高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第5講　基本不等式

1、1 / 4 第 5講 基本不等式 激活思維 1. 設(shè) x0，y0，且 xy18，則 xy 的最大值為( ) a. 80 b. 77 c. 81 d. 82 2. 已知 x，y 均為正數(shù)，且滿足1x3y1，則 x3y 的最小值為( ) a. 9 b. 10 c. 12 d. 16 3. (多選)下列不等式證明過程正確的是( ) a. 若 a，br，則baab2baab2 b. 若 x1，y1，則 lgxlgy2 lgx lgy c. 若 x0，則 x4x2x4x4 d. 若 x0，則 2x2x2 2x 2x2 4. 函數(shù) ysinx4sinx，x0，2的最小值為_ 5. 已知 x0，b0，則 a

2、，b 的算術(shù)平均數(shù)為ab2，幾何平均數(shù)為 ab.基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù) 2. 利用基本不等式求最值問題 若 x0，y0，則： (1) 如果積 xy 是定值 p，那么當(dāng)且僅當(dāng)_時，xy 有最小值是_；(簡記：積定和最小) 2 / 4 (2) 如果和 xy 是定值 p，那么當(dāng)且僅當(dāng)_時，xy 有最大值是_(簡記：和定積最大) 3. 幾個重要的不等式 (1) a2b22ab，a，br；(2) baab2，ab0；(3) abab22，a，br；(4) a2b22ab22，a，br當(dāng)且僅當(dāng) ab時，等號成立 請同學(xué)們嘗試自己證明以上結(jié)論！ 分類解析 目標(biāo) 1 利

3、用基本不等式求最值 設(shè) x0，y0，xyx4ya，其中 a 為參數(shù) (1) 當(dāng) a0時，求 xy 的最小值； (2) 當(dāng) a5時，求 xy 的最小值 1. (2020 海淀期末)已知 log5xlog5y2，則 x4y 的最小值為_ 2. (2020 江蘇卷)已知 5x2y2y41(x，yr)，則 x2y2的最小值是_ 3. (2020 金陵中學(xué))已知 x0，y0，且 xy1，那么x2xy的最小值為_ 4. 已知 x0，y0，x3yxy9，則 x3y 的最小值為_ 5. 已知正數(shù) a，b滿足 ab2，則1a14b1的最小值為_ 目標(biāo) 2 利用基本不等式解決恒成立問題 已知對滿足 xy42xy

4、的任意正實數(shù) x，y，都有 x22xyy2axay10，那么實數(shù) a的取值范圍是_ 3 / 4 (1) 設(shè) k0，若關(guān)于 x 的不等式 kx4x112 在(1，)上恒成立，則 k 的最小值為_ (2) 已知 xy0，且 xy1，若 x2y2a(xy)恒成立，則實數(shù) a 的取值范圍是_ 目標(biāo) 3 基本不等式的實際應(yīng)用 某房地產(chǎn)開發(fā)公司計劃在一樓區(qū)內(nèi)建造一個長方形公園 abcd，公園由形狀為長方形 a1b1c1d1的休閑區(qū)和環(huán)公園人行道(陰影部分)組成已知休閑區(qū) a1b1c1d1的面積為 4 000 m2，人行道的寬分別為 4 m 和 10 m(如圖所示) (1) 若設(shè)休閑區(qū)的長和寬的比a1b1b

5、1c1x(x1)，求公園 abcd 所占面積 s關(guān)于x 的函數(shù) s(x)的解析式； (2) 要使公園所占面積最小，則休閑區(qū) a1b1c1d1的長和寬該如何設(shè)計？ (例 3) 某造紙廠擬建一座底面圖形為矩形且面積為 162 m2的三級污水處理池，池的深度一定(平面圖如圖所示)，如果池四周圍墻建造單價為 400 元/米，中間兩道隔墻建造單價為 248 元/米，池底建造單價為 80 元/平方米，水池所有墻的厚度忽略不計 (1) 設(shè)計污水處理池的寬為 x，總造價為 y，求 x 關(guān)于 y的表達式，并求出 y的最小值； (2) 若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過 16 m，試設(shè)計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價 (變式) 課堂評價 1. (多選)下列說法中正確的有( ) a. 不等式 ab2 ab恒成立 4 / 4 b. 存在 a，使得不等式 a1a2 成立 c. 若 a，b(0，)，則baab2 d. 若正實數(shù) x，y 滿足 x2y1，則2x1y8 2. (2020 錫山期中)(多選)設(shè)正實數(shù) m，n 滿足 mn2，則下列說法正確的是( ) a. 1m2n的最小值為32 22 b. mn2的最大值為12 c. m n的最小值為 2 d. m2n2的最小值為 2 3. 若兩個正實數(shù) x，y 滿足1x4y1，且不等式 xy4m23m 恒成立，則實