高中數(shù)學講義微專題35形如向量AD=xAC+yAB條件的應用

1、- 1 - / 16 微專題 35 形如adxabyac=+條件的應用 一、基礎知識： 1、平面向量基本定理：若平面上兩個向量12,e e不共線，則對平面上的任一向量a，均存在唯一確定的()12, ，（其中12,r ），使得1 122aee=+。其中12,e e稱為平面向量的一組基底。 （1）不共線的向量即可作為一組基底表示所有的向量 （2）唯一性：若1 122aee=+且1 122aee=+，則1122= 2、“爪”字型圖及性質： （1）已知,ab ac為不共線的兩個向量，則對于向量ad，必存在, x y，使得adxabyac=+。則,b c d三點共線1xy+= 當01xy+，則d與a位于

2、bc同側，且d位于a與bc之間 當1xy+，則d與a位于bc兩側 1xy+=時，當0,0 xy，則d在線段bc上；當0 xy ，則d在線段bc延長線上 （2）已知d在線段bc上，且:bdcdm n=，則nmadabacmnmn=+ 3、adxabyac=+中, x y確定方法 （1）在幾何圖形中通過三點共線即可考慮使用“爪”字型圖完成向量的表示，進而確定, x y （2）若題目中某些向量的數(shù)量積已知，則對于向量方程adxabyac=+，可考慮兩邊對同一向量作數(shù)量積運算，從而得到關于, x y的方程，再進行求解 （3）若所給圖形比較特殊（矩形，特殊梯形等），則可通過建系將向量坐標化，從而得到關于

3、, x y的方程，再進行求解 二、典型例題： 例 1：在abc中，d為bc邊的中點，h為ad的中點，過點h作一直線mn分別交,ab ac于點,m n，若,amxab anyac=，則4xy+的最小值是（ ） a. 94 b. 2 c. 3 d. 1 a ab bc cd d- 2 - / 16 思路：若要求出4xy+的最值，則需從條件中得到, x y的關系。由,m h n共線可想到“爪”字型圖，所以ahmamnan=+，其中1mn+=，下面考慮將,m n的關系轉為, x y的關系。利用條件中的向量關系：12ahad=且()12adabac=+，所以()14ahabac=+，因為,amxab a

4、nyac=，所以ahmxabnyac=+，由平面向量基本定理可得：11441144mmxxnnyy=，所以111144mnxy+= +=，所以()11144414444yxxyxyxyxy+=+=+，而4424yxyxxyxy+=，所以944xy+ 答案：a 例 2：如圖，在abc中，13annc=，p是bn上的一點，若211apmabac=+，則實數(shù)m的值為（ ） a. 911 b. 511 c. 311 d. 211 思 路 ： 觀 察 到, ,b p n三 點 共 線 ， 利 用 “ 爪 ” 字 型 圖 ， 可 得apmabnan=+， 且1mn+=， 由13annc=可 得14anac

5、=， 所 以14apmabnac=+， 由 已 知211apmabac=+可 得 ：12841111nn=，所以311m = 答案：c 例3 ： 在 平 面 內 ， 已 知1,3,0,30oaoboa obaoc=， 設(),ocmoanob m nr=+，則mn等于（ ） a. 3 b. 3 c. 13 d. 33 - 3 - / 16 思路：所求為mn，可以考慮對(),ocmoanob m nr=+兩邊同時對同一向量作數(shù)量積 ， 從 而 得 到,m n的 方 程 ， 解 出,m n， 例 如 兩 邊 同 對oa作 數(shù) 量 積 ， 可 得 ：2oc oamoanob oa=+，因為1oa =

6、，0oa ob=，所以有2cos32ocoaaocmocoa=， 同 理 ， 兩 邊 對ob作 數(shù) 量 積 ， 可 得 ：2oc obmoa obnob=+，即2cos3ocobocbocnob=，所以312 cosmnboc=，通過作圖可得60boc=或120boc=，從而1cos2boc = ，代入可得：3mn= 答案：b 小煉有話說：（1）當向量等式中的向量系數(shù)含參時，可通過對兩邊作同一向量的數(shù)量積運算便可得到關于系數(shù)的方程。若要解出系數(shù)，則可根據(jù)字母的個數(shù)確定構造方程的數(shù)量 （2）本題也可通過0oa ob=判定oaob，從而想到建立坐標系通過坐標解出,m n，進而求出3mn= 例 4：

7、如圖，在正六邊形abcdef中，點p是cde內（包括邊界）的一個動點，設(),apabafr =+，則+的取值范圍是（ ） a. 1,2 b. 2,3 c. 2,4 d. 3,4 思路：因為p為動點，所以不容易利用數(shù)量積來得到, 的關系，因為六邊形為正六邊形，所以建立坐標系各個點的坐標易于確定， 可得：()()()33131,0 ,1, 3 ,0, 32222bcdfe，則()131,0 ,22abaf= ，所以設(),p x y，則由e ed df fa ab bc c- 4 - / 16 apabaf=+可得：13,22p，因為p在cde內，且:33,:32 3ce xycdxy+=+=，

8、所以p所滿足的可行域為33332 3xyyxy+，代入可得：322+，通過線性規(guī)劃可得：3,4+ 答案：3,4 例 5：已知2111,2,323oaobaobocoaob=+，則oa與oc的夾角的余弦值為_ 思路：若要求oa與oc的夾角，可聯(lián)想到cos,oa ocoa ocoa oc=，所以只需確定oa oc與oc， 由1123ocoaob=+一 方面可 以 兩邊同 時 對oa作數(shù) 量 積得到oa oc，另一方面等式兩邊可以同時取模長的平方計算出oc，進而求出cos,oa oc 解：1111123236ocoaoboc oaoa oaob oa=+=+= 且222211111112323439

9、ocoaobocoaoboaoa obob=+=+=+1336= 136oc= 1136cos,131316oa ocoa ocoa oc= 答案：1313 例 6：如圖，平面內有三個向量,oa ob oc，其中oa與ob的夾角為23，oa與oc的夾角為6，且2,4 3oaoboc=，若(),ocoaobr =+，則+的值為_ - 5 - / 16 思路一：由圖像可得：2boc=，由此條件中可提供,oa ob oc的模長及相互的夾角，若要求得+，可考慮求出, 的值。則需要兩個方程。對ocoaob=+兩邊同時對oa作數(shù)量積，即2oc oaoaob oa=+，由2,12oa oboa oc= =，

10、可得： 1242=，再將ocoaob=+兩邊對ob作數(shù)量積，則2oc oboa obob=+， 即240+=， 所 以124242402=+=， 即6+= 思路二：從圖形中可想到建系，得到,oa ob oc的坐標，從而利用坐標可求得, 的值：如圖建系可得：()()()2,0 ,0,2 3 ,1, 3bca ，所以()()()0,4 3 , 3,2 ,0ocoaob= =，從而可得02424 33= +=，所以6+= 答案：6 例 7：已知在abc中，o為abc的外心，=1610 2abacaoxabyac=+，且322525xy+=，則ao =_ 思路：通過觀察條件發(fā)現(xiàn)很難從幾何方向直接求ao

11、，從而考慮利用計算數(shù)量積2ao，如何利用322525xy+=這個條件呢？對于已知aoxabyac=+可以考慮等式兩邊對同一向量作數(shù)量積，從而得到關于, x y的實數(shù)方程。由于o是外心，進而o在,ab ac上的投影為各邊的 中 點 ， 所 以 可 用數(shù) 量 積的 投 影 定 義 計 算 出,ab ao ac ao，結合所求，可確定兩邊同時與ao作數(shù)量積即可。 解：由aoxabyac=+，可得：abconmabco- 6 - / 16 ao aoxab aoyac ao=+（*） ao在ab上的投影向量為am（m為ab中點） 211282ab aoam abab=，同理：211002ac aoan

12、 abac= 所以（*）變形為：()21281004 3225100aoxyxy=+=+= 10ao= 小煉有話說：對于形如aoxabyac=+，若想得到關于, x y的方程，可以考慮對同一向量作數(shù)量積即可，而向量的選擇要盡量能和等式中的向量計算出數(shù)量積。 例 8：給定兩個長度為 1的平面向量oa和ob，它們的夾角為120o.如圖所示，點 c 在以 o為圓心的圓弧ab上變動.若,ocxoayob=+其中, x yr,則xy+的最大值是_. 思路：所求xy+的最值，可考慮對ocxoayob=+等號兩邊對同一向量作數(shù)量積，從而轉化為, x y的等式： 2ocxoayoboc oaxoayob oa

13、=+=+即12oc oaxy= 2ocxoayoboc obxoa obyob=+=+即12oc obxy= +，從而可發(fā)現(xiàn)()1122222xyxyxyocoaob+=+=+，所以只需求得()ocoaob+的最大值，其中根據(jù)扇形aob的特點可知oaob+的終點為ab的中點m，即om，所以()cos,ocoaobocomoc om+=，只需cos,oc om最大即可?？芍?c m重合時，cos,1oc om =，所以xy+的最大值為2 答案：2 例9 ： 已 知o是abc外 接 圓 的 圓 心 ，, ,a b c為abc的 內 角 ， 若coscos2sinsinbcabacm aocb+=，

14、則m的值為 （ ） a 1 b sin a c cos a d. tan a 思路：本題所求與等式中的系數(shù)m相關，o是外心所以o在,ab ac上的投影為兩邊中點，- 7 - / 16 考慮兩邊同時對ao 做數(shù)量積，再結合正弦定理變形等式即可 解：coscos2sinsinbcabacm aocb+=可得： 2coscos2sinsinbcab aoac aom aocb+=（*），因為o是外心 2211,22ab aoabao acac= （*）變形為2221cos1cos22sin2sinbcabacm aocb+= 在abc中，設外接圓半徑為r，即rao= ，且2sin,2sinabrc

15、acrb= （*）變形為：()()2221cos1cos2 sin2 sin22sin2sinbcrcrbm rcb+= sincossincoscbbcm+= ()sin()sinsinmbcaa=+= 例 10：已知abc的外接圓圓心為o，且滿足,432comcancbmn=+=，且4 3ca =，6cb =，則ca cb=（ ） a. 36 b. 24 c. 24 3 d. 12 3 思 路 ： 由 外 接 圓 的 性 質 可 知o在,ca cb上 的 投 影 為,ca cb中 點 ， 所 以 考 慮 對comcancb=+兩 邊 同 時 對,ca cb作 數(shù) 量 積 ， 從 而 得 到

16、 系 數(shù),m n的 關 系 ：22co camcancb caco cbmca cbncb=+=+，因為221124,1822co cacaco cbcb=，所以 有24481836mncb camca cbn=+=+， 再結 合432mn+=， 解三 元 一 次方 程 組 即可 得 到 ：36ca cb= 答案：a 三、歷年好題精選 1、如圖，在正方形、如圖，在正方形abcd中，中，e為為ab的中點，的中點，p是以是以a為圓心，為圓心，ab為半徑的圓弧上的為半徑的圓弧上的任意一點，設任意一點，設acdeap=+，則，則+的最小值為的最小值為_ 答案：答案：12 - 8 - / 16 2、（、

17、（2016，鄭州一測）已知點，鄭州一測）已知點(0, 1)a，(3,0)b，(1,2)c，平面區(qū)域，平面區(qū)域p是由所有滿足是由所有滿足amabac=+(2,m2)n的點的點m組成的區(qū)域，若區(qū)域組成的區(qū)域，若區(qū)域p的面積為的面積為16，則，則mn+的最小值為的最小值為_ 3 、 （、 （ 2015 ， 北 京 ） 在， 北 京 ） 在abc中 ， 點中 ， 點m，n滿 足滿 足2,ammc bnnc=若若mnxabyac=+，則，則x = ；y = 4、（、（2015，新課標，新課標 i）設）設d為為abc所在所在平面內一點，且平面內一點，且3bccd=，則（，則（ ） a. 1433adaba

18、c= + b. 1433adabac= c. 4133adabac=+ d. 4133adabac= 5、（安徽六校聯(lián)考）如圖，在扇形、（安徽六校聯(lián)考）如圖，在扇形oab中，中，60aob=，c為弧為弧ab上且與上且與,a b不重不重合的一個動點，且合的一個動點，且ocxoayob=+，若，若()0uxy=+存在最大值，則存在最大值，則的取值范圍的取值范圍為（為（ ） a()1,3 b1,33 c1,12 d1,22 6、（、（2016，河南中原第一次聯(lián)考）在直角梯形，河南中原第一次聯(lián)考）在直角梯形abcd中，中，22,abaddc e=為為bc邊上一點，邊上一點，3,bcec f=為為ae中

19、點，則中點，則bf =（ ） a. 2133abad b. 1233abad c. 2133abad+ d. 1233abad+ 7、如圖，在直角梯形如圖，在直角梯形abcd中，中，,1,2adab abdc addcab=，動點，動點p在在以點以點c為圓心，且與直線為圓心，且與直線bd相切的圓上或圓內移動，設相切的圓上或圓內移動，設(),apadabr =+， 則， 則+的 取 值 范 圍 是的 取 值 范 圍 是（ ） a. ()1,2 b. ()0,3 c. 1,2 d. )1,2 8、如圖，四邊形如圖，四邊形oabc是邊長為是邊長為 1 的正方形，的正方形，3od =，點，點abcnm

20、o a c b d p - 9 - / 16 p為為bcd內（含邊界）的動點，設內（含邊界）的動點，設(),opocodr =+，則，則+的最大值等的最大值等于于_ 9、在、在abc中，中，22,1abacab ac= ，若，若12aox abx ac=+（o是是abc的的外心），則外心），則12xx+的值為的值為_ 10 、 在在abc中 ， 邊中 ， 邊21,2,3acaba=， 過， 過a作作apbc于于p， 且， 且apabac=+，則，則=_ 11、如圖，、如圖，ab是圓是圓o的直徑，的直徑，,c d是圓是圓o上的點，且上的點，且60 ,45 ,cbaabd= 若若cdxoaybc=

21、+，則，則xy+=（ ） a. 33 b. 13 c. 23 d. 3 12、如圖，將、如圖，將45的直角三角板的直角三角板adc和和30的直角三角板的直角三角板abc拼在一起組成平面四邊形拼在一起組成平面四邊形abcd，其中，其中45的直角三角板的斜邊的直角三角板的斜邊ac與與30的 直 角 三 角 板 的的 直 角 三 角 板 的30所 對 的 直 角 邊 重 合 ， 若所 對 的 直 角 邊 重 合 ， 若dbxdaydc=+，則，則, x y分別等于（分別等于（ ） a. 3,1 b. 31, 3+ c. 2, 3 d. 3, 31+ 13、如圖，在、如圖，在abc中，中，2cmmb=

22、，過點，過點m的直線分別交射線的直線分別交射線,ab ac于不同的兩點于不同的兩點,p q，若，若,apmab aqnac=，則，則mnm+的最小值為的最小值為（ ） a. 6 3 b. 2 3 c. 6 d. 2 14、在在abc中，點中，點d在線段在線段bc的延長線上，且的延長線上，且3bccd=，點，點o在線段在線段cd上（與上（與,c d不重合），不重合），若若()1aoxabx ac=+，則，則x的取值范圍是的取值范圍是_ 15 、 已 知 在、 已 知 在abc中 ，中 ，1,6,2abbcac=， 點， 點o為為abc的 外 心 ， 若的 外 心 ， 若aosabtac=+，則有

23、序實數(shù)對，則有序實數(shù)對(), s t為（為（ ） capbmq- 10 - / 16 a. 4 3,5 5 b. 3 4,5 5 c. 4 3,5 5 d. 3 4,5 5 習題答案： 1、解析：本題所處圖形為正方形與圓的一部分，所以考慮建系處理，以,ab ad為軸建立坐標系。設正方形邊長為單位長度，則()1,1c ()10,1 ,02de，p點所在圓方程為()2210,0 xyxy+=，設(),p x y 則()1,1ac =，1,2de=，(),apxy= ， 由acdeap=+得： 1121xy+=+=，解得：22232yxxyxy=+=+ 2232231132222yxyxyxyxyx

24、yxy+=+= + + 設1sin1cos ,sin ,0,222cossinyxykxy +=+ 222222222tan21tan11tantan2tan1sin11122222cossin221tan2tan1tantan1tantan22222221tan1tan22+=+ 令tan,0,12kk=，所以： ()()()()22221sin111111132cossin2122135111124kkkkkk+= = + - 11 - / 16 由0,1k 可得：11,112k+，結合分式的單調性可得 當1101kk= =+時，sin12cossin+達到最小值，即minsin112co

25、ssin2+=+ ()min12+= 2、答案：42 2+ 解析：設( , )m x y，(3,1),(1,3)abac=， amabac=+，( ,1)(3,1)(1,3)(3,3 )x y +=+=+ 313xy=+ =+，318338xyxy= +=， 2,2mn31283328xymxyn +，即1738113383xymxyn+ + 1738113383xymxyn+ +表示的可行域為平行四邊形，如圖： 由317313xyxy= +=，得(8,7)a，由381313xymxy=+ +=，得(32,2)bmm+， 22(36)(2)(2)10abmmm=+=, (8,7)a到直線383

26、xyn +=的距離81610nd=， 816(2)101610nab dm=， (2) (2)2mn=，2222(2) (2)()2mnmn+=， 2(4)8mn+，42 2mn+. oyxdcbax+3y=8n3x+3y=133x y=8m+13x y=17- 12 - / 16 3、答案：11,26xy= 解析：()111111323226mnmccnaccbacabacabac=+=+=+=，所以11,26xy= 4、答案：a 解 析 ： 由 圖 可 想 到 “ 爪 字 形 圖 得 ：1344acabad=+，解得：1433adabac= + 5、答案：d 解析：以ob為x軸建立坐標系，

27、設0,3cob =，則()()cos ,sin,1,0cb，13,22a，由ocxoayob=+可得：21sincos23sin3cossin32xxyyy=+= 2sincos ,0,33uxy =+=+，若u存在最大值，則( )u存在極值點 2cossin3u=在0,3有零點 令22cossin0tan33=，因為0,3 ()tan0, 3 2033，解得：1,22 6 、 解 析 ： 取ab的 中 點g， 連 結dg，cg， 則dgbc， 所 以12bcgdadagadab=， abcd- 13 - / 16 221()332aeabbeabbcabadab=+=+=+2233abad+

28、，于是bfafab=12aeab1 2221()2 3333abadababad+= + 7、答案：c 解 析 ： 由 直 角 梯 形 可 知 依 直 角 建 立 坐 標 系 ， 則()()()0,1 ,1,1 ,2,0dcb， 直 線:12202xbdyxy+= += 圓c的半徑122555cbdrd+= ()()221:115cxy+= 設(),p x y，由apadab=+可得：2xy= p在圓c內 ()()2212115+ 設)21cos5,0,2,0,1sin5rrr = =，則cos12sin1rr+=+ ()1353cossinsin2222rrr+=+=+，其中1tan2= 由

29、)50,2,0,5r可知 53553222252r+=，且53553122252r+ + += 所以1,2+ 8、答案：43 解析：可依直角建立坐標系，則()()()()0,1 ,1,0 ,3,0 ,1,1cadb :330,:230,:1cd xybd xybcy+=+= 設(),p x y，則有3xy=，由圖可得p所在的區(qū)域為不等式組：3302301xyxyy+ 所求- 14 - / 16 13xy+=+，利用線性規(guī)劃可得：+的最大值為43，最優(yōu)解在d處取得 9、答案：136 解析：由12aox abx ac=+可得：212212ao abx abx ab acao acx ab acx ac=+=+ 由o是abc的外心可得：22112,122ao ababao acac= 12112252461423xxxxxx= += ，所以12136xx+= 10、答案：1049 解析：22ap aba