高中數(shù)學(xué)必修一第四章　§4　指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長的比較§5　信息技術(shù)支持的函數(shù)研究

1、1 / 5 第四章對(duì)數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù) 4 指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長的比較 * 5 信息技術(shù)支持的函數(shù)研究 課后篇鞏固提升 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練 1.某公司為了適應(yīng)市場需求對(duì)產(chǎn)品結(jié)構(gòu)作了重大調(diào)整,調(diào)整后初期利潤增長迅速,后來增長越來越慢.若要建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來反映該公司調(diào)整后利潤 y 與時(shí)間 x 的關(guān)系,可選用( ) a.一次函數(shù) b.冪函數(shù) c.指數(shù)型函數(shù) d.對(duì)數(shù)型函數(shù) 解析初期利潤增長迅速,后來增長越來越慢.可用對(duì)數(shù)型函數(shù)模型來反映調(diào)整后利潤與時(shí)間的關(guān)系. 答案 d 2.(多選題)有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表所示: x 1 2 3 4 5 y 1.5 5.9 13.4 24.1 37 則下列所給函數(shù)模

2、型較不適合的有( ) a.y=logax(a1) b.y=ax+b(a1) c.y=ax2+b(a0) d.y=logax+b(a1) 解析由所給數(shù)據(jù)可知 y隨 x 的增大而增大,且增長速度越來越快,而 a,d中的函數(shù)增長速度越來越慢,b 中的函數(shù)增長速度保持不變. 答案 abd 3.如圖給出了紅豆生長時(shí)間 t(月)與枝數(shù) y(枝)的散點(diǎn)圖,那么紅豆生長時(shí)間與枝數(shù)的關(guān)系用下列哪個(gè)函數(shù)模型擬合最好( ) a.指數(shù)函數(shù):y=2t b.對(duì)數(shù)函數(shù):y=log2t c.冪函數(shù):y=t3 d.二次函數(shù):y=2t2 2 / 5 解析由圖可知函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增,并且增長速度較快,且圖象過點(diǎn)(2,4),(

3、4,16),因此利用指數(shù)函數(shù)模型擬合較好. 答案 a 4.函數(shù) y1=log3x與函數(shù) y2=3x,當(dāng) x 從 1 增加到 m 時(shí),函數(shù)的增量分別是 y1與 y2,則 y1 y2(填“”“=”或“”). 解析由這兩個(gè)函數(shù)的圖象可知,指數(shù)函數(shù)增長的快些,所以 y1y2. 答案 5.某電腦公司六年來電腦總產(chǎn)量 y(臺(tái))與生產(chǎn)時(shí)間 x(年)的函數(shù)關(guān)系如圖.有下列說法:前三年產(chǎn)量增長速度越來越快;前三年產(chǎn)量增長速度越來越慢;后三年這種產(chǎn)品停止生產(chǎn);后三年產(chǎn)量保持不變.其中說法正確的是 .(填序號(hào)) 解析結(jié)合圖象的增長趨勢易得出正確. 答案 6.四個(gè)變量 y1,y2,y3,y4隨變量 x變化的數(shù)據(jù)如下表

4、: x 1 5 10 15 20 25 30 y1 2 26 101 226 401 626 901 y2 2 32 1 024 32 768 1.05106 3.36107 1.07109 y3 2 10 20 30 40 50 60 y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 關(guān)于 x 呈指數(shù)函數(shù)變化的變量是 . 解析從表格觀察函數(shù)值 y1,y2,y3,y4的增加值,哪個(gè)變量的增加值最大,則該變量關(guān)于 x呈指數(shù)函數(shù)變化.以爆炸式增長的變量呈指數(shù)函數(shù)變化. 從表格中可以看出,四個(gè)變量 y1,y2,y3,y4均是從 2 開始變化,變量 y1,y2,y3,y

5、4都是越來越大,但是增長速度不同,其中變量 y2的增長速度最快,可知變量 y2關(guān)于 x 呈指數(shù)函數(shù)變化.故填 y2. 答案 y2 7. 函數(shù) f(x)=2x和 g(x)=x3的部分圖象如圖所示.設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn) a(x1,y1),b(x2,y2),且 x1g(1),f(2)g(2),f(9)g(10), 1x12,9x210.x16x2. 從圖象上可以看出,當(dāng) x1xx2時(shí),f(x)g(x), f(6)x2時(shí),f(x)g(x), f(2019)g(2019). 又 g(2019)g(6), f(2019)g(2019)g(6)f(6). 能力提升練 1.當(dāng) 0 x1 時(shí),f(x)=x2,g

6、(x)=12,h(x)=-2的大小關(guān)系是( ) a.h(x)g(x)f(x) b.h(x)f(x)g(x) c.g(x)h(x)f(x) d.f(x)g(x)h(x) 解析在同一坐標(biāo)下作出函數(shù) f(x)=x2,g(x)=12,h(x)=x-2的圖象,由圖象知,d正確. 答案 d 2.如圖所示的是一份統(tǒng)計(jì)圖表,根據(jù)此圖表得到的以下說法中,正確的有( ) (1)這幾年人民生活水平逐年得到提高; (2)人民生活費(fèi)收入增長最快的一年是 2016年; (3)生活費(fèi)價(jià)格指數(shù)上漲速度最快的一年是 2017年; (4)雖然 2018 年生活費(fèi)收入增長是緩慢的,但由于生活費(fèi)價(jià)格指數(shù)也略有降低,因而人民生活有較大

7、的改善. a.1 項(xiàng) b.2項(xiàng) c.3項(xiàng) d.4 項(xiàng) 4 / 5 解析由題意,“生活費(fèi)收入指數(shù)”減“生活費(fèi)價(jià)格指數(shù)”所得的差是逐年增大的,故(1)正確;“生活費(fèi)收入指數(shù)”在 20162017 年最陡,故(2)正確;“生活費(fèi)價(jià)格指數(shù)”在 20172018年最平緩,故(3)不正確;由于“生活費(fèi)價(jià)格指數(shù)”略呈下降趨勢,而“生活費(fèi)收入指數(shù)”曲線呈上升趨勢,故(4)正確. 答案 c 3.某商場為了實(shí)現(xiàn) 100萬元的利潤目標(biāo),準(zhǔn)備制訂一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案:在利潤達(dá)到 5萬元時(shí),按利潤進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),且獎(jiǎng)金 y隨利潤 x的增加而增加,但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過 3萬元,同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤的 20%.現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型:

8、y=0.2x,y=log5x,y=1.02x,其中哪個(gè)模型符合該商場的要求? 解在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù) y=0.2x,y=log5x,y=1.02x的圖象(圖略). 觀察圖象可知,在區(qū)間5,100內(nèi),函數(shù) y=0.2x,y=1.02x的圖象都有一部分在直線 y=3 的上方, 只有函數(shù) y=log5x 的圖象始終在直線 y=3和 y=0.2x 的下方,這說明只有按模型 y=log5x 進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)才符合商場的要求. 4.某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品,根據(jù)調(diào)查可知,進(jìn)入 21 世紀(jì)以來,該產(chǎn)品的產(chǎn)量平穩(wěn)增長.記 2014年為第 1 年,且前 4年中,第 x年與年產(chǎn)量 f(x)(萬件)之間的關(guān)系如

9、下表所示: x 1 2 3 4 f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44 若 f(x)近似符合以下三種函數(shù)模型之一:f(x)=ax+b,f(x)=2x+a,f(x)=log12x+a. (1)找出你認(rèn)為最適合的函數(shù)模型,并說明理由,然后求出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式(所求 a 或 b 的值保留 1 位小數(shù)); (2)受某些因素影響,預(yù)測 2020 年的年產(chǎn)量比預(yù)計(jì)減少 30%,試根據(jù)所選擇的函數(shù)模型,確定 2020 年的年產(chǎn)量. 解(1)符合條件的是 f(x)=ax+b. 理由如下: 若模型為 f(x)=log12x+a,則 f(x)是減函數(shù),與已知不符. 若模型為 f(x)=2x+a,則由 f

10、(1)=21+a=4,得 a=2,即 f(x)=2x+2,此時(shí) f(2)=6,f(3)=10,f(4)=18,與已知數(shù)據(jù)相差太大,不符合. 則近似符合的模型為 f(x)=ax+b. 由已知得 + = 4,3 + = 7,解得 = 1.5, = 2.5, 所以 f(x)=1.5x+2.5,xn+. (2)2020年的預(yù)計(jì)年產(chǎn)量為 f(7)=1.57+2.5=13(萬件),所以 13(1-30%)=9.1(萬件),即預(yù)測 2020年的年產(chǎn)量為 9.1萬件. 5.若不等式 3x2-logax0在 x 0,13內(nèi)恒成立,求實(shí)數(shù) a的取值范圍. 解由題意,知 3x21,則函數(shù) y=logax的圖象顯然在

11、函數(shù) y=3x2圖象的下方,a1不成立; 當(dāng) 0a1 時(shí),y=logax的圖象必過點(diǎn) a13,13或在這個(gè)點(diǎn)的上方,則 loga1313. a127,127a0,a1)與 y=p12+q(p0)可供選擇. (1)試判斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適,并求出該模型的關(guān)系式; (2)求鳳眼蓮的覆蓋面積是元旦放入時(shí)面積的 10倍以上的最小月份(參考數(shù)據(jù):lg 20.301 0,lg 30.477 1). 解(1)兩個(gè)函數(shù) y=kax(k0,a1),y=p12+q(p0)在(0,+)上都是增函數(shù),隨著 x的增加,函數(shù)y=kax(k0,a1)的值增加的越來越快,而函數(shù) y=p12+q(p0)的值增加的越來越慢.由于鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快,所以函數(shù)模型 y=kax(k0,a1)更合適.由題意可知,x=2時(shí),y=24,x=3 時(shí),y=36.所以2= 24,3= 36,解得 =323, =32,所以該函數(shù)模型的關(guān)系式是 y=323 (32)(