高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)(五十八)　求值、證明、最值與范圍問題

1、1 / 5 課時(shí)作業(yè)(五十八) 求值、證明、最值與范圍問題 1已知拋物線 c：y22px(p0)的焦點(diǎn)為 f，q12， t 在拋物線 c 上，且|qf|32。 (1)求拋物線 c 的方程及 t的值； (2)若過點(diǎn) m(0，t)的直線 l 與拋物線 c 相交于 a，b 兩點(diǎn)，n 為 ab 的中點(diǎn)，o 是坐標(biāo)原點(diǎn)，且 saob3smon，求直線 l 的方程。 解 (1)因?yàn)閨qf|32， 所以12p232，解得 p2， 所以拋物線 c 的方程為 y24x。 將 q12， t 的坐標(biāo)代入 y24x，得 t2。 (2)設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，n(x0，y0)， 由(1)知 m(0,2)

2、。 顯然直線 l的斜率存在，設(shè)直線 l：ykx2(k0)， 聯(lián)立 y24x，ykx2，消去 y 得 k2x24(1k)x40。 因?yàn)?16(1k)216k20，得 kb0)過點(diǎn) m1，32，左焦點(diǎn)為 f(1,0)。 (1)求橢圓 c 的方程； (2)已知直線 ykx2 與橢圓 c 有兩個(gè)不同的交點(diǎn) p，q，點(diǎn) n(0，2)，記直線 np，nq 的斜率分別為 k1，k2，求 k1 k2的取值范圍。 解 (1)因?yàn)樽蠼裹c(diǎn)為 f(1,0)，所以 c1。 因?yàn)闄E圓 c 過點(diǎn) m1，32， 所以1a294b21，又 a2b2c2， 所以 a24，b23，所以橢圓 c 的方程為x24y231。 (2)設(shè)

3、p(x1，y1)，q(x2，y2)， 聯(lián)立得 x24y231，ykx2，得(34k2)x216kx40。 由 (16k)244(34k2)0k214， 。 x1x216k34k2，x1 x2434k2， y1y2k(x1x2)41234k2， 2 / 5 y1y2k2x1x22k(x1x2)41212k234k2， 所以 k1 k2y12x1y22x2y1y22(y1y2)4x1x2k212， 因?yàn)?k214，所以 k212494， ， 所以 k1 k2的取值范圍為494， 。 3(2021 黑龍江哈爾濱三中一模)已知 a，b 分別是橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)的左、右頂點(diǎn)，p 為橢

4、圓c 上一點(diǎn)，p 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)為 h，且 kpa kbh12(kpa，kbh分別為直線 pa，bh 的斜率)。 (1)若橢圓 c 經(jīng)過圓 x2(y1)24 的圓心，求橢圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)在(1)的條件下，拋物線 d：y22px(p0)的焦點(diǎn) f 與點(diǎn)18，2 關(guān)于 y軸上某點(diǎn)對(duì)稱，且拋物線 d與橢圓 c 在第四象限交于點(diǎn) q，過點(diǎn) q 作拋物線 d 的切線，求該切線方程，并求該直線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積。 解 (1)設(shè) p(x，y)，y0， 由題知 a(a,0)，b(a，0)， 則點(diǎn) p 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn) h(x，y)， kpayxa，kbhyax。 因?yàn)閤2a2y2

5、b21， 所以 y21x2a2b2b2a2(a2x2)， 所以 kpa kbhy2a2x2b2a212。 又橢圓 c 經(jīng)過圓 x2(y1)24 的圓心(0,1)， 所以0a21b21。 所以 a22，b21， 所以橢圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22y21。 (2)由題意得，拋物線的焦點(diǎn)為 f18，0 ， 故拋物線的方程為 y2x2， 聯(lián)立 y2x2，x22y21，解得 x1 或 x2(舍去)， 所以 q1，22。 設(shè)拋物線 y2x2在點(diǎn) q1，22處的切線方程為 yk(x1)22， 聯(lián)立 y2x2，yk(x1)22， 整理得 2ky2y22k0， 由 0 解得 k24， 所以所求的切線方程為 y24

6、(x1)22， 即 x2 2y10。 令 x0，得 y24；令 y0，得 x1。 故所求三角形的面積 s1224128。 3 / 5 4(2021 福建廈門第一次質(zhì)量檢測(cè))在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，圓 a：(x1)2y216，點(diǎn) b(1,0)，過 b 的直線 l與圓 a 交于點(diǎn) c，d，過 b 作直線 be 平行 ac 交 ad 于點(diǎn) e。 (1)求點(diǎn) e 的軌跡 的方程； (2)過 a 的直線與 交于 h，g 兩點(diǎn)，若線段 hg 的中點(diǎn)為 m，且mn2om，求四邊形 ohng 面積的最大值。 解 (1)因?yàn)閨eb|ac|ed|ad|，|ac|ad|4， 所以|eb|ed|， 所以|eb|

7、ea|ed|ea|ad|4|ab|2， 所以 e 的軌跡是焦點(diǎn)為 a，b，長軸長為 4 的橢圓的一部分， 設(shè)橢圓方程為x2a2y2b21(ab0)， 則 2a4,2c2，所以 a24，b2a2c23， 所以橢圓方程為x24y231， 又因?yàn)辄c(diǎn) e 不在 x 軸上， 所以 y0，所以點(diǎn) e 的軌跡 的方程為 x24y231(y0)。 (2)易知直線 hg 的斜率不為 0，設(shè) xty1，g(x1，y1)，h(x2，y2)， 聯(lián)立 xty1，x24y231，整理得(3t24)y26ty90， 所以 36t236(3t24)144(t21)0，y1y26t3t24，y1y293t24， 所以 sohg

8、12|oa|y1y2|6 t213t24， 因?yàn)閙n2om，所以 sghn2sohg， 設(shè)四邊形 ohng 的面積為 s，則 ssohgsghn3sohg18 t213t24183t24t21183 t211t21， 令 t21m(m1)， 再令 y3m1m，則 y3m1m在1，)上單調(diào)遞增，所以 m1 時(shí)，ymin4， 此時(shí) t0,3 t211t21取得最小值 4， 所以 smax92。 5已知橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)的左焦點(diǎn)為 f(1,0)，且點(diǎn)1，22在橢圓 c 上。 (1)求橢圓 c 的方程； (2)設(shè)過點(diǎn) f 的直線 l 與橢圓 c 相交于 a，b 兩點(diǎn)，直線 m：x2

9、，過 f 作垂直于 l 的直線與直線 m交于點(diǎn) t，求|tf|ab|的最小值和此時(shí) l的方程。 解 (1)由題意可得 c1，a2b2c2，1a212b21 a 2，b1， 所以橢圓 c 的方程為x22y21。 (2)當(dāng)直線 l的斜率不存在時(shí)，直線 l： x1，t(2，0)，a1，22，b1，22， 此時(shí)|tf|ab|22。 當(dāng)直線 l 的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 l： 4 / 5 yk(x1)(k0)，a(x1，y1)，b(x2，y2)， 聯(lián)立 yk(x1)，x22y220， 得(12k2)x24k2x2k220， 則 8(k21)0，x1x24k212k2， x1x22k2212k2， 所以|ab

10、| 1k2|x1x2|2 2(k21)12k2。 由 y1k(x1)，x2得 x2，y1k， 所以 t2，1k，所以|tf| 1k2k2， 所以|tf|ab|12k22 2 k2(k21) (1k2)k22 2 k2(k21)2 (1k2) k22 2 k2(k21) 22(因?yàn)?1k2k2，所以無法取等號(hào))。 綜上，|tf|ab|的最小值為22，此時(shí) l 的方程為 x1。 6(2021 貴陽市適應(yīng)性考試)在平面直角坐標(biāo)系中取兩個(gè)定點(diǎn) a1( 6，0)，a2( 6，0)，再取兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)n1(0，m)，n2(0，n)，且 mn2。 (1)求直線 a1n1與 a2n2交點(diǎn) m 的軌跡 c 的方程；

11、(2)過 r(3,0)的直線 l 與軌跡 c 交于 p，q 兩點(diǎn)，過 p 作 pnx 軸且與軌跡 c 交于另一點(diǎn) n，f 為軌跡c 的右焦點(diǎn)，若rprq(1)，求證：nffq。 解 (1)依題意知直線 a1n1的方程為 ym6(x 6) ， 直線 a2n2的方程為 yn6(x 6) ， 設(shè) m(x，y)是直線 a1n1與 a2n2的交點(diǎn)， 得 y2mn6(x26)， 由 mn2，整理得x26y221。 因?yàn)?n1，n2不與原點(diǎn)重合， 所以 a1，a2不在軌跡 c 上， 故所求軌跡 c 的方程為x26y221(x 6)。 (2)證明：設(shè) l：xty3，p(x1，y1)，q(x2，y2)， 則 n(x1，y1)， 由 xty3，x26y221，得(t23)y26ty30 (*)。 y1y26tt23，y1y23t23。 由rprq，得(x13，y1)(x23，y2)， 故 x13(x23)，