高中數(shù)學講義微專題45均值不等式

1、- 1 - / 12 微專題 45 利用均值不等式求最值 一、基礎知識： 1、高中階段涉及的幾個平均數(shù)：設()01,2,iain= （1）調(diào)和平均數(shù)：12111nnnhaaa=+ （2）幾何平均數(shù)：12nnnga aa= （3）代數(shù)平均數(shù)：12nnaaaan+= （4）平方平均數(shù)：22212nnaaaqn+= 2、均值不等式：nnnnhgaq，等號成立的條件均為：12naaa= 特別的，當2n =時，22ga2abab+即基本不等式 3、基本不等式的幾個變形： （1）()2,0abab a b+：多用在求和式的最小值且涉及求和的項存在乘積為定值的情況 （2）22abab+：多用在求乘積式的最大

2、值且涉及乘積的項存在和為定值的情況 （3）222abab+，本公式雖然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可證明，要注意此不等式的適用范圍, a br 4、利用均值不等式求最值遵循的原則：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的項必須為正數(shù)，如果有負數(shù)則考慮變形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值時，變形后的一側(cè)不能還含有核心變量，例如：當0,x 求23yxx=+的最小值。此時若直接使用均值不等式，則232 4yxxx=+，右側(cè)依然含有x，則無法找到最值。 求和的式子乘積為定值。例如：上式中24yxx=+為了乘積消掉x，則要將3x拆為兩個2x，則222334222 2

3、33 4yxxxxxxx x=+=+= - 2 - / 12 乘積的式子和為定值，例如302x，求( )()32f xxx=的最大值。則考慮變積為和后保證x能夠消掉，所以( )()()211 2329322322228xxf xxxxx+=（3）等：若能利用均值不等式求得最值，則要保證等號成立，要注意以下兩點： 若求最值的過程中多次使用均值不等式，則均值不等式等號成立的條件必須能夠同時成立（彼此不沖突） 若涉及的變量有初始范圍要求，則使用均值不等式后要解出等號成立時變量的值，并驗證是否符合初始范圍。 5、常見求最值的題目類型 （1）構造乘積與和為定值的情況，如上面所舉的兩個例子 （2）已知1a

4、xby+=（a為常數(shù)），求mnxy+的最值， 此類問題的特點在于已知條件中變量位于分子（或分母）位置上，所求表達式變量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，則可利用常數(shù)“1”將已知與所求進行相乘，從而得到常數(shù)項與互為倒數(shù)的兩項，然后利用均值不等式求解。 例如：已知0,0,231xyxy+=，求32xy+的最小值 解：()3232942366yxxyxyxyxy+=+=+ 94941212224yxyxxyxy=+= （3）運用均值不等式將方程轉(zhuǎn)為所求式子的不等式，通過解不等式求解： 例如：已知0,0,24xyxyxy+=，求2xy+的最小值 解：()22211 222228xyxyxyx y+

5、= 所以()()2224248xyxyxyxy+=+ 即()()228 2320 xyxy+，可解得24 34xy+，即()min24 34xy+= - 3 - / 12 注：此類問題還可以通過消元求解：42241xxyxyyx+=+，在代入到所求表達式求出最值即可，但要注意0y 的范圍由x承擔，所以()0,2x 二、典型例題： 例 1：設1x ，求函數(shù)(5)(2)1xxyx+=+的最小值為_ 思路：考慮將分式進行分離常數(shù)，(5)(2)41511xxyxxx+=+ +，使用均值不等式可得：()421591yxx+=+，等號成立條件為4111xxx+ =+，所以最小值為9 答案：9 例 2：已知

6、0,0 xy，且115xyxy+=，則xy+的最大值是_ 思路：本題觀察到所求xy+與11xy+的聯(lián)系，從而想到調(diào)和平均數(shù)與算術平均數(shù)的關系，即2114112xyxyxyxy+，代入方程中可得： ()()()()245540 xyxyxyxy+，解得：14xy+，所以最大值為 4 答案：4 例 3：已知實數(shù),m n，若0,0mn，且1mn+=，則2221mnmn+的最小值為（ ） a. 14 b. 415 c. 18 d. 13 思路：本題可以直接代入消元解決，但運算較繁瑣?？紤]對所求表達式先變形再求值，可用分離常數(shù)法將分式進行簡化。2241212121mnmnmnmn+=+ +，結合分母可將

7、條件1mn+=，變形為() ()214mn+=，進而利用均值不等式求出最值 - 4 - / 12 解：2222441nmnmnmnmnmn+ +=+=+ + ()4141322121mnmnmn=+ +=+ () ()1214mnmn+= += () ()()414141112214121214421nmmnmnmnmn+=+=+ ()41129524214nmmn+=+ 229122144mnmn+=+，即2221mnmn+的最小值為14 答案：a 例 4：已知正實數(shù), x y滿足24xyxy+=，則xy+的最小值為_ 思路：本題所求表達式xy+剛好在條件中有所體現(xiàn)

8、，所以考慮將xy+視為一個整體，將等式中的項往xy+的形式進行構造，()() ()21xyxyxyxxyx yxy+=+=+，而()1x y +可以利用均值不等式化積為和，從而將方程變形為關于xy+的不等式，解不等式即可 解：()() ()24414xyxyxyxxyx yxy+=+=+= ()()2112xyx y+ 方程變形為：()()2142xyxy+ ()()21416xyxy+ ()()26150 xyxy+ 解得：6962 632xy += 答案：()xy+的最小值為2 63 例 5：已知20ab，則4(2)abab+的最小值為_ 思路一：所求表達式為和式，故考慮構造乘積為定值以便

9、于利用均值不等式，分母為- 5 - / 12 ()2bab，所以可將a構造為()112222aabb=+，從而三項使用均值不等式即可求出最小值： 341818(2)3 (2)3(2)2(2)2(2)aabbabbbabbabbab+=+ = 思路二：觀察到表達式中分式的分母()2bab，可想到作和可以消去b，可得()()2222babbaba+=，從而244(2)aababa+，設( )24f aaa=+，可從函 數(shù) 角 度 求 得 最 小 值 （ 利 用 導 數(shù) ） ， 也 可 繼 續(xù) 構 造 成 乘 積 為 定 值 ：( )3224433222 2aaa af aaa=+= 答案：3 小煉

10、有話說：（1）和式中含有分式，則在使用均值不等式時要關注分式分母的特點，并在變形的過程中傾向于各項乘積時能消去變量，從而利用均值不等式求解 （2）思路二體現(xiàn)了均值不等式的一個作用，即消元 （3）在思路二中連續(xù)使用兩次均值不等式，若能取得最值，則需要兩次等號成立的條件不沖突。所以多次使用均值不等式時要注意對等號成立條件的檢驗 例 6：設二次函數(shù)( )()24f xaxxc xr=+的值域為)0,+，則1919ca+的最大值為_ 思路：由二次函數(shù)的值域可判定0a ，且04ac =，從而利用定值化簡所求表達式：19918918511999913913acaccaacacacac+= +，則只需確定9

11、ac+的范圍即可求出1919ca+的最值。由均值不等式可得：912ac+，進而解出最值 解：二次函數(shù)( )()24f xaxxc xr=+的值域為)0,+ 164040acaca = ()()()9911991891851191999913913acacaccacaacacacac+ += + 92 912acac+= - 6 - / 12 195611912 135ca+ +=+ 答案：65 例 7：已知, ,x y zr+，則222xyyzxyz+=+的最大值是_ 思路：本題變量個數(shù)較多且不易消元，考慮利用均值不等式進行化簡，要求得最值則需要分子與分母能夠?qū)⒆兞肯?，觀察分子為,xy yz

12、均含y，故考慮將分母中的2y拆分與22,xz搭配，即22222221122xyyzxyyzxyzxyyz+=+，而22222222111122,222222xyxyxy zyzyyz+=+=，所以2222xyyzxyyz+=+ 答案：22 小煉有話說：本題在拆分2y時還有一個細節(jié)，因為分子,xy yz的系數(shù)相同，所以要想分子分母消去變量，則分母中,xy yz也要相同，從而在拆分2y的時候要平均地進行拆分（因為22,xz系數(shù)也相同）。所以利用均值不等式消元要善于調(diào)整系數(shù)，使之達到消去變量的目的。 例 8 ： 已 知 正 實 數(shù), x y滿 足3xyxy+=， 若 對 任 意 滿 足 條 件 的,

13、 x y， 都 有2()() 10 xya xy+ 恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為_ 思路：首先對恒成立不等式可進行參變分離，()1axyxy+。進而只需求得()1xyxy+的最小值。將xy+視為一個整體，將3xyxy+=中的xy利用均值不等式換成xy+，然后解出xy+的范圍再求最小值即可 - 7 - / 12 解：()21()() 10 xya xyaxyxy+ + ,0 x y 22xyxy+ 232xyxyxy+ += ()()2412xyxy+ 解得：6xy+或2xy+ （舍） ()min1137666xyxy+=+=+ （在6xy+=時取得） 376a 例 9：已知1,0,0 xyyx

14、+=，則121xxy+的最小值是_ 思路：觀察到所求121xxy+的兩項中x部分互為倒數(shù)，所以想到利用均值不等式構造乘積為定值，所以結合第二項的分母變形12 x的分子。因為1xy+=，所以()12yx+=，則()111122244xyxyxxxx+=+，所以原式11214414414xxxyxyxxxyxxyx+=+=+，因為要求得最小值，所以0 x 時，min144xx= ，故121xxy+最小值為34 答案：34 小煉有話說：本題考驗學生對表達式特點的觀察能力，其中兩項的x互為倒數(shù)為突破口，從而聯(lián)想到均值不等式，在變形時才會奔著分子分母向消出定值的方向進行構造 例 10：已知, , ,25

15、,9,mnm n s trmnnmst+=+=，且,m n是常數(shù)，又2st+的最小值是1，則3mn+=_ - 8 - / 12 思路：條件中有9mnst+=，且有()min21st+=，進而聯(lián)想到求()2st+最小值的過程中達到的最值條件與,m n相關：()()()112122222 2999mnmtsnststmnmnmnstst+=+=+，即2st+的最小值為()122 29mnmn+，所以()122 21925mnmnmnnm+=+=，解得12mn=，所以37mn+= 答案：7 三、歷年好題精選 1、(2016，天津河西一模）如圖所示，在abc中，dbad =，點f在線段cd上，設aba

16、=，acb=，afxayb=+，則141+yx的最小值為（ ） a.226+ b.36 c.246+ d.223+ 2、（2016，南昌二中四月考）已知, a b都是負實數(shù)，則2ababab+的最小值是（ ） a. 56 b. ()221 c. 2 21 d. ()221+ 3、（2016，重慶萬州二中）已知, a b為正實數(shù)，且2ab+=，則22221abab+的最小值為_ 4、（揚州市 2016 屆高三上期末）已知1ab且2log3log7abba+=，則211ab+的最小值為_ 5、已知正項等比數(shù)列 na滿足7652aaa=+，若存在兩項,mnaa，使得14mna aa=，則14mn+的

17、最小值為（ ） a. 32 b. 53 c. 256 d. 不存在 6、設()()()1, 2 , 1 ,0 ,0,0oaobaocbab= ，o為坐標原點。若, ,a b c三點共線，則12ab+的最小值是_ - 9 - / 12 7、已知(),0,a b+，且21ab+=，則2224sabab=的最大值是（ ） a. 212 b. 21 c. 21+ d. 212+ 8、設,1,1x yr ab，若3,2 3xyabab=+=，則11xy+的最大值為 9、已知ab，且1ab =，則22abab+的最小值是 習題答案：習題答案： 1、答案：d 解析：2afxabyacxadyac=+=+，因

18、為,c f d三點共線，所以21xy+=，根- 10 - / 12 據(jù)所求表達式構造等式為()212xy+=，所以有：()141 14118212412121yxxyxyxyxy+=+=+， 由 均 值不 等 式 可得：181824 211yxyxxyxy+=+，所以()14164 232 212xy+=+ 2、答案：b 解析：222222221112232323abaabbababababaabbaabbba+= = + ,0a b ,a bb a是正實數(shù) 2222 2ababbaba+= ()11132 22 2222 23ababab+ = =+ 3、答案：2 23 解析：2222121211abababab+=+ +()2131abab=+ + 2111ab= + 2ab+= ()13ab+= ()222211 2121111131ababababab+= += + ()()2121111213131bbaaabab+= + +=+ ()2112 22313baab+=+ 4、答案：3 解析：()232log72 log7log30logaaaabbbb+=+= - 11 - / 12 ()()2log1 log30aabb= 1log2ab=或log3ab = 1ab 1loglog2aaba= 2ba= ()2111111