ba b|a| |b|x1x2y1y2z1z2x21y

4、21z21x22y22z22 思考 2：若向量ab(x，y，z)，則點(diǎn) b 的坐標(biāo)一定是(x，y，z)嗎？ 提示 不一定，a點(diǎn)與原點(diǎn)重合時(shí)是，不重合時(shí)不是 3空間向量的坐標(biāo)與空間向量的平行、垂直 (1)當(dāng) a0 時(shí)，abba(x2，y2，z2)(x1，y1，z1) x2x1y2y1z2z1，當(dāng)a 的每一個(gè)坐標(biāo)分量都不為零時(shí)，有 abx2x1y2y1z2z1 (2)aba b0 x1x2y1y2z1z20 4空間直角坐標(biāo)系 (1)在空間中任意選定一點(diǎn) o 作為坐標(biāo)原點(diǎn)，選擇合適的平面先建立平面直角坐標(biāo)系 xoy，然后過 o 作一條與 xoy 平面垂直的數(shù)軸 z 軸這樣建立的空間直角坐標(biāo)系記作 o

5、xyz (2)在空間直角坐標(biāo)系 oxyz 中，x 軸、y 軸、z 軸是兩兩垂直的，它們都稱為坐標(biāo)軸，通過每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面都稱為坐標(biāo)平面 (3)z 軸正方向的確定：在 z 軸的正半軸看 xoy 平面，x軸的正半軸繞 o點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90 能與 y軸的正半軸重合 (4)空間直角坐標(biāo)系的畫法：在平面內(nèi)畫空間直角坐標(biāo)系 oxyz 時(shí)，一般把 x軸、y 軸畫成水平放置，x 軸正方向與 y 軸正方向夾角為 135 (或 45 )，z 軸與 y軸(或 x軸)垂直 (5)空間中一點(diǎn)的坐標(biāo)：空間一點(diǎn) m 的坐標(biāo)可用有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)來表示，有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做點(diǎn) m 在此空間直角坐標(biāo)系中的

6、坐標(biāo)，其中 x 叫做3 / 14 點(diǎn) m 的橫坐標(biāo)(或 x 坐標(biāo))，y 叫做點(diǎn) m 的縱坐標(biāo)(或 y 坐標(biāo))，z 叫做點(diǎn) m 的豎坐標(biāo)(或 z 坐標(biāo)) (6)三個(gè)坐標(biāo)平面將不在坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)分成了八個(gè)部分，每一部分都稱為一個(gè)卦限，按逆時(shí)針方向，在坐標(biāo)平面 xoy 的上方，分別是第卦限，第卦限，第卦限，第卦限，在平面 xoy 的下方，分別是第卦限，第卦限，第卦限，第卦限，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，第卦限的點(diǎn)集用集合可表示為(x，y，z)|x0，y0，z0 5空間向量坐標(biāo)的應(yīng)用 (1)點(diǎn) p(x，y，z)到坐標(biāo)原點(diǎn) o(0,0,0)的距離 op x2y2z2 (2) 任 意 兩 點(diǎn)p1(x1， y1，

7、z1) ， p2(x2， y2， z2) 間 的 距 離p1p2(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2 1思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”) (1)以原點(diǎn)為始點(diǎn)的向量op的坐標(biāo)和點(diǎn) p的坐標(biāo)相同 ( ) (2)若 a b0，則 ab ( ) (3)在空間直角坐標(biāo)系中，在 ox軸上的點(diǎn)一定是(0，b，c) ( ) (4)在空間直角坐標(biāo)系中，在 xoz平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,0，c) ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 提示 (2) a0 或 b0 時(shí)，a 與 b 不垂直 (3) 坐標(biāo)應(yīng)為(a,0,0) 2(教材 p19例 2改編)已知向量 a(3，2,1)，b(2,4,0)，則

8、 4a2b等于( ) a(16,0,4) b(8，16,4) c(8,16,4) d(8,0,4) d 4a2b4(3，2,1)2(2,4,0)(12，8,4)(4,8,0)(8,0,4) 3已知e1，e2，e3是單位正交基底，則 pe12e23e3的坐標(biāo)為_ 4 / 14 (1,2,3) p(1,2,3) 4在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) p(3,4,5)與 q(3，4，5)兩點(diǎn)的位置關(guān)系是_ 關(guān)于 x 軸對(duì)稱 點(diǎn) p(3,4,5)與 q(3，4，5)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，而縱、豎坐標(biāo)互為相反數(shù)，所以兩點(diǎn)關(guān)于 x軸對(duì)稱 空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 【例 1】 (1)如圖，在棱長(zhǎng)為 1 的正方體 abcd- ab

9、cd中，e，f，g 分別為棱 dd，dc，bc 的中點(diǎn)，以ab，ad，aa為基底，求下列向量的坐標(biāo) ae，ag，af； ef，eg，dg (2)已知空間四點(diǎn) a，b，c，d 的坐標(biāo)分別是(1,2,1)，(1,3,4)，(0，1,4)，(2，1，2)若 pab，qcd求p2q；3pq；(pq) (pq) 解 (1)aeaddead12ddad12aa0，1，12， agabbgab12ad1，12，0 ， afaaaddfaaad12ab12，1，1 efafae(aaad12ab)(ad12aa)12aa12ab12，0，12， 5 / 14 egagaeab12adad12aa ab12ad

10、12aa1，12，12， dgagadab12adadab12ad1，12，0 (2)由于 a(1,2,1)，b(1,3,4)，c(0，1,4)，d(2，1，2)，所以 pab(2,1,3)，qcd(2,0，6) p2q(2,1,3)2(2,0，6)(2,1,3)(4,0，12)(6,1，9)； 3pq3(2,1,3)(2,0，6)(6,3,9)(2,0，6)(4,3,15)； (pq) (pq)p2q2|p|2|q|2(221232)(220262)26 用坐標(biāo)表示空間向量的步驟 (1) (2)空間向量進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算的規(guī)律是首先進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，再進(jìn)行加法或減法運(yùn)算，最后進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算，先算括號(hào)里

11、，后算括號(hào)外 提醒：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算與平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則基本一樣，應(yīng)注意一些計(jì)算公式的應(yīng)用 跟進(jìn)訓(xùn)練 1已知 o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，a，b，c 三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2，1,2)，(4,5，1)，(2,2,3)，求點(diǎn) p 的坐標(biāo)，使 (1)op12(abac)； (2)ap12(abac) 6 / 14 解 ab(2,6，3)，ac(4,3,1)， abac(6,3，4) (1)op12(abac)12(6,3，4)3，32，2 ， 則點(diǎn) p的坐標(biāo)為3，32，2 (2)設(shè)點(diǎn) p的坐標(biāo)為(x，y，z)， 則ap(x2，y1，z2) ap12(abac)3，32，2 ， x23，y132，z22. 即

12、 x5，y12，z0， 則點(diǎn) p的坐標(biāo)為5，12，0 空間中點(diǎn)的坐標(biāo)確定及應(yīng)用 【例 2】 在棱長(zhǎng)為 1 的正方體 abcd- a1b1c1d1中，e，f 分別是 d1d、bd 的中點(diǎn)，g 在棱 cd 上，且 cg14cd，h 為 c1g 的中點(diǎn)，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出 e，f，g，h的坐標(biāo)并求 gh的長(zhǎng)度 解 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系點(diǎn) e 在 z 軸上，它的 x 坐標(biāo)，y 坐標(biāo)均為 0，而 e為 dd1的中點(diǎn)， 故其坐標(biāo)為0，0，12 7 / 14 由 f 作 fmad 于 m 點(diǎn)、fndc 于 n 點(diǎn)，由平面幾何知 fm12，fn12， 則 f點(diǎn)坐標(biāo)為12，12，0 點(diǎn) g 在 y

13、 軸上，其 x、z 坐標(biāo)均為 0，又 gd34，故 g 點(diǎn)坐標(biāo)為0，34，0 由 h作 hkcg 于 k 點(diǎn)，由于 h為 c1g的中點(diǎn)，故 hk12，ck18 dk78，故 h點(diǎn)坐標(biāo)為0，78，12 gh錯(cuò)誤錯(cuò)誤! !錯(cuò)誤錯(cuò)誤! ! 1建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)應(yīng)遵循以下原則 (1)讓盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面內(nèi)； (2)充分利用幾何圖形的對(duì)稱性 2求某點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，一般先找出這一點(diǎn)在某一坐標(biāo)平面上的射影，確定其兩個(gè)坐標(biāo)，再找出它在另一軸上的射影(或者通過它到這個(gè)坐標(biāo)平面的距離加上正負(fù)號(hào))，確定第三個(gè)坐標(biāo) 3利用空間兩點(diǎn)間的距離公式求線段長(zhǎng)度問題的一般步驟： 跟進(jìn)訓(xùn)練 2如圖所示，在長(zhǎng)方體 a

14、bcd- a1b1c1d1中，|ab|ad|3，|aa1|2，點(diǎn)8 / 14 m 在 a1c1上，|mc1|2|a1m|，n 在 d1c 上且為 d1c 的中點(diǎn)，求線段 mn 的長(zhǎng)度 解 如圖所示，分別以 ab，ad，aa1所在的直線為 x 軸、y 軸、z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 由題意可知 c(3,3,0)，d(0,3,0)， |dd1|cc1|aa1|2， c1(3,3,2)，d1(0,3,2)， n 為 cd1的中點(diǎn)， n32，3，1 m是 a1c1的三等分點(diǎn)且靠近 a1點(diǎn)， m(1,1,2)由兩點(diǎn)間距離公式，得 mn錯(cuò)誤錯(cuò)誤! !錯(cuò)誤錯(cuò)誤! ! 空間向量的平行與垂直 探究問題 1空間向量

15、的平行與垂直與平面向量的平行與垂直有什么關(guān)系？ 提示 (1)類比平面向量平行、垂直：空間兩個(gè)向量平行、垂直與平面兩個(gè)向量平行、垂直的表達(dá)式不一樣，但實(shí)質(zhì)是一致的 (2)轉(zhuǎn)化：判定空間兩直線平行或垂直只需判斷兩直線對(duì)應(yīng)的方向向量是否平行或垂直 2空間中三點(diǎn)共線的充要條件是什么？ 提示 三個(gè)點(diǎn) a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，c(x3，y3，z3)共線的充要條9 / 14 件是x2x1x3x1y2y1y3y1z2z1z3z1 簡(jiǎn)證：三個(gè)點(diǎn) a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，c(x3，y3，z3)共線的充要條件為abac，即向量ab與向量ac共線，其坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例，從而

16、有x2x1x3x1y2y1y3y1z2z1z3z1 【例 3】 已知空間三點(diǎn) a(2,0,2)，b(1,1,2)，c(3,0,4)，設(shè) aab，bac (1)若|c|3，cbc求 c； (2)若 kab 與 ka2b 互相垂直，求 k 思路探究 先求 a，b，再根據(jù)向量平行與垂直的充要條件列方程求解 解 (1)因?yàn)閎c(2，1,2)，且 cbc， 所以設(shè) cbc(2，2)， 得|c|(2)2()2(2)23|3， 解得 1即 c(2，1,2)或 c(2,1，2) (2)因?yàn)?aab(1,1,0)，bac(1,0,2)， 所以 kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4) 又因?yàn)?kab)(

17、ka2b)， 所以(kab) (ka2b)0 即(k1，k,2) (k2，k，4) 2k2k100解得 k2或 k52 故所求 k的值為 2 或52 1(變條件)若將本例(1)中“cbc”改為“ca 且 cb”，求 c 解 aab(1,1,0)，bac(1,0,2) 設(shè) c(x，y，z) 10 / 14 由題意得 x2y2z29，xy0，x2z0 解得 x2，y2，z1或 x2，y2，z1， 即 c(2，2,1)或 c(2,2，1) 2(變條件)若將本例(2)改為“若 kab 與 ka2b 互相垂直”求 k的值 解 aab(1,1,0)，bac(1,0,2) 所以 kab(k1，k，2)， k

18、a2b(k2，k,4) (kab)(ka2b)， (kab) (ka2b)0， 即(k1，k，2) (k2，k,4)(k1)(k2)k280，解得 k2 或 k52 故所求 k的值為2 或52 解決空間向量垂直、平行問題的思路 (1)當(dāng)有關(guān)向量已知時(shí)，通常需要設(shè)出向量的坐標(biāo)，例如，設(shè)向量 a(x，y，z) (2)在有關(guān)平行的問題中，通常需要引入?yún)?shù)，例如，已知 ab，則引入?yún)?shù) ，有 ab，再轉(zhuǎn)化為方程組求解 (3)選擇向量的坐標(biāo)形式，可以達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的 利用坐標(biāo)運(yùn)算解決夾角、距離問題 【例 4】 如圖所示，在棱長(zhǎng)為 1 的正方體 abcd- a1b1c1d1中，e，f 分別是 d1d，b

19、d的中點(diǎn)，g在棱 cd上，且 cg14cd，h為 c1g的中點(diǎn) 11 / 14 (1)求證：efb1c； (2)求 ef與 c1g所成角的余弦值； (3)求 fh的長(zhǎng) 思路探究 根據(jù)正方體的特殊性，可考慮建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)及向量的坐標(biāo)，套用數(shù)量積、夾角、模長(zhǎng)公式即可 解 (1)證明：如圖所示，以 d為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系 d- xyz，易知 e0，0，12，f12，12，0 ，c(0,1,0)，c1(0,1,1)，b1(1,1,1)，g0，34，0 ，h0，78，12 ef12，12，0 0，0，1212，12，12， b1c(0,1,0)(1,1,1)(1,0，1)， e

20、f b1c12(1)12012(1)0， efb1c，即 efb1c (2)由(1)易知c1g0，34，0 (0,1,1) 0，14，1 ， ef12，12，12， |c1g|174，|ef|32， 12 / 14 ef c1g120121412(1)38， cosef，c1gef c1g|ef|c1g|5117， 即異面直線 ef 與 c1g所成角的余弦值為5117 (3)由(1)知 f12，12，0 ，h0，78，12， fh12，38，12， 即 fh的長(zhǎng)為418 通過分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，以便寫出點(diǎn)的坐標(biāo).建立坐標(biāo)系后，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然

21、后再寫出相應(yīng)向量的坐標(biāo)表示，把向量坐標(biāo)化，然后利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解夾角和距離問題. 提醒：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系能給解題帶來方便. 跟進(jìn)訓(xùn)練 3如圖所示，在直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面的棱柱)abc- a1b1c1中，cacb1，bca90 ，棱 aa12，n 為 a1a的中點(diǎn) (1)求 bn 的長(zhǎng)； (2)求ba1與cb1夾角的余弦值 解 如圖，以ca，cb，cc1為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系 cxyz 13 / 14 (1)依題意得 b(0,1,0)，n(1,0,1)， |bn| (10)2(01)2(10)2 3， 線段 bn 的長(zhǎng)為 3 (2)依題意得 a1(1,0,2)，c(0,0,0)，b(0,1,0)，b1(0,1,2)， ba1(1，1,2)，cb1(0,1,2)， ba1 cb110(1)1223 又|ba1| 6，|cb1| 5， cosba1，cb1b