高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第5節(jié)　三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值

1、1 / 17 第 5 節(jié) 三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值 知 識(shí) 梳 理 1三角變換 三角變換是重要的代數(shù)式變形，變形過程中，不僅需要熟練把握各種三角公式，還需要有一種處理復(fù)雜代數(shù)式的能力，更需要有一種化歸的意識(shí) 2三角恒等變換中常用的方法技巧 (1)角的變換：在化簡(jiǎn)、求值、證明中，表達(dá)式中往往會(huì)出現(xiàn)較多的相異角，可根據(jù)角與角之間的和差、倍半、互補(bǔ)、互余的關(guān)系，運(yùn)用角的變換，縮小條件與結(jié)構(gòu)中角的差異，使問題獲解，此時(shí)需熟悉倍角與半角的相對(duì)性及角的拆并，變換的技巧，如3是 23的半角，2是4的二倍角，2()()，()等 (2)函數(shù)名稱的變換：在三角函數(shù)中，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是基礎(chǔ)，在變形中，通?；袨橄?，

2、變異名為同名 (3)常數(shù)代換：在三角函數(shù)的運(yùn)算、求值、證明中，有時(shí)需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)和或積等形式，例如常數(shù)“1”的代換變形為：1sin2cos2tan 45 sin 90 . (4)冪的變換：升冪和降冪是三角變換中常用的方法，對(duì)于次數(shù)較高的三角函數(shù)式，一般采用降冪處理的方法 (5)公式變形：三角公式是變換的依據(jù)，應(yīng)熟練掌握三角公 式及其逆用和變形應(yīng)用例如 sin cos 12sin 2， tan atan btan(ab)(1tan atan b)等 (1)輔助角公式：asin bcos a2b2sin()，其中角 所在象限由 a，b的符號(hào)確定，且 tan ba. (2)(選用)萬能公式

3、：sin 2tan 21tan22，cos 1tan221tan22，tan 2tan 21tan22. 2 / 17 (3)(選用)三倍角公式：sin 33sin 4sin3，cos 34cos33cos ，tan 33tan tan313 tan2. 診 斷 自 測(cè) 1判斷下列說法的正誤 (1)1tan 1tan tan4.( ) (2) 在 半 角 公 式 ： sin 2 1cos 2， cos 2 1cos 2， tan 21cos 1cos 中，符號(hào)由2所在象限決定( ) (3)tan 2sin 1cos 1cos sin .( ) (4)12cos 32sin cos(60 )(

4、) 答案 (1) (2) (3) (4) 解析 12cos 32sin cos 60 cos sin 60 sin cos(60 )，(4)不正確 2.1cos 2602的值是( ) asin 40 bcos 40 ccos 130 d cos 50 答案 a 解析 原式2cos21302|cos 130 |cos 50 sin 40 . 3若 cos 23，且 0，則 cos 2sin 2的值是( ) a.56 b.30 66 c.65 d.30 65 3 / 17 答案 b 解析 0，cos 23，sin 1cos253，則cos 2sin 221sin 153，檢驗(yàn)知 b符合上式 4若

5、sin322x 35，則 tan2x_ 答案 4 解析 sin322x 35，cos 2x35，即 cos 2x35，tan2xsin2xcos2x1cos 2x1cos 2x1351354. 5方程 sin x 3cos x1在區(qū)間0，2上的所有解的和等于_ 答案 73 解析 sin x 3cos x2sinx31，x0，2，解得 x12，x226，x1x273. 6定義運(yùn)算 abab2a2b，則 sin 15 cos 15 _ 答案 68 解析 由定義運(yùn)算知 sin 15 cos 15 sin 15 cos215 sin215 cos 15 sin 15 cos 15 (cos 15 si

6、n 15 )222sin 15 cos 15 sin(45 15 )68. 考點(diǎn)一 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn) 【例 1】 化簡(jiǎn)1sin 2cos 21sin 2cos 2. 解 原式2sin22sin cos 2cos22sin cos sin （sin cos ）cos （sin cos ）sin cos tan . 感悟升華 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則：一看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，正確使用公式；二看函數(shù)名稱之間的差異，確定使用的公4 / 17 式，常見的有“切化弦”；三看結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升冪”等 【訓(xùn)練 1】 化簡(jiǎn)tan

7、 tan 2tan 2tan 3(sin2cos2) 解 原式tan 2tan 1tan2tan 21tan21 3cos 2 2tan 1tan2 3cos 22sin cos cos2sin2cos2 3cos 2 sin 2 3cos 22sin23. 考點(diǎn)二 三角函數(shù)式的求值 角度 1 給角求值 【例 21】 求值： 1cos 20 2cos 40 sin 10 (1 3tan 10 ) 解 原式 2cos 10 2cos 40 sin 10 cos 10 3sin 10cos 10 2cos 10 2cos 40 2sin 10 sin 30 cos 10 cos 30 sin 10

8、cos 10 2 2(cos 40 cos 10 sin 10 sin 40 ) 2 2cos 30 6. 角度 2 給值求值 【例 22】 已知 ， 都是銳角，cos 17，cos()1114，求 cos 的值 解 ， 都是銳角，cos 17，sin 1cos24 37，又 0，cos()1114， sin() 1cos2（）5 314， 故 cos cos() 5 / 17 cos()cos sin()sin 1114175 3144 3712. 角度 3 給出關(guān)系式求值 【例 23】 已知 sin4cos459，求 sin 2的值 解 sin4 cos4 (sin2 cos2)2 2si

9、n2cos2 1 2sin2cos2 59，2sin2cos249， sin cos 23，sin 22sin cos 2 23. 角度 4 給值求角 【例 24】 若 sin 255，sin()1010，且 4， ，32，求 的值 解 sin 255，4， ，22，2 ， cos 22 55且 4，2， 又sin()1010，32， cos()3 1010， cos()cos()2 cos()cos 2sin()sin 2 3 10102 5510105522， 又 54，2 ，74. 感悟升華 (1)給角求值時(shí)，往往出現(xiàn)特殊角、出現(xiàn)正負(fù)項(xiàng)相消、分子分母出現(xiàn)公因式，注意觀察化簡(jiǎn)、求值； (2

10、)給值求值要尋找已知函數(shù)值的角與欲求函數(shù)值角之間的關(guān)系； (3)給出關(guān)系式求值，需要對(duì)已知關(guān)系式靈活變形、化簡(jiǎn)； (4)給值求角注意先求角的范圍，然后再求出在此范圍上一種單調(diào)函數(shù)的角的三角函數(shù)值 6 / 17 【訓(xùn)練 2】 (1)(角度 1)計(jì)算：2cos 10sin 70tan 20 . (2)(角度 2)已知 是第一象限角，sin 2425，求 tan 2的值 (3)(角度 3)已知 2sin 1cos ，求 tan 的值 (4)(角度 4)(一題多解)設(shè) cos 55，tan 13，32，02，求 的值 解 (1)2cos 10sin 70tan 20 2cos 10cos 20sin

11、20cos 20 2cos（30 20 ）cos 20sin 20cos 20 2（cos 30 cos 20 sin 30 sin 20 ）cos 20sin 20cos 20 3cos 20 sin 20cos 20sin 20cos 20 3. (2)因?yàn)?是第一象限角，sin 2425，所以 cos 1sin2124252725，所以 tan sin cos 247，tan 2tan 21tan22247，整理得 12tan227tan 2120，解得 tan 234或 tan 243(舍去)，故 tan 234. (3)因?yàn)?2sin 1cos ， 所以 4sin 2cos 2112

12、sin2 22sin22， 解得 sin 20或 2cos 2sin 2，tan 20或 2， 又 tan 2tan 21tan22， 當(dāng) tan 20時(shí)，tan 0；當(dāng) tan 22時(shí)，tan 43. (4)法一 由 cos 55，32，得 sin 2 55， 7 / 17 tan 2，又 tan 13， 于是 tan()tan tan 1tan tan 21312131. 又由 32， 02可得20，232， 因此 54. 法二 由 cos 55，32得 sin 2 55. 由 tan 13，02得 sin 110，cos 310. 所以 sin()sin cos cos sin 2 55

13、31055 11022. 又由 32，02可得 20，232，因此 54. 考點(diǎn)三 三角函數(shù)恒等式的證明 【例 3】 證明：sin（2）sin 2cos()sin sin . 證明 左端sin（）2cos（）sin sin sin（）cos cos（）sin sin sin（）sin sin sin 右端 感悟升華 (1)三角函數(shù)恒等式的證明要從“角、名、形”進(jìn)行分析消除兩端的差異； (2)常從繁雜一邊推出簡(jiǎn)單的一邊，或者兩邊同時(shí)推出一個(gè)共同式子，有時(shí)需對(duì)要證等式先進(jìn)行等價(jià)變換，進(jìn)而證明其等價(jià)命題(等式) 【訓(xùn)練 3】 證明：cos 44cos 238cos4. 證明 左邊cos 44cos

14、23 8 / 17 2cos2214cos 23 2(cos222cos 21)2(cos 21)2 2(2cos211)22(2cos2)28cos4右邊 三角函數(shù)求值 【例題】 (滿分 14 分)(2018 浙江卷)已知角 的頂點(diǎn)與原點(diǎn) o 重合，始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn) p35，45. (1)求 sin()的值； (2)若角 滿足 sin()513，求 cos 的值 審題路線圖 用三角函數(shù)定義求出sin ，cos 用誘導(dǎo)公式求出sin（）角度轉(zhuǎn)換（） 計(jì)算cos 滿分解答 解 (1)由角 的終邊過點(diǎn) p35，45得 sin 45，2分 所以 sin()sin 45.5

15、分 (2)由角的終邊過點(diǎn) p35，45得 cos 35， 7 分 由 sin()513得 cos()1213.10 分 由 ()得 cos cos()cos sin()sin ， 所以 cos 5665或 cos 1665.14分 構(gòu)建模板 利用三角函數(shù)定義求三角函數(shù) 誘導(dǎo)公式計(jì)算 9 / 17 平方關(guān)系計(jì)算 角的變換 利用兩角差的余弦公式，分類計(jì)算 明確規(guī)范的表述結(jié)論 【訓(xùn)練】 (2018 江蘇卷)已知 ，為銳角，tan 43，cos()55. (1)求 cos 2 的值； (2)求 tan()的值 解 (1)因?yàn)?tan 43，tan sin cos ，所以 sin 43cos . 因?yàn)?

16、sin2cos21，所以 cos2925， 因此 cos 22cos21725. (2)因?yàn)?， 為銳角，所以 (0，) 又因?yàn)?cos()55，所以 sin()1cos2（）2 55，因此tan()2. 因?yàn)?tan 43，所以 tan 22tan 1tan2247， 因此 tan()tan2()tan 2tan（）1tan 2tan（）211. 基礎(chǔ)鞏固題組 一、選擇題 1若 cos4 35，則 sin 2( ) a.725 b.15 c15 d725 10 / 17 答案 d 解析 cos4 35，sin 2cos22 cos 24 2cos24 1 23521725. 2若 sin6

17、13，則 cos232 ( ) a79 b13 c.13 d.79 答案 a 解析 6 32，cos3sin6 13，cos232 cos 23 2cos23 1219179. 3計(jì)算sin 47 sin 17 cos 30cos 17( ) a32 b12 c.32 d.12 答案 d 解析 原式sin（30 17 ）sin 17 cos 30cos 17 sin 30 cos 17 cos 30 sin 17 sin 17 cos 30cos 17 sin 30 cos 17cos 17sin 30 12. 4式子 3tan 11 3tan 19 tan 11 tan 19 的值是( )

18、a. 3 b.33 c0 d1 答案 d 解析 tan 30 tan(11 19 )tan 11 tan 191tan 11 tan 19， tan 11 tan 19 33(1tan 11 tan 19 )， 原式 3(tan 11 tan 19 )tan 11 tan 19 11 / 17 333(1tan 11 tan 19 )tan 11 tan 19 1. 5若 2， ，且 3cos 2sin4 ，則 sin 2 的值為( ) a118 b.118 c1718 d.1718 答案 c 解析 由 3cos 2sin4 ， 可得 3(cos2sin2)22(cos sin )， 于是 3

19、(cos sin )22， 所以 12sin cos 118， 所以 sin 21718，故選 c. 6已知 sin 55，sin()1010， 均為銳角，則角 ( ) a.512 b.3 c.4 d.6 答案 c 解析 因?yàn)?， 均為銳角，所以22. 又 sin()1010，所以 cos()3 1010. 又 sin 55，所以 cos 2 55， 所以 sin sin() sin cos()cos sin() 553 10102 55101022. 所以 4. 二、填空題 7已知 sin6 cos 13，則 sin6_ 答案 13 12 / 17 解析 sin6 cos 12cos 32s

20、in cos sin613， sin613. 8求值：tan 10 1cos 50_ 答案 3 解析 原式sin 10cos 101sin 40 cos 80sin 802cos 402sin 40 cos 40 cos 80 2cos 40sin 80 cos 80 2（cos 10 cos 30 sin 10 sin 30 ）sin 80 cos 80 3cos 10 sin 10sin 80 3cos 10sin 803sin 80sin 80 3. 9已知234，cos()1213，sin()35，則 sin 2 的值是_ 答案 5665 解析 234，342， 04，32， cos(

21、)1213，sin()35， sin()513，cos()45， sin 2sin（）（） 513451213355665. 10已知 sin(x20 )cos(x10 )cos(x10 )，則 tan x的值是_ 答案 3 解析 sin(x20 )cos(x10 )cos(x10 )， sin xcos 20 cos xsin 20 2cos xcos 10 ， 13 / 17 tan x2cos 10 sin 20cos 202cos（30 20 ）sin 20cos 20 2cos 30 cos 20 2sin 30 sin 20 sin 20cos 20 2cos 30 3. 三、解答

22、題 11求值：cos 15cos 215cos 315cos 415 cos 515cos 615cos 715. 解 原式1sin 15 sin 15cos 15cos 215cos 415 cos 5 cos 25cos 715 cos 3 1sin 1512sin 215cos 215cos 415cos 5cos 25cos 71512 1sin 15123sin 415cos 415 cos 5cos 25cos 715 1sin 15124sin 815cos 815 cos 5cos 25 1sin 15125sin 16151sin 5 sin 5cos 5cos 25 125

23、1sin 15 sin 151sin 512sin 25cos 25 1261sin 512sin 45 1271sin 5 sin 5 1271128. 12已知 cos4x 35，1712x74，求sin 2x2sin2x1tan x的值 解 sin 2x2sin2x1tan x2sin xcos x2sin2x1sin xcos x 2sin xcos x（cos xsin x）cos xsin x 14 / 17 sin 2x1tan x1tan x sin 2x tan 4x . 由1712x74， 得53x40， 因?yàn)?cos 225sin4， 所以(cos sin )(cos sin )15(sin cos )， 所以 cos sin 15，可得 0，4. 將 cos sin 15兩邊平方可得 12sin cos 125， sin cos 1225，sin cos sin2cos21225. 分子、分母同除以 cos2可得tan tan211225， 解得 tan 34或43(舍)，即 tan 34. 15.6sin 703 2cos 250的值等于_ 答案 4 6 解析 原式6sin 703 2cos 70 6cos 70 3 2sin 70sin 70 cos 70 2 612cos 70 32sin 70sin 70 cos 70 2 6