高考數(shù)學一輪復(fù)習第5章 第4節(jié) 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入

1、1 / 7 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 考試要求 1.理解復(fù)數(shù)的概念，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件. 2.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義. 3.能進行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算，了解兩個具體復(fù)數(shù)加、減運算的幾何意義 1復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 (1)復(fù)數(shù)的定義 形如 abi(a，br)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中實部是 a，虛部是 b. (2)復(fù)數(shù)的分類 復(fù)數(shù)zabi (a，br) 實數(shù)(b0)，虛數(shù)(b0),純虛數(shù)(a0，b0)，非純虛數(shù)(a0，b0). (3)復(fù)數(shù)相等 abicdiac且 bd(a，b，c，dr) (4)共軛復(fù)數(shù) abi 與 cdi 共軛ac 且 bd(a，b，c，dr) (5)復(fù)數(shù)的模 向量oz的模叫做

2、復(fù)數(shù) zabi 的模，記作|z|或|abi|，即|z|abi|ra2b2(r0，a，br) 2復(fù)數(shù)的幾何意義 (1)復(fù)數(shù) zabi復(fù)平面內(nèi)的點 z(a，b)(a，br) (2)復(fù)數(shù) zabi(a，br)平面向量oz. 3復(fù)數(shù)的運算 (1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法則 2 / 7 設(shè) z1abi，z2cdi(a，b，c，dr)，則 加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i； 減法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i； 乘法：z1 z2(abi) (cdi)(acbd)(adbc)i； 除法：z1z2abicdi(abi)(cdi)(cdi)(cdi)acbdc2d2bca

3、dc2d2i(cdi0) (2)復(fù)數(shù)加法的運算定律 復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何 z1，z2，z3c，有 z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3) 常用結(jié)論 1(1 i)2 2i；1i1ii；1i1ii. 2i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nn*) 3zz |z|2| z |2，|z1 z2|z1| |z2|，z1z2|z1|z2|，|zn|z|n. 一、易錯易誤辨析(正確的打“”，錯誤的打“”) (1)若 ac，則 a20.( ) (2)已知 zabi(a，br)，當 a0時，復(fù)數(shù) z 為純虛數(shù)( ) (3)復(fù)數(shù) zabi(a，br)的虛部為 bi.( )

4、(4)方程 x2x10 沒有解( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材習題衍生 1設(shè) z(1i)(2i)，則復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于( ) a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限 a z(1i)(2i)3i，故復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(3,1)位于第一象限 2在復(fù)平面內(nèi)，向量ab對應(yīng)的復(fù)數(shù)是 2i，向量cb對應(yīng)的復(fù)數(shù)是13i，則向量ca對應(yīng)的復(fù)數(shù)是( ) 3 / 7 a12i b12i c34i d34i d cacbbacbab13i2i34i，故選 d. 3設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足1z1zi，則|z|等于( ) a1 b 2 c 3 d2 a 1z1zi，則

5、zi11ii，|z|1. 4已知(12i) z 43i，則 z_. 2i 由(12i) z 43i 得 z 43i12i(43i)(12i)52i. z2i. 考點一 復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 解決復(fù)數(shù)概念問題的方法及注意事項 (1)求一個復(fù)數(shù)的實部與虛部，只需將已知的復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式 zabi(a，br)，則該復(fù)數(shù)的實部為 a，虛部為 b. (2)求一個復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，只需將此復(fù)數(shù)整理成標準的代數(shù)形式，實部不變，虛部變?yōu)橄喾磾?shù)，即得原復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) z1abi 與 z2cdi 共軛ac，bd(a，b，c，dr) (3)復(fù)數(shù)是實數(shù)的條件：zabirb0(a，br)；zrz z ；zrz20. (4)

6、復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的條件：zabi 是純虛數(shù)a0且 b0(a，br)；z 是純虛數(shù)z z 0(z0)；z 是純虛數(shù)z20. 1(2020 廣州模擬)如果復(fù)數(shù) z21i，那么( ) az 的共軛復(fù)數(shù)為 1i bz 的虛部為i c|z|2 dz 的實部為1 4 / 7 d z21i2(1i)(1i)(1i)22i21i，z 的實部為1，故選 d. 2(2020 大連模擬)設(shè)(12i)xxyi，其中 x，y 是實數(shù)，i 為虛數(shù)單位，則yxi ( ) a1 b 2 c 3 d 5 d 由 x2xixyi，x，yr，則 y2x，yxi |2i| 5，故選 d. 3如果復(fù)數(shù)m2i1mi是純虛數(shù)，那么實數(shù) m等于

7、( ) a1 b0 c0或 1 d0或1 d m2i1mi(m2i)(1mi)(1mi)(1mi)m2m(1m3)i1m2，因為此復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以 m2m0，1m30，解得 m1 或 0，故選 d. 考點二 復(fù)數(shù)的運算 復(fù)數(shù)代數(shù)形式運算問題的解題策略 (1)復(fù)數(shù)的加、減、乘法：復(fù)數(shù)的加、減、乘法類似于多項式的運算，可將含有虛數(shù)單位 i 的看作一類同類項，不含 i 的看作另一類同類項，分別合并即可 (2)復(fù)數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵是分子分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，使分母實數(shù)化解題中要注意把 i 的冪寫成最簡形式 典例 1 (1)對于兩個復(fù)數(shù) 1i，1i，有下列四個結(jié)論：1；i；1；220，其中正確結(jié)論

8、的個數(shù)為( ) a1 b2 c3 d4 (2)(2020 武漢調(diào)研)已知復(fù)數(shù) z 滿足 z|z|1i，則 z( ) ai bi 5 / 7 c1i d1i (1)c (2)b (1)(1i)(1i)2，不正確；1i1i(1i)2(1i)(1i)i，正確；|i|1，正確；22(1i)2(1i)22i2i0，正確 (2)設(shè) zabi(a，br)，則 z|z|(a a2b2)bi1i，所以 a a2b21，b1，解得 a0，b1，所以 zi，故選 b. 點評：(1)在只含有 z 的方程中，z 類似于代數(shù)方程中的 x，可直接求解； (2)在 z， z ，|z|中至少含有兩個的復(fù)數(shù)方程中，可設(shè) zabi

9、，a，br，變換方程，利用兩復(fù)數(shù)相等的充要條件得出關(guān)于 a，b的方程組，求出 a，b，從而得出復(fù)數(shù) z. 跟進訓(xùn)練 1(2020 全國卷)若 z (1i)1i，則 z( ) a1i b1i ci di d z(1i)1i， z1i1i(1i)2(1i)(1i)i，zi，故選 d. 2(2020 全國卷)若 z1i，則|z22z|( ) a0 b1 c 2 d2 d 法一：z1i，|z22z|(1i)22(1i)|2i2i2|2|2.故選 d. 法二：z1i，|z22z|z|z2| 2|1i| 2 22.故選 d. 考點三 復(fù)數(shù)的幾何意義 與復(fù)數(shù)幾何意義相關(guān)的問題的一般解法 6 / 7 典例 2

10、 (1)(2019 全國卷)設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足|zi|1，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x，y)，則( ) a(x1)2y21 b(x1)2y21 cx2(y1)21 dx2(y1)21 (2)(2020 黃岡模擬)已知 i 是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)i1i1在復(fù)平面上所對應(yīng)的點的坐標為( ) a(0,1) b(1,0) c(1,0) d(0，1) (3)已知 z(m3)(m1)i 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，則實數(shù) m 的取值范圍是( ) a(3,1) b(1,3) c(1，) d(，3) (1)c (2)a (3)a (1)由題意可知 zxyi， 所以|zi|x(y1)i| x2(y1)21. x2(y

11、1)21.故選 c. (2)i1i1(i1)(1i)2i，該復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對應(yīng)的點的坐標為(0,1)，故選 a. (3)由已知可得復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為(m3，m1)，所以 m30，m10，解得3m1，故選 a. 點評：復(fù)平面內(nèi)的點、向量及向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是一一對應(yīng)的，要求某個復(fù)數(shù)對應(yīng)的點，只需確定復(fù)數(shù)的實部和虛部即可 7 / 7 跟進訓(xùn)練 1.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) z1，z2對應(yīng)的向量分別是oa，ob，則復(fù)數(shù) z1 z2對應(yīng)的點位于( ) a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限 d 由已知oa(2，1)，ob(0,1)，所以 z12i，z2i，z1z212i， 它所對應(yīng)的點為(1，2)，在第四象限 2(2020 全國卷)設(shè)復(fù)數(shù) z1，z2滿足|z1|z2|2，z1z2 3i，則|z1z2|_. 2 3 設(shè) z1x1y1i(x1，y1r)，z2x2y2i(x2，y2r)，則由|z1|z2|2，得 x21