高考大題專項(xiàng)練三　高考中的數(shù)列

1、1 / 5 高考大題專項(xiàng)練三高考大題專項(xiàng)練三 高考中的數(shù)列高考中的數(shù)列 高考大題專項(xiàng)練第高考大題專項(xiàng)練第 6 頁(yè)頁(yè) 一一、非選擇題、非選擇題 1.(2020 全國(guó),理 17)設(shè)an是公比不為 1的等比數(shù)列,a1為 a2,a3的等差中項(xiàng). (1)求an的公比; (2)若 a1=1,求數(shù)列nan的前 n項(xiàng)和. 解:(1)設(shè)an的公比為 q,由題設(shè)得 2a1=a2+a3,即 2a1=a1q+a1q2. 所以 q2+q-2=0,解得 q=1(舍去),q=-2.故an的公比為-2. (2)記 sn為nan的前 n 項(xiàng)和. 由(1)及題設(shè)可得,an=(-2)n-1. 所以 sn=1+2(-2)+n(-2)

2、n-1, -2sn=-2+2(-2)2+(n-1)(-2)n-1+n(-2)n. 可得 3sn=1+(-2)+(-2)2+(-2)n-1-n(-2)n=1-(-2)3-n(-2)n. 所以 sn=19(3+1)(-2)9. 2.已知數(shù)列an和bn滿足 a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4. (1)證明:an+bn是等比數(shù)列,an-bn是等差數(shù)列; (2)求an和bn的通項(xiàng)公式. 答案:(1)證明由題設(shè)得 4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即 an+1+bn+1=12(an+bn). 又因?yàn)?a1+b1=1,所以an+bn是首項(xiàng)為 1,公比為1

3、2的等比數(shù)列. 由題設(shè)得 4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即 an+1-bn+1=an-bn+2. 又因?yàn)?a1-b1=1,所以an-bn是首項(xiàng)為 1,公差為 2 的等差數(shù)列. (2)解由(1)知,an+bn=12-1,an-bn=2n-1. 所以 an=12(an+bn)+(an-bn)=12+n-12, bn=12(an+bn)-(an-bn) =12-n+12. 3.已知等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 sn,公差 d0,且 s3+s5=50,a1,a4,a13成等比數(shù)列. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)是首項(xiàng)為 1,公比為 3 的等比數(shù)列,求數(shù)列bn的前 n項(xiàng)和 t

4、n. 2 / 5 解:(1)依題意得,31+322 + 51+452 = 50,(1+ 3)2= 1(1+ 12), 解得1= 3, = 2. 故 an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1, 即 an=2n+1. (2)由題意可知,=3n-1, 則 bn=an 3n-1=(2n+1) 3n-1. 故 tn=3+53+732+(2n+1) 3n-1, 3tn=33+532+733+(2n-1) 3n-1+(2n+1) 3n, -得 -2tn=3+23+232+2 3n-1-(2n+1)3n =3+23(1-3-1)1-3-(2n+1)3n =-2n 3n, 因此,tn=n 3n. 4

5、.設(shè)an是等差數(shù)列,其前 n 項(xiàng)和為 sn(nn*);bn是等比數(shù)列,公比大于 0,其前 n項(xiàng)和為tn(nn*).已知 b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6. (1)求 sn和 tn; (2)若 sn+(t1+t2+tn)=an+4bn,求正整數(shù) n的值. 解:(1)設(shè)等比數(shù)列bn的公比為 q.由 b1=1,b3=b2+2,可得 q2-q-2=0.因?yàn)?q0,可得 q=2, 故 bn=2n-1. 所以,tn=1-21-2=2n-1. 設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d.由 b4=a3+a5,可得 a1+3d=4.由 b5=a4+2a6,可得 3a1+13d=16,從而 a1=

6、1,d=1,故 an=n. 所以,sn=(+1)2. (2)由(1),有 t1+t2+tn=(21+22+2n)-n=2(1-2)1-2-n=2n+1-n-2. 由 sn+(t1+t2+tn)=an+4bn可得,(+1)2+2n+1-n-2=n+2n+1, 整理得 n2-3n-4=0, 解得 n=-1(舍)或 n=4. 所以,n 的值為 4. 3 / 5 5.已知等比數(shù)列an的公比 q1,且 a3+a4+a5=28,a4+2 是 a3,a5的等差中項(xiàng).數(shù)列bn滿足b1=1,數(shù)列(bn+1-bn)an的前 n項(xiàng)和為 2n2+n. (1)求 q 的值; (2)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式. 解:(1)由

7、a4+2 是 a3,a5的等差中項(xiàng),得 a3+a5=2a4+4, 所以 a3+a4+a5=3a4+4=28,解得 a4=8. 由 a3+a5=20,得 8( +1)=20, 解得 q=2 或 q=12, 因?yàn)?q1,所以 q=2. (2)設(shè) cn=(bn+1-bn)an,數(shù)列cn前 n 項(xiàng)和為 sn,由 cn=1, = 1,-1, 2,解得 cn=4n-1. 由(1)可知 an=2n-1, 所以 bn+1-bn=(4n-1) (12)-1. 故 bn-bn-1=(4n-5) (12)-2,n2, bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b3-b2)+(b2-b1) =(4n-

8、5) (12)-2+(4n-9) (12)-3+712+3. 設(shè) tn=3+712+11 (12)2+(4n-5) (12)-2,n2, 12tn=312+7 (12)2+(4n-9) (12)-2+(4n-5) (12)-1, 所以12tn=3+412+4 (12)2+4 (12)-2-(4n-5) (12)-1, 因此 tn=14-(4n+3) (12)-2,n2,又 b1=1, 所以 bn=15-(4n+3) (12)-2. 6.設(shè) sn為等差數(shù)列an的前 n項(xiàng)和,已知 s3=a7,a8-2a3=3. (1)求 an; (2)設(shè) bn=1,數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和為 tn,求證:tn341

9、+1(nn*). 答案:(1)解設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d, 由題意,得31+ 3 = 1+ 6,(1+ 7)-2(1+ 2) = 3, 4 / 5 解得1= 3, = 2. 故 an=a1+(n-1)d=2n+1. (2)證明a1=3,d=2, sn=na1+(-1)2d=n(n+2). bn=1(+2)=12(1-1+2). tn=b1+b2+bn-1+bn =12(1-13) + (12-14)+(1-1-1+1) + (1-1+2) =12(1 +12-1+1-1+2) 12(1 +12-1+1-1+1) =341+1, 故 tn341+1. 7.已知正項(xiàng)數(shù)列an的首項(xiàng) a1=1,前

10、n項(xiàng)和 sn滿足 an=+ -1(n2). (1)求證:為等差數(shù)列,并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; (2)記數(shù)列1+1的前 n項(xiàng)和為 tn,若對(duì)任意的 nn*,不等式 4tna2-a恒成立,求實(shí)數(shù) a的取值范圍. 解:(1)因?yàn)?an=+ -1, 所以 sn-sn-1=+ -1, 即 -1=1, 所以數(shù)列是首項(xiàng)為1=1=1,公差為 1的等差數(shù)列,得=n, 所以 an=+ -1=n+(n-1)=2n-1(n2),當(dāng) n=1時(shí),a1=1 也適合,所以 an=2n-1. (2)因?yàn)?+1=1(2-1)(2+1)=12(12-1-12+1), 所以 tn=12(1-13+1315+12-112+1) =12

11、(1-12+1). 所以 tn12.要使不等式 4tna2-a 恒成立,只需 2a2-a恒成立,解得 a-1 或 a2,故實(shí)數(shù)a 的取值范圍是(-,-12,+). 8.已知數(shù)列an是公比為12的等比數(shù)列,其前 n項(xiàng)和為 sn,且 1-a2是 a1與 1+a3的等比中項(xiàng),數(shù)列bn是等差數(shù)列,其前 n 項(xiàng)和 tn滿足 tn=n bn+1(為常數(shù),且 1),其中 b1=8. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及 的值; 5 / 5 (2)比較11+12+13+1與12sn的大小. 解:(1)由題意,得(1-a2)2=a1(a3+1), 即(1-121)2=a1(141+ 1),解得 a1=12. 故 an=(12). 設(shè)等差數(shù)列bn的公差為 d, 又1= 2,2= 23,即8 = (8 + ),16 + = 2(8 + 2), 解得 =12, = 8或 = 1, = 0(舍去),故 =12. (2)由(1)知 sn=1-(12), 則12sn=12 (12)+114. 由(1)知 tn=12n