高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章 第4節(jié) 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) (2)

1、1 / 12 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) 考試要求 1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理. 2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題 1直線與平面垂直 (1)定義：如果直線 l 與平面 內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線 l 與平面 垂直 (2)判定定理與性質(zhì)定理 文字語言 圖形語言 符號語言 判定 定理 一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直 a，babolalbl 性質(zhì) 定理 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行 abab 2直線和平面所成的角 (1)平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫

2、做這條直線和這個(gè)平面所成的角 (2)當(dāng)直線與平面垂直和平行(或直線在平面內(nèi))時(shí)，規(guī)定直線和平面所成的角分別為 90 和 0 . (3)范圍：0，2. 3二面角的有關(guān)概念 (1)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角 (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別2 / 12 作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角 (3)范圍：0， 4平面與平面垂直 (1)定義：如果兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直 (2)判定定理與性質(zhì)定理 文字語言 圖形語言 符號語言 判定 定理 一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直 l

3、l 性質(zhì) 定理 兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直 lalal 常用結(jié)論 直線與平面垂直的五個(gè)結(jié)論 (1)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意直線. (2)若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面 (3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行 (4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這條直線與另一個(gè)平面也垂直 (5)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面 一、易錯(cuò)易誤辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”) (1)垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行( ) (2)若 ，aa.( ) (3)若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意

4、一條直線垂直于另一個(gè)平面( ) 3 / 12 (4)若平面 內(nèi)的一條直線垂直于平面 內(nèi)的無數(shù)條直線，則 .( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材習(xí)題衍生 1下列命題中錯(cuò)誤的是( ) a如果平面 平面 ，且直線 l平面 ，則直線 l平面 b如果平面 平面 ，那么平面 內(nèi)一定存在直線平行于平面 c如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 內(nèi)一定不存在直線垂直于平面 d如果平面 平面 ，平面 平面 ，l，那么 l a a 錯(cuò)誤，l 與 可能平行或相交，其余選項(xiàng)均正確 2如圖，正方形 sg1g2g3中，e，f分別是 g1g2，g2g3的中點(diǎn)，d 是 ef的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿 se，sf及 ef把這

5、個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使 g1，g2，g3三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為 g，則在四面體 s- efg中必有( ) asgefg所在平面 bsdefg所在平面 cgfsef所在平面 dgdsef所在平面 a 四面體 s- efg 如圖所示： 由 sgge，sggf. 且 gegfg得 sgefg所在的平面 故選 a. 3如圖所示，已知 pa平面 abc，bcac，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為_ 4 pa平面 abc， paab，paac，pabc， 則pab，pac為直角三角形 由 bcac，且 acpaa， 4 / 12 bc平面 pac， 從而 bcpc. 因此abc，pbc也是直角三角形 考點(diǎn)一

6、 直線與平面垂直的判定與性質(zhì) 判定線面垂直的四種方法 典例 1 (1)(2019 北京高考)已知 l，m是平面 外的兩條不同直線給出下列三個(gè)論斷： lm；m；l. 以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：_. (2)如圖所示，已知 ab為圓 o的直徑，點(diǎn) d為線段ab上一點(diǎn)，且 ad13db，點(diǎn) c 為圓 o上一點(diǎn)，且 bc3ac，pd平面 abc，pddb. 求證：pacd. (1)或 (1)已知 l，m是平面 外的兩條不同直線，由lm與m，不能推出l，因?yàn)?l 可以與 平行，也可以相交不垂直；由lm與l能推出m；由m與l可以推出lm.故正確的命題是或. (2)

7、證明 因?yàn)?ab為圓 o的直徑，所以 accb，在 rtacb中，由 3acbc，得abc30 . 設(shè) ad1，由 3addb，得 db3，bc2 3，由余弦定理得 cd2db25 / 12 bc22db bccos 30 3， 所以 cd2db2bc2，即 cdab. 因?yàn)?pd平面 abc，cd平面 abc， 所以 pdcd，由 pdabd，得 cd平面 pab，又 pa平面 pab，所以 pacd. 點(diǎn)評：通過本例(2)的訓(xùn)練我們發(fā)現(xiàn)：判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想；另外，在解題中要重視平面幾何知識，特別是正余弦定理及勾股定理的應(yīng)用 跟進(jìn)訓(xùn)練 如圖所示，在直三棱柱

8、abc- a1b1c1中，abacaa13，bc2，d是 bc的中點(diǎn)，f是 cc1上一點(diǎn)當(dāng) cf2時(shí)，證明：b1f平面 adf. 證明 因?yàn)?abac，d是 bc 的中點(diǎn)，所以 adbc. 在直三棱柱 abc- a1b1c1中， 因?yàn)?bb1底面 abc，ad底面 abc， 所以 adb1b. 因?yàn)?bcb1bb，bc，b1b平面 b1bcc1， 所以 ad平面 b1bcc1. 因?yàn)?b1f平面 b1bcc1， 所以 adb1f. 法一：在矩形 b1bcc1中， 因?yàn)?c1fcd1，b1c1cf2， 所以 rtdcfrtfc1b1， 所以cfdc1b1f， 所以b1fd90 ，所以 b1ffd

9、. 因?yàn)?adfdd，ad，fd平面 adf， 所以 b1f平面 adf. 法二：在 rtb1bd中，bdcd1，bb13， 所以 b1d bd2bb21 10. 在 rtb1c1f中，b1c12，c1f1， 6 / 12 所以 b1f b1c21c1f2 5. 在 rtdcf中，cf2，cd1， 所以 dfcd2cf2 5. 顯然 df2b1f2b1d2， 所以b1fd90 .所以 b1ffd. 因?yàn)?adfdd，ad，fd平面 adf， 所以 b1f平面 adf. 考點(diǎn)二 面面垂直的判定與性質(zhì) 證明面面垂直的兩種方法 典例 2 (2020 雅安模擬)如圖，菱形 abcd與正三角形bce的邊

10、長均為 2，它們所在平面互相垂直，fd平面abcd. (1)求證：平面 acf平面 bdf； (2)若cba60 ，求三棱錐 e- bcf的體積 解 (1)證明：在菱形 abcd中，acbd， fd平面 abcd，fdac. 又bdfdd，ac平面 bdf. 而 ac平面 acf，平面 acf平面 bdf. (2)取 bc的中點(diǎn) o，連接 eo，od， bce為正三角形，eobc， 平面 bce平面 abcd且交線為 bc， eo平面 abcd. fd平面 abcd， eofd，得 fd平面 bce. 7 / 12 ve- bcfvf- bcevd- bceve- bcd. sbcd1222s

11、in 120 3，eo 3. ve- bcf13sbcdeo13 3 31. 點(diǎn)評：抓住面面垂直的性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)面面與線面及線線垂直間的轉(zhuǎn)化是求解本題的關(guān)鍵，另外在第(2)問求解體積時(shí)等體積法的應(yīng)用，是破題的另一要點(diǎn)，平時(shí)訓(xùn)練要注意靈活應(yīng)用 跟進(jìn)訓(xùn)練 (2020 廣州模擬)如圖，在三棱錐 v- abc 中，平面 vab平面 abc，vab 為等邊三角形，acbc，且 acbc 2，o，m 分別為 ab，va 的中點(diǎn) (1)求證：平面 moc平面 vab； (2)求三棱錐 b- vac 的高 解 (1)證明：acbc，o 為 ab的中點(diǎn)， ocab. 平面 vab平面 abc，平面 vab平面 ab

12、cab，oc平面 abc，oc平面 vab. oc平面 moc, 平面 moc平面 vab. (2)在等腰直角acb 中，acbc 2， ab2，oc1， 等邊vab的面積為 svab1222sin 60 3， 又oc平面 vab，ocom， 在amc中，am1，ac 2，mc 2， samc1217274，svac2smac72， 由三棱錐 v- abc的體積與三棱錐 c- vab 的體積相等， 即13svac h13svab oc, h31722 217， 8 / 12 即三棱錐 b- vac的高為2 217. 考點(diǎn)三 平行與垂直的綜合問題 1.對命題條件的探索的三種途徑 途徑一：先猜后證

13、，即先觀察與嘗試給出條件再證明 途徑二：先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性 途徑三：將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題 2解決平面圖形翻折問題的關(guān)鍵是抓住“折痕”，準(zhǔn)確把握平面圖形翻折前后的兩個(gè)“不變” (1)與折痕垂直的線段，翻折前后垂直關(guān)系不改變； (2)與折痕平行的線段，翻折前后平行關(guān)系不改變 探索性問題中的平行和垂直關(guān)系 典例 31 (2019 北京高考)如圖，在四棱錐 p- abcd中，pa平面 abcd，底面 abcd 為菱形，e為 cd的中點(diǎn) (1)求證：bd平面 pac； (2)若abc60 ，求證：平面 pab平面 pae； (3)棱 pb上是否存在點(diǎn) f，使得

14、 cf平面 pae？說明理由 解 (1)證明：因?yàn)?pa平面 abcd， 所以 pabd. 因?yàn)榈酌?abcd為菱形，所以 bdac. 又 paaca，所以 bd平面 pac. (2)證明：因?yàn)?pa平面 abcd，ae平面abcd， 所以 paae. 因?yàn)榈酌?abcd為菱形，abc60 ，且 e為cd的中點(diǎn)，所以 aecd，所以 abae. 又 abpaa， 所以 ae平面 pab. 9 / 12 因?yàn)?ae平面 pae， 所以平面 pab平面 pae. (3)棱 pb上存在點(diǎn) f，使得 cf平面 pae. 取 f為 pb 的中點(diǎn)，取 g為 pa 的中點(diǎn)，連接 cf，fg，eg. 則 fg

15、ab，且 fg12ab. 因?yàn)榈酌?abcd為菱形，且 e為 cd的中點(diǎn)， 所以 ceab，且 ce12ab. 所以 fgce，且 fgce. 所以四邊形 cegf為平行四邊形 所以 cfeg. 因?yàn)?cf平面 pae，eg平面 pae， 所以 cf平面 pae. 點(diǎn)評：(1)處理空間中平行或垂直的探索性問題，一般先根據(jù)條件猜測點(diǎn)的位置，再給出證明探索點(diǎn)存在問題，點(diǎn)多為中點(diǎn)或 n 等分點(diǎn)中的某一個(gè)，需根據(jù)相關(guān)的知識確定點(diǎn)的位置 (2)利用向量法，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)論變條件，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并指明點(diǎn)的位置 折疊問題中的平行與垂直關(guān)系 典例 32 (2018 全國卷) 如圖，在平行四邊形 abcm 中

16、，abac3，acm90 .以 ac為折痕將acm折起，使點(diǎn) m到達(dá)點(diǎn) d 的位置，且 abda. (1)證明：平面 acd平面 abc； (2)q為線段 ad上一點(diǎn)，p為線段 bc上一點(diǎn)，且 bpdq23da，求三棱錐 q- abp 的體積 解 (1)證明：由已知可得，bac90 ，即 baac. 又 baad，adaca，ad，ac平面 acd， 所以 ab平面 acd. 10 / 12 又 ab平面 abc， 所以平面 acd平面 abc. (2)由已知可得，dccmab3，da3 2. 又 bpdq23da，所以 bp2 2. 如圖，過點(diǎn) q作 qeac，垂足為 e， 則 qedc且

17、qe13dc. 由已知及(1)可得，dc平面 abc， 所以 qe平面 abc， qe1. 因此，三棱錐 q- abp 的體積為 vq- abp13sabpqe 131232 2sin 45 11. 點(diǎn)評：本例第(1)問是垂直關(guān)系證明問題，求解的關(guān)鍵是抓住“baac”折疊過程中始終不變；本例第(2)問是計(jì)算問題，求解的關(guān)鍵是抓住“acm90 ”折疊過程中始終不變即折疊問題的處理可采用：不變的關(guān)系可在平面圖形中處理，而對于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決. 跟進(jìn)訓(xùn)練 1(2020 梧州模擬)如圖，四邊形 abcd中，abadcd1，bd 2，bdcd.將四邊形 abcd沿對角線 bd折成四面體 a

18、- bcd，使平面 abd平面 bcd，則下列結(jié)論正確的是( ) aacbd bbac90 cca與平面 abd所成的角為 30 d四面體 a- bcd的體積為13 11 / 12 b 若 a成立可得 bdad，產(chǎn)生矛盾，故 a錯(cuò)誤；由題設(shè)知：bad為等腰直角三角形，cd平面 abd，得 ba平面 acd，于是 b正確；由 ca與平面 abd所成的角為cad45 知 c錯(cuò)誤；va- bcdvc- abd16 ，故 d錯(cuò)誤，故選 b. 2.如圖，直三棱柱 abc- a1b1c1中，d，e 分別是棱bc，ab 的中點(diǎn)，點(diǎn) f 在棱 cc1上，已知 abac，aa13，bccf2. (1)求證：c1e平面 adf； (2)設(shè)點(diǎn) m在棱 bb1上，當(dāng) bm 為何值時(shí)，平面 cam平面 adf? 解 (1)證明：連接 ce交 ad于 o，連接 of. 因?yàn)?ce，ad為abc的中線， 則 o為abc的重心， 故cfcc1coce23，故 ofc1e， 因?yàn)?of平面 adf，c1e平面 adf， 所以 c1e平面 adf.