選擇性必修第一冊(cè)第一章 1.4.1 第2課時(shí) 空間中直線、平面的平行

1、1 / 17 第第 2 課時(shí)課時(shí) 空間中直線、平面的平行空間中直線、平面的平行 學(xué)習(xí)目標(biāo) 熟練掌握用方向向量、法向量證明線線、線面、面面間的平行關(guān)系 知識(shí)點(diǎn)一 線線平行的向量表示 設(shè) u1，u2分別是直線 l1，l2的方向向量，則 l1l2u1u2r，使得 u1u2. 知識(shí)點(diǎn)二 線面平行的向量表示 設(shè) u 是直線 l 的方向向量，n 是平面 的法向量，l，則 lunu n0. 知識(shí)點(diǎn)三 面面平行的向量表示 設(shè) n1 ，n2 分別是平面 ， 的法向量，則 n1n2r，使得 n1n2 . 思考 怎么利用向量證明或判定直線和平面的位置關(guān)系？ 答案 證明或判定直線和平面的位置關(guān)系有兩類思路 (1)轉(zhuǎn)化

2、為線線關(guān)系，然后利用兩個(gè)向量的關(guān)系進(jìn)行判定；(2)利用直線的方向向量和平面的法向量進(jìn)行判定 1已知直線 l的方向向量為 a(1,2,0)，平面 的法向量為 n(2,1，1)，則( ) al bl cl dl或 l 答案 d 2若平面 ，且平面 的一個(gè)法向量為 n2，1，12，則平面 的法向量可以是( ) a.1，12，14 b(2，1,0) c(1,2,0) d.12，1，2 答案 a 3若兩個(gè)不同平面 ， 的法向量分別為 u(1,2，1)，v(4，8,4)，則平面 ， 的位置是_ 答案 2 / 17 解析 u14v，. 一、證明線線平行 例 1 在長方體 abcda1b1c1d1中，ab3，

3、ad4，aa12，點(diǎn) m 在棱 bb1上，且 bm2mb1，點(diǎn) s在 dd1上，且 sd12sd，點(diǎn) n，r分別為 a1d1，bc的中點(diǎn)求證：mnrs. 證明 方法一 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系， 根據(jù)題意得 m3，0，43，n(0,2,2)，r(3,2,0)，s0，4，23. 則mn，rs分別為 mn，rs的方向向量， 所以mn3，2，23，rs3，2，23， 所以mnrs，所以mnrs，因?yàn)?mrs， 所以 mnrs. 方法二 設(shè)aba，adb，aa1c， 則mnmb1b1a1a1n13ca12b， rsrccdds12ba13c. 所以mnrs，所以mnrs. 又 rmn，所以 mnr

4、s. 反思感悟 利用向量證明線線平行的思路 證明線線平行只需證明兩條直線的方向向量共線即可 跟蹤訓(xùn)練 1 如圖所示，在正方體 abcda1b1c1d1中，e，f 分別為 dd1和 bb1的中點(diǎn)求證：四邊形 aec1f是平行四邊形 證明 以點(diǎn) d 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以da，dc，dd1為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)3 / 17 正方體的棱長為 1，則 a(1,0,0)，e0，0，12，c1(0,1,1)，f1，1，12， ae1，0，12，fc11，0，12，ec10，1，12，af0，1，12， aefc1，ec1af， aefc1，ec1af， 又fae，fec1， aefc1，ec1a

5、f， 四邊形 aec1f 是平行四邊形 二、證明線面平行 例 2 在四棱錐 pabcd 中，四邊形 abcd 是正方形，側(cè)棱 pd 垂直于底面 abcd，pddc，e是 pc的中點(diǎn)證明：pa平面 edb. 證明 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，d是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè) pddca. 連接 ac，交 bd于點(diǎn) g，連接 eg， 依題意得 d(0,0,0)，a(a，0,0)，p(0,0，a)，e0，a2，a2. 方法一 設(shè)平面 bde 的法向量為 n(x，y，z)， 又de0，a2，a2， eba，a2，a2， 則有 n de0，n eb0， 4 / 17 即 a2(yz)0，axy2z20， 即 yz0，

6、2xyz0. 令 z1，則 x1，y1，所以 n(1，1,1)， 又pa(a，0，a)， 所以 n pa(1，1,1) (a，0，a)aa0. 所以 npa. 又 pa平面 edb，所以 pa平面 edb. 方法二 因?yàn)樗倪呅?abcd 是正方形， 所以 g是此正方形的中心， 故點(diǎn) g的坐標(biāo)為a2，a2，0 ，所以ega2，0，a2. 又pa(a，0，a)， 所以pa2eg，這表明 paeg. 而 eg平面 edb，且 pa平面 edb， 所以 pa平面 edb. 方法三 假設(shè)存在實(shí)數(shù) ， 使得padeeb， 即(a，0，a)0，a2，a2a，a2，a2， 則有 aa，0a2a2a2()，aa

7、2a2， 解得 1，1. 所以padeeb，又 pa平面 edb， 所以 pa平面 edb. 反思感悟 證明線面平行問題的方法 (1)證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一向量是共線向量且直線不在平面內(nèi)； 5 / 17 (2)證明直線的方向向量可以用平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量表示且直線不在平面內(nèi)； (3)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直且直線不在平面內(nèi) 跟蹤訓(xùn)練 2 在如圖所示的多面體中，ef平面 aeb，aeeb，adef，efbc，bc2ad4，ef3，aebe2，g是 bc 的中點(diǎn)，求證：ab平面 deg. 證明 ef平面 aeb，ae平面 aeb，be平面 aeb， efae，efbe. 又a

8、eeb， eb，ef，ea兩兩垂直 以點(diǎn) e 為坐標(biāo)原點(diǎn)，eb，ef，ea 分別為 x 軸，y 軸，z 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 由已知得，a(0,0,2)，b(2,0,0)，c(2,4,0)，f(0,3,0)，d(0,2,2)，g(2,2,0)， ed(0,2,2)，eg(2,2,0)，ab(2,0，2) 設(shè)平面 deg的法向量為 n(x，y，z)， 則 ed n0，eg n0，即 2y2z0，2x2y0， 令 y1，得 z1，x1，則 n(1,1，1)， ab n2020，即abn. ab平面 deg， ab平面 deg. 三、證明面面平行 例 3 已知正方體 abcda1b1c1d

9、1的棱長為 2，e，f 分別是 bb1，dd1的中點(diǎn)， 求證：平面 ade平面 b1c1f. 證明 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 dxyz， 6 / 17 則 d(0,0,0)，a(2,0,0)，c(0,2,0)，c1(0,2,2)，e(2,2,1)，f(0,0,1)，b1(2,2,2)， 所以fc1(0,2,1)，da(2,0,0)，ae(0,2,1)，c1b1(2,0,0)， 設(shè) n1(x1，y1，z1)是平面 ade的法向量， 則 n1da，n1ae， 即 n1 da2x10，n1 ae2y1z10，得 x10，z12y1. 令 z12，則 y11，所以可取 n1(0，1,2) 同理，設(shè)

10、 n2(x2，y2，z2)是平面 b1c1f的一個(gè)法向量 由 n2fc1，n2c1b1， 得 n2 fc12y2z20，n2 c1b12x20， 解得 x20，z22y2. 令 z22，得 y21， 所以 n2(0，1,2) 因?yàn)?n1n2，即 n1n2， 所以平面 ade平面 b1c1f. 反思感悟 證明面面平行問題的方法 (1)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行 (2)將面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行然后用向量共線進(jìn)行證明 跟蹤訓(xùn)練 3 在直四棱柱 abcda1b1c1d1中，底面 abcd 為等腰梯形，abcd，ab4，bccd2，aa12，f是棱 ab的中點(diǎn) 試用向量的方法

11、證明：平面 aa1d1d平面 fcc1. 證明 因?yàn)?ab4，bccd2，f 是棱 ab的中點(diǎn)， 7 / 17 所以 bfbccf，所以bcf 為正三角形 因?yàn)?abcd為等腰梯形，ab4，bccd2，所以badabc60 . 取 af的中點(diǎn) m，連接 dm， 則 dmab，所以 dmcd. 以 d 為原點(diǎn)，dm為 x軸，dc為 y 軸，dd1為 z軸建立空間直角坐標(biāo)系 dxyz， 則 d(0,0,0)，d1(0,0,2)，a( 3，1,0)，f( 3，1,0)，c(0,2,0)，c1(0,2,2)， 所以dd1(0,0,2)，da( 3，1,0)，cf( 3，1,0)，cc1(0,0,2)，

12、 所以dd1cc1，dacf， 所以 dd1cc1，dacf， 又 dd1dad，cc1cfc，dd1，da平面 aa1d1d，cc1，cf平面 fcc1， 所以平面 aa1d1d平面 fcc1. 面面平行之探究 典例 如圖所示，在正方體 ac1中，o 為底面 abcd 中心，p 是 dd1的中點(diǎn)，設(shè) q 是 cc1上的點(diǎn)，問：當(dāng)點(diǎn) q在什么位置時(shí)，平面 d1bq平面 pao. 解 如圖所示，分別以 da，dc，dd1所在直線為 x，y，z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，在cc1上任取一點(diǎn) q，連接 bq，d1q. 設(shè)正方體的棱長為 1， 則 o12，12，0 ，p0，0，12， 8 / 17 a(

13、1,0,0)，b(1,1,0)，d1(0,0,1)， 則 q(0,1，z)， 則op12，12，12，bd1(1，1,1)， bd12op，opbd1，opbd1. ap1，0，12，bq(1,0，z)， 當(dāng) z12時(shí)，apbq， 即 apbq，又 apopp，bqbd1b， ap，op平面 pao，bq，bd1平面 d1bq， 則有平面 pao平面 d1bq， 當(dāng) q為 cc1的中點(diǎn)時(shí)，平面 d1bq平面 pao. 素養(yǎng)提升 (1)求點(diǎn)的坐標(biāo)：可設(shè)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)面面平行的判定定理轉(zhuǎn)化為向量共線問題或者利用兩個(gè)平面的法向量共線，進(jìn)而建立與所求點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)的等式 (2)由結(jié)論推應(yīng)具備的條件

14、的逆向推理是邏輯推理中的一種基本形式，通過應(yīng)用推理的方式與方法，能較好的培養(yǎng)學(xué)生的合乎邏輯的思維品質(zhì) 1已知向量 a(2,4,5)，b(3，x，y) 分別是直線 l1，l2 的方向向量，若 l1l2 ，則( ) ax6，y15 bx3，y152 cx3，y15 dx6，y152 答案 d 解析 由題意得，32x4y5，x6，y152 . 2如果直線 l 的方向向量是 a(2,0,1)，且直線 l 上有一點(diǎn) p 不在平面 上，平面 的法向量是 b(2,0,4)，那么( ) al bl cl dl與 斜交 答案 b 解析 直線 l的方向向量是 a(2,0,1)，平面 的法向量是 b(2,0,4)，

15、 a b4040， 直線 l在平面 內(nèi)或者與平面平行， 又直線 l上有一點(diǎn) p 不在平面 上， 9 / 17 l. 3若直線 l的方向向量為 a，平面 的法向量為 n，能使 l 的是( ) aa(1,0,0)，n(2,0,0) ba(1,3,5)，n(1,0,1) ca(0,2,1)，n(1,0，1) da(1，1,3)，n(0,3,1) 答案 d 解析 若 l，則 a n0. 而 a 中 a n2， b中 a n156， c中 a n1，只有 d 選項(xiàng)中 a n330. 4設(shè)平面 ， 的一個(gè)法向量分別為 u(1,2，2)，v(3，6,6)，則 ， 的位置關(guān)系為_ 答案 平行 解析 v3(1,

16、2，2)3u，. 5已知直線 l平面 abc，且 l 的一個(gè)方向向量為 a(2，m，1)，a(0,0,1)，b(1,0,0)，c(0,1,0)則實(shí)數(shù) m的值是_ 答案 3 解析 l平面 abc， 存在實(shí)數(shù) x，y，使 axabyac，ab(1,0，1)，ac(0,1，1)， (2，m，1)x(1,0，1)y(0,1，1)(x，y，xy)， 2x，my，1xy，m3. 1知識(shí)清單： (1)線線平行的向量表示 (2)線面平行的向量表示 (3)面面平行的向量表示 2方法歸納：坐標(biāo)法、轉(zhuǎn)化化歸 3常見誤區(qū)：通過向量和平面平行直接得到線面平行，忽略條件直線不在平面內(nèi) 10 / 17 1與向量 a(1，3

17、,2)平行的一個(gè)向量的坐標(biāo)是( ) a.13，1，1 b(1，3,2) c.12，32，1 d( 2，3，2 2) 答案 c 解析 a(1，3,2)212，32，1 . 2若平面 ， 的一個(gè)法向量分別為 m16，13，1 ，n12，1，3 ，則( ) a b c 與 相交但不垂直 d 或 與 重合 答案 d 解析 因?yàn)?n3m，所以 mn，所以 或 與 重合 3已知直線 l 的方向向量是 a(3,2,1)，平面 的法向量是 u(1,2，1)，則 l與 的位置關(guān)系是( ) al bl cl與 相交但不垂直 dl或 l 答案 d 解析 因?yàn)?a u3410，所以 au.所以 l 或 l. 4(多選

18、)若直線 l的一個(gè)方向向量為 d(6,2,3)，平面 的一個(gè)法向量為 n(1,3,0)，則直線 l與平面 的位置關(guān)系是( ) a垂直 b平行 c直線 l在平面 內(nèi) d不能確定 答案 bc 解析 d n62300，dn，直線 l 與平面 的位置關(guān)系是直線 l 在平面 內(nèi)或平行 5已知平面 的法向量是(2,3，1)，平面 的法向量是(4，2)，若 ，則 的值是( ) a103 b6 c6 d.103 答案 b 解析 ，的法向量與 的法向量也互相平行 24312，6. 11 / 17 6已知平面 內(nèi)的三點(diǎn) a(0,0,1)，b(0,1,0)，c(1,0,0)，平面 的一個(gè)法向量為 n(1，1，1)，

19、且 與 不重合，則 與 的位置關(guān)系是_ 答案 解析 ab(0,1，1)，ac(1,0，1)， n ab(1，1，1) (0,1，1) 10(1)1(1)(1)0， n ac(1，1，1) (1,0，1) 110(1) (1)0， nab，nac. n 也為 的一個(gè)法向量，又 與 不重合， . 7若 ax，2y1，14是平面 的一個(gè)法向量，且 b(1,2,1)，c3，12，2 均與平面 平行，則向量 a_. 答案 952，126，14 解析 由題意，知 a b0，a c0， 即 x4y940，3xy0，解得 x952，y2752， 所以 a952，126，14. 8已知 ， 為兩個(gè)不重合的平面，

20、設(shè)平面 與向量 a(1,2，4)垂直，平面 與向量 b(2,4，8)垂直，則平面 與 的位置關(guān)系是_ 答案 平行 解析 由題意得 a，b 分別為 ，的一個(gè)法向量，又 ab，. 9如圖，在三棱柱 abca1b1c1中，側(cè)棱垂直于底面，abbc，e，f 分別為 a1c1和 bc的中點(diǎn)求證：c1f平面 abe. 證明 如圖，以 b 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 bc，ba，bb1所在直線為 x 軸、y 軸、z 軸建立如圖12 / 17 所示的空間直角坐標(biāo)系 設(shè) bca，abb，bb1c， 則 b(0,0,0)，a(0，b，0)，c1(a，0，c)，fa2，0，0 ，ea2，b2，c . 所以ab(0，b，0)

21、，aea2，b2，c . 設(shè)平面 abe 的一個(gè)法向量為 n(x，y，z)， 則 n ab0，n ae0， 即 by0，a2xb2ycz0， 令 x2，則 y0，zac，即 n2，0，ac. 又c1fa2，0，c ，所以 n c1f0， 又 c1f平面 abe， 所以 c1f平面 abe. 10已知棱長為 1 的正方體 abcda1b1c1d1中，e，f，m 分別是 a1c1，a1d 和 b1a 上任意一點(diǎn)求證：平面 a1ef平面 b1mc. 證明 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系 dxyz，a1(1,0,1)，b1(1,1,1)，c1(0,1,1)，a(1,0,0)，d(0,0,0)，c(0,1,0

22、)， 則a1c1 (1,1,0), b1c (1,0，1), da1(1,0,1), b1a(0，1，1)， 設(shè)a1ea1c1，a1fa1d,b1mvb1a(，vr，且均不為 0) 設(shè) n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)分別是平面 a1ef 與平面 b1mc的法向量， 13 / 17 可得 n1 a1e0，n1 a1f0， 可得 n1 a1c10，n1 da10，即 x1y10，x1z10， 所以可取 n1(1,1, 1) 由 n2 b1m0，n2 b1c0， 可得 n2 b1a0，n2 b1c0， 即 y2z20，x2z20， 可取 n2(1,1，1)，所以 n1n2，所以

23、n1n2， 所以平面 a1ef平面 b1mc. 11.如圖，在正方體 ac1中，pq 與直線 a1d 和 ac 都垂直，則直線 pq 與 bd1的關(guān)系是( ) a異面直線 b平行直線 c垂直不相交 d垂直且相交 答案 b 解析 設(shè)正方體的棱長為 1，取 d點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建系后，da1(1,0,1), ac(1,1,0)， 設(shè)pq(a，b，c)， 14 / 17 則 ac0，ab0， 取pq(1,1，1)， bd1(0,0,1)(1,1,0)(1，1,1)pq ， pqbd1 ， pqbd1. 12.如圖，正方形 abcd 與矩形 acef 所在平面互相垂直，ab 2，af1，m 在 ef 上，且

24、 am平面 bde.則 m點(diǎn)的坐標(biāo)為( ) a(1,1,1) b.23，23，1 c.22，22，1 d.24，24，1 答案 c 解析 方法一 以 c為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示 則 c(0,0,0)，d( 2，0,0)，b(0， 2，0)，e(0,0,1)，a( 2， 2，0)， de( 2，0,1)，bd( 2， 2，0)， 設(shè) m(a，a，1)，平面 bde的法向量為 n(x，y，z)， 則 n de0，n bd0，即 2xz0，2x 2y0， 令 z 2，則 x1，y1，所以 n(1,1， 2)， 又am(a 2，a 2，1)， am na 2a 2 20， a22，即 m22

25、，22，1 . 方法二 設(shè) ac 與 bd 相交于 o點(diǎn)，連接 oe，由 am平面 bde，且 am平面 acef，平15 / 17 面 acef平面 bdeoe， 所以 ameo， 又 o 是正方形 abcd 對(duì)角線交點(diǎn)， 所以 m 為線段 ef 的中點(diǎn) 在空間直角坐標(biāo)系中，e(0,0,1)，f( 2， 2，1) 由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，知點(diǎn) m的坐標(biāo)為22，22，1 . 13(多選)如圖，在平行六面體 abcda1b1c1d1中，點(diǎn) m，p，q 分別為棱 ab，cd，bc的中點(diǎn)，平行六面體的各棱長均相等下列結(jié)論中正確的是( ) aa1md1p b. a1mb1q ca1m平面 dcc1d1 da1m平面 d1pqb1 答案 acd 解析 因?yàn)閍