高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)(三十一)　平面向量的綜合應(yīng)用 (2)

1、1 / 4 課時(shí)作業(yè)(三十一) 平面向量的綜合應(yīng)用 基礎(chǔ)過關(guān)組 一、單項(xiàng)選擇題 1已知向量 acos 6，sin 6，bcos 56，sin 56，則|ab|( ) a1 b62 c 3 d102 解析 因?yàn)?abcos 6cos 56，sin 6sin 56( 3，0)，所以|ab| 3。故選 c。 答案 c 2已知向量 a(1，sin )，b(1，cos )，則|ab|的最大值為( ) a1 b 2 c 3 d2 解析 因?yàn)?a(1，sin )，b(1，cos )，所以 ab(0，sin cos )。所以|ab|02(sin cos )2 1sin 2。所以|ab|的最大值為 2。故選 b

2、。 答案 b 3已知 a，b 是圓心為 c，半徑為 5的圓上的兩點(diǎn)，且|ab| 5，則ac cb( ) a52 b52 c0 d5 32 解析 由于弦長(zhǎng)|ab| 5與半徑相等，則acb60 ，ac cbca cb|ca| |cb| cosacb5 5cos 60 52。 答案 a 4在abc 中，ac4，ab2，若 g 為abc 的重心，則ag bc( ) a8 b6 c4 d2 解析 因?yàn)閍g13(acab)，bcacab，所以ag bc13(acab) (acab)13(ac2ab2)4。故選 c。 答案 c 5已知向量ab與ac的夾角為 120 ，且|ab|2，|ac|4，若apabac

3、，且apbc，則實(shí)數(shù) 的值為( ) a45 b45 c25 d25 解析 因?yàn)閍b ac24cos 120 4，所以ap bc(abac) (acab)416440，解得 25。故選 c。 答案 c 6已知abc 是邊長(zhǎng)為 2 的等邊三角形，p 為平面 abc 內(nèi)一點(diǎn)，則pa (pbpc)的最小值是( ) a2 b32 c43 d1 解析 如圖，以等邊三角形 abc 的底邊 bc 所在直線為 x 軸，以 bc 的垂直平分線為 y 軸建立平面直角坐標(biāo)系，則 a(0， 3)，b(1,0)，c(1,0)，設(shè) p(x，y)，則pa(x， 3y)，pb(1x，y)，pc(1x，y)，所以pa (pbpc

4、)(x， 3y) (2x，2y)2x22y32232，當(dāng) x0，y32時(shí)，pa (pbpc)取得最小值，為32。 2 / 4 答案 b 二、多項(xiàng)選擇題 7(2020 山東模擬)設(shè)向量 a(2,0)，b(1,1)，則( ) a|a|b| b(ab)b c(ab)b da 與 b 的夾角為4 解析 因?yàn)閨a|2，|b| 2，所以 a 錯(cuò)誤；ab(1，1)，所以(ab) b110，所以(ab)b，所以 b 錯(cuò)誤，c 正確；因?yàn)?cosa，ba b|a|b|22 222，且 0a，b，所以 a，b 的夾角為4，所以 d 正確。故選 cd。 答案 cd 8(2020 泰安模擬)已知向量 a(2,1)，b

5、(1，1)，c(m2，n)，其中 m，n 均為正數(shù)，且(ab)c，下列說法正確的是( ) aa 與 b 的夾角為鈍角 b向量 a 在 b 方向上的投影為55 c2mn4 dmn的最大值為 2 解析 對(duì)于 a，向量 a(2,1)，b(1，1)，則 a b2110，則 a 與 b 的夾角為銳角，a 錯(cuò)誤；，對(duì)于 b，向量 a(2,1)，b(1，1)，則向量 a 在 b 方向上的投影為a b|b|22，b 錯(cuò)誤；對(duì)于 c，向量 a(2,1)，b(1，1)，則 ab(1,2)，若(ab)c，則(n)2(m2)，變形可得 2mn4，c 正確；對(duì)于d，由 c 的結(jié)論，2mn4，而 m，n 均為正數(shù)，則有

6、mn12(2m n)122mn222，當(dāng)且僅當(dāng) 2mn 取等號(hào)，即 mn 的最大值為 2，d 正確。故選 cd。 答案 cd 三、填空題 9設(shè) e1，e2，e3為單位向量，且 e312e1ke2(k0)，若以向量 e1，e2為鄰邊的三角形的面積為12，則 k_。 解析 設(shè) e1，e2的夾角為 ，則由以向量 e1，e2為鄰邊的三角形的面積為12，得1211sin 12，得sin 1，所以 90 ，所以 e1 e20，從而對(duì) e312e1ke2兩邊同時(shí)平方得 114k2，解得 k32或 k32(舍去)，所以 k32。 答案 32 10在abc 中，若ab acab cb2，則邊 ab 的長(zhǎng)等于_。

7、 解析 由題意知ab acab cb4，即ab (accb)4，即ab ab4，所以|ab|2。 答案 2 11設(shè)向量oa(1，2)，ob(a，1)，oc(b,0)，其中 o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，a0，b0，若 a，b，c三點(diǎn)共線，則1a2b的最小值為_。 解析 因?yàn)閛a(1，2)，ob(a，1)，oc(b,0)，所以aboboa(a1,1)，acocoa(b1,2)，因?yàn)?a，b，c 三點(diǎn)共線，所以abac，即(a1,1)(b1,2)，所以 a1(b1)，12，可得 2ab1，因?yàn)?a0，b0，所以1a2b1a2b(2ab)22ba4ab42ba4ab8，當(dāng)且僅當(dāng)ba4ab，即 a14，b12時(shí)取等

8、號(hào)，故1a2b的最小值為 8。 答案 8 四、解答題 12在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，已知向量 m22，22，n(sin x，cos x)，x0，2。 3 / 4 (1)若 mn，求 tan x 的值； (2)若 m 與 n 的夾角為3，求 x 的值。 解析 (1)因?yàn)?m22，22，n(sin x，cos x)，mn，所以 m n22sin x22cos x0， 即 sin xcos x，所以 tan xsin xcos x1。 (2)由題意知，|m|2222221， |n| sin2xcos2x1， m n22sin x22cos xsinx4。 而 m n|m|n|cosm，ncos

9、312， 所以 sinx412。 又因?yàn)?x0，2，x44，4， 所以 x46，所以 x512。 13在abc 中，a，b，c分別是角 a，b，c 的對(duì)邊，c2a，cos a34。 (1)求 cos c，cos b的值； (2)若ba bc272，求邊 ac 的長(zhǎng)。 解 (1)cos ccos 2a2cos2a12342118， 所以 sin c3 78，sin a74。 所以 cos bcos(ac)sin asin ccos acos c743 783418916。 (2)因?yàn)閎a bc272，所以 accos b272， 即 ac24 。又asin acsin c，c2a， 所以 c2a

10、cos a32a 。 由解得 a4，c6。 所以 b2a2c22accos b163624691625。 所以 b5，即邊 ac 的長(zhǎng)為 5。 素養(yǎng)提升組 14(多選)已知點(diǎn) p 為abc 所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且pa2pb3pc0，若 e為 ac的中點(diǎn)，f為 bc的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是( ) a向量pa與pc可能平行 b向量pa與pc可能垂直 c點(diǎn) p 在線段 ef 上 dpepf12 解析 e 為 ac 的中點(diǎn)，f 為 bc 的中點(diǎn)，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算可知pe12(papc)，pf12(pbpc)，由pa2pb3pc0，得12papb32pc0，所以12pa12pc212pb12pc0，

11、pe2pf，則點(diǎn) p在線段 ef 上，且 pepf21，故 c 正確，d 錯(cuò)誤；由平面向量線性運(yùn)算可知，向量pa與pc不可能平行，但可能垂直，故 a 錯(cuò)誤，b 正確。故選 bc。 答案 bc 15(2021 江西省八校聯(lián)考)在abc 中，內(nèi)角 a，b，c 所對(duì)的邊分別為 a，b，c，若 cos a (b2c)a (2cos c 3sin b)，c2b，且|ab2ac|6，則邊長(zhǎng) a 的值為_。 解析 由 cos a(b2c)a(2cos c 3sin b)，可得 cos a(sin b2sin c)sin a(2cos c3sin b)，sin bcos a2(sin acos csin cc

12、os a)3sin asin b，sin bcos a2sin(ac) 3sin asin b，sin bcos a2sin b4 / 4 3sin asin b，因?yàn)?sin b0，所以 3sin acos a2，所以 sina61，又0a，所以6a676，所以 a62，所以 a3。因?yàn)閨ab2ac|2c24bccos a4b236，c2b，所以 b 3，c2 3。所以 a2b2c22bccos a31269，故 a3。 答案 3 16已知向量 a，b 滿足|a|1，且對(duì)任意實(shí)數(shù) x，y，|axb|的最小值為32，|bya|的最小值為 3，則|ab|_。 解析 不妨設(shè)向量 a(1,0)，b(m，n)，則 axb(1xm，xn)，bya(my，n)。因?yàn)閨axb|2(1xm)2(xn)2(m2n2)x22mx1，又對(duì)任意