高中數(shù)學選修一2.5.1分層演練綜合提升

1、1 / 8 a 級 基礎鞏固 1.直線 l: y-1=k(x-1)和圓 x2+y2-2y=0 的關系是 ( ) a.相離 b.相切或相交 c.相交 d.相切 解析:直線 l 過定點 a(1,1),因為 12+12-2 1=0,所以點 a 在圓上.因為直線 x=1 過點 a 且為圓的切線,直線 l 的斜率存在,所以直線 l 與圓一定相交. 答案:c 2.直線 3x+4y=b與圓 x2+y2-2x-2y+1=0相切,則 b 的值是 ( ) a.-2 或 12 b.2 或-12 c.-2 或-12 d.2 或 12 解析:由題意,知圓的圓心為(1,1),半徑為 1. 因為直線 3x+4y=b與圓相切

2、,所以|3+4-|32+42=1,解得 b=2 或 b=12. 答案:d 3.若直線 2x+y+=0 被圓 x2+y2=4 截得的弦長為 23,則 m= ( ) a.5 b.5 c.10 d.25 解析:由題意,知圓的圓心坐標為(0,0),半徑 r=2.由直線被圓截得的弦長為 23,可得圓心到直線的距離為5=22-(232)2,解得 m=5. 答案:b 2 / 8 4.直線 x-y+1=0 與直線 2x-2y-1=0 是圓 c的兩條切線,則圓 c的面積是 ( ) a.98 b.916 c.932 d.964 解析:由題意,知直線 x-y+1=0 與直線 2x-2y-1=0 平行.由這兩條直線是

3、圓 c 的兩條切線,知兩直線之間的距離與圓 c 的直徑的長度相等.由直線 x-y+1=0 即 2x-2y+2=0,與直線 2x-2y-1=0 間的距離 d=|2+1|4+4=324,知圓 c的半徑 r=328,故圓 c的面積 s=r2=932. 答案:c 5.過點 p(-1,6),且與圓(x+3)2+(y-2)2=4 相切的直線方程是 3x-4y+27=0 或 x=-1. 解析:當所求直線的斜率存在時,設所求直線的方程為 y-6=k(x+1),則 d=|2-6-(-3+1)|1+2=2,解得 k=34,此時,直線方程為 3x-4y+27=0;當所求直線的斜率不存在時,所求直線的方程為 x=-1

4、,驗證可知,符合題意.所以所求直線方程為 3x-4y+27=0 或 x=-1. 6.已知直線 l:3x-y+1=0,圓 c的方程為 x2+y2+4x-2y+1=0. (1)判斷直線 l與該圓的位置關系. (2)若直線 l 與圓 c相交,求出弦長;否則,求出圓 c 上的點到直線 l的最短距離. 解:(1)因為圓 c的方程可化為(x+2)2+(y-1)2=4, 所以圓 c的圓心為 c(-2,1),半徑 r=2, 3 / 8 所以圓心 c到直線 l 的距離 d=|-23-1+1|(3)2+1=3r, 所以直線 l與圓 c相交. (2)由(1)知直線 l與圓 c相交,則弦長 l=22-2=24-3=2

5、. b 級 拓展提高 7.(全國卷改編)已知圓 c:x2+y2-6x=0,過點 d(1,2)的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為 ( ) a.1 b.2 c.3 d.4 解析:由圓的方程可得圓心為 c(3,0),半徑 r=3. 把點(1,2)的坐標代入圓的方程的左邊,得 12+22-6 1=-1.因為-10,所以點在圓內. 設圓心到直線的距離為 d,則過 d(1,2)的直線被圓截得的弦長|ab|=22-2. 所以當 d 最大時弦長|ab|最小,當直線與 cd 所在的直線垂直時 d最大. 因為 d最大=|cd|=(3-1)2+ (0-2)2=22, 所以最小的弦長|ab|=232-(22)2=

6、2. 故選 b. 答案:b 8.在平面直角坐標系 oxy 中,以點(1,0)為圓心,且與直線 mx-y-2m-1=0(mr)相切的所有圓中,半徑最大的圓的標準方程為(x-1)2+y2=2. 4 / 8 解析:因為直線 mx-y-2m-1=0 恒過定點(2,-1),所以圓心(1,0)與定點(2,-1)確定的直線與直線 mx-y-2m-1=0 垂直時,圓的半徑最大,且兩點之間的距離為 d=(2-1)2+ (-1-0)2=2,所以最大的半徑 r=2,所以半徑最大的圓的標準方程為(x-1)2+y2=2. 9.已知圓 c:x2+y2-8y+12=0 與直線 l:ax+y+2a=0 相交于 a,b 兩點,

7、且|ab|=22,則實數(shù) a=-7 或-1. 解析:將圓的方程化為標準方程可得 x2+(y-4)2=4,所以圓心為(0,4),半徑 r=2.因為圓 c 與直線 l 相交于 a,b 兩點,且|ab|=22,所以由垂徑定 理 和 勾 股 定 理 可 求 得 圓 心 到 直 線l的 距 離 為d=2-(|2)2=4-2=2. 由點到直線的距離公式可知 d=|4+2|2+1, 所以|4+2|2+1=2,化簡可得 a2+8a+7=0, 解得 a=-7 或 a=-1. 10.已知過點 a(0,1),且斜率為 k 的直線 l 與圓 c:(x-2)2+(y-3)2=1 交于 m,n兩點. (1)求 k的取值范

8、圍; (2)若 =12,其中 o 為坐標原點,求|mn|. 解:(1)由題意可得,直線 l 的斜率存在, 所以過點 a(0,1)的直線 l 的方程為 y=kx+1,即 kx-y+1=0. 由已知可得圓 c的圓心 c的坐標為(2,3),半徑 r=1. 當直線與圓相切時,有|2-3+1|2+1=1,解得 k1=4-73,k2=4+73. 5 / 8 故當4-73k4+73時,過點 a(0,1)的直線與圓 c:(x-2)2+(y-3)2=1 相交于 m,n兩點. (2)設 m(x1,y1),n(x2,y2), 由題意可得,經過點 m,n,a 的直線方程為 y=kx+1,代入圓 c 的方程(x-2)2

9、+(y-3)2=1,消去 y整理可得(1+k2)x2-4(k+1)x+7=0, 所以 x1+x2=4(1+)1+2,x1x2=71+2, 所以 y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=122+4+11+2. 由 =x1x2+y1y2=122+4+81+2=12, 解得 k=1, 所以直線 l的方程為 y=x+1,即 x-y+1=0. 所以圓心 c在直線 l 上,所以線段 mn即為圓的直徑,即|mn|=2. 11.某高速公路隧道內設雙行線公路,其截面由一段圓弧和一個長方形的三邊構成(如圖所示).已知隧道總寬度 ad 為 63 m,行車道總寬度 bc為 211

10、m,側墻面高 ea,fd 為 2 m,弧頂高 mn為 5 m. (1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?求圓弧所在圓的方程. (2)為保證安全,要求行駛車輛頂部(設為平頂)與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少為 0.5 m.請計算車輛通過隧道的限制高度是多少. 6 / 8 解:(1)如圖所示,以 ef 所在直線為 x軸,以 mn所在直線為 y軸,以1 m為單位長度建立平面直角坐標系,則 e(-33,0),f(33,0),m(0,3). 因為所求圓的圓心在 y軸上,所以設圓的方程為 x2+(y-b)2=r2. 因為點 f,m 在圓上,所以(33)2+ 2= 2,02+ (3-)2= 2,解得 = -3,

11、2= 36, 所以所求圓的方程為 x2+(y+3)2=36. (2)設限制高度為 h m,作 cpad,交圓弧于點 p,則|cp|=h+0.5.將點 p 的橫坐標 x=11代入圓的方程,得(11)2+(y+3)2=36,解得 y=2 或y=-8(舍去),所以 h=|cp|-0.5=(y+|df|)-0.5=(2+2)-0.5=3.5. 答:車輛通過隧道的限制高度是 3.5 m. c 級 挑戰(zhàn)創(chuàng)新 12.多選題在平面直角坐標系 oxy 中,圓 c 的方程為 x2+y2-4x=0.若直線 y=k(x+1)上存在一點 p,使過點 p 所作的圓的兩條切線相互垂直,則實數(shù) k的取值可以是 ( ) a.1

12、 b.2 c.3 d.4 解析:x2+y2-4x=0可化為(x-2)2+y2=4. 因為過點 p 所作的圓的兩條切線相互垂直,所以點 p、圓心 c、兩切點是構成一個正方形的四個頂點, 所以 pc=22. 7 / 8 因為 p 在直線 y=k(x+1)上,所以圓心到直線的距離 d=|2-0+|1+222,解得-22k22. 答案:ab 13.多選題已知點 a 是直線 l:x+y-2=0 上一定點,點 p,q 是圓x2+y2=1 上的動點,若paq 最大值為 90 ,則點 a 的坐標可以是 ( ) a.(0,2) b.(1,2-1) c.(2,0) d.(2-1,1) 解析:如圖所示, 圓心到直線 l 的距離為 d=212+12=1,則直線 l 與圓 x2+y2=1相切. 由圖可知,當 ap,aq 均為圓 x2+y2=1 的切線時,paq 的度數(shù)最大. 如 圖 , 連 接