高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)(四十三)　空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 (2)

1、1 / 5 課時(shí)作業(yè)(四十三) 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 基礎(chǔ)過關(guān)組 一、單項(xiàng)選擇題 1已知 a，b 是異面直線，直線 c 平行于直線 a，那么 c 與 b( ) a一定是異面直線 b一定是相交直線 c不可能是平行直線 d不可能是相交直線 解析 由已知得直線 c 與 b 可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若 bc，則 ab，與已知 a，b 為異面直線相矛盾。 答案 c 2已知平面 平面 ，直線 a，b，那么直線 a 與直線 b 的位置關(guān)系一定是( ) a平行 b異面 c垂直 d不相交 解析 由平面 平面 ，直線 a，b，知直線 a 與直線 b 的位置關(guān)系是平行或異面，

2、即兩直線不相交。故選 d。 答案 d 3在長方體 abcd- a1b1c1d1中，與直線 a1b 異面的是( ) a直線 ab1 b直線 cd1 c直線 b1c d直線 bc1 解析 如圖所示，易知 d1ca1b，ab1與 a1b 相交，b1c 與 a1b 異面，bc1與 a1b 相交。故選 c。 答案 c 4下面四個(gè)說法中正確的是( ) a如果兩個(gè)平面有四個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合 b兩條直線可以確定一個(gè)平面 c若 m，m，l，則 ml d在空間中，相交于同一點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi) 解析 對(duì)于 a，若四個(gè)公共點(diǎn)不在同一條直線上，則這兩個(gè)平面重合，若四個(gè)公共點(diǎn)在同一條直線上，則這兩個(gè)平面可

3、能相交；對(duì)于 b，兩條異面直線不能確定一個(gè)平面；對(duì)于 c，若 m，m，則 m是平面 與 的公共點(diǎn)，又 l，則 ml；對(duì)于 d，在空間中，相交于同一點(diǎn)的三條直線可能在同一平面內(nèi)，也可能不在同一平面內(nèi)。故選 c。 答案 c 5(2021 湖北武漢測試)在四面體 abcd 的棱 ab，bc，cd，da 上分別取點(diǎn) e，f，g，h，若直線ef，gh相交于點(diǎn) p，則( ) a點(diǎn) p 必在直線 ac 上 b點(diǎn) p 必在直線 bd 上 c點(diǎn) p 必在平面 abd 內(nèi) d點(diǎn) p 必在平面 bcd 內(nèi) 解析 因?yàn)?ef 在平面 abc 上，gh 在平面 adc 上，且 ef，gh 相交于點(diǎn) p，所以 p 在平面

4、 abc 與平面 adc 的交線上，又直線 ac 是平面 abc 與平面 adc 的交線，所以點(diǎn) p 必在直線 ac 上。故選 a。 答案 a 6.(2021 湖北名師聯(lián)盟第一次聯(lián)考)如圖，在正方體 abcd- a1b1c1d1中，e，f 分別是 ab，a1d1的中點(diǎn)，o 為正方形 a1b1c1d1的中心，則( ) a直線 ef，ao是異面直線 b直線 ef，bb1是相交直線 c直線 ef 與 bc1所成的角為 30 d直線 ef，bb1所成角的余弦值為33 解析 連接 af，eo，of，易知四邊形 aeof 為平行四邊形，所以直線 ef，ao 相交，故 a 不正確；直線 ef，bb1是異面直

5、線，故 b 不正確；以點(diǎn) d 為原點(diǎn)，分別以da，dc，dd1的方向?yàn)?x，y，z 軸的正方2 / 5 向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)該正方體的棱長為 2，則 d(0,0,0)，b(2,2,0)，e(2,1,0)，f(1,0,2)，b1(2,2,2)，c1(0,2,2)，則bc1(2,0,2)，fe(1,1，2)，bb1(0,0,2)，所以|cosfe，bc1|6114 4432，|cosfe，bb1|4114263，所以直線 ef 與 bc1所成的角為 30 ，直線 ef，bb1所成角的余弦值為63。故 c 正確，d 不正確。 答案 c 7如圖所示，是某個(gè)正方體的表面展開圖，l1，l2

6、是兩條面對(duì)角線，則在正方體中，有下面關(guān)于 l1與 l2的四個(gè)結(jié)論，其中正確的是( ) a互相平行 b異面垂直 c異面且夾角為3 d相交且夾角為3 解析 將展開圖還原成正方體，如圖所示，則 b，c 兩點(diǎn)重合，故 l1與 l2相交，連接 ad，則abd 為正三角形，所以 l1與 l2的夾角為3。 答案 d 二、多項(xiàng)選擇題 8下列四個(gè)命題，其中正確的是( ) a存在與兩條異面直線都平行的平面 b過空間一點(diǎn)，一定能作一個(gè)平面與兩條異面直線都平行 c過平面外一點(diǎn)可作無數(shù)條直線與該平面平行 d過直線外一點(diǎn)可作無數(shù)個(gè)平面與該直線平行 解析 將一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線平移到平面外，且平移后不相交，則這兩條直線

7、異面且與該平面平行，故 a 正確；當(dāng)點(diǎn)在兩條異面直線中的一條上時(shí)，這個(gè)平面不存在，故 b 不正確；c正確；d正確。故選acd。 答案 acd 9在正方體 abcd- a1b1c1d1中，過對(duì)角線 ac1的一個(gè)平面交 bb1于點(diǎn) e，交 dd1于點(diǎn) f，得四邊形aec1f，則下列結(jié)論正確的是( ) a四邊形 aec1f 可能是菱形 b四邊形 aec1f 在底面 abcd 內(nèi)的投影不可能是正方形 c四邊形 aec1f 所在平面不可能垂直于平面 acc1a1 d四邊形 aec1f 一定不是梯形 解析 當(dāng)點(diǎn) e，f 分別是 bb1，dd1的中點(diǎn)時(shí)，四邊形 aec1f 是菱形，a 正確；四邊形 aec1

8、f 在底面abcd 內(nèi)的投影一定是正方形，b 錯(cuò)誤；當(dāng)點(diǎn) e，f 分別是 bb1，dd1的中點(diǎn)時(shí)，ef平面 acc1a1，此時(shí)四邊形 aec1f 所在平面垂直于平面 acc1a1，c 錯(cuò)誤；四邊形 aec1f 一定是平行四邊形，不可能是梯形，d 正確。故選 ad。 答案 ad 三、填空題 10圓心和圓上任意兩點(diǎn)可確定的平面有_。 解析 若圓心和圓上的兩點(diǎn)共線，則可確定無數(shù)個(gè)平面；若圓心和圓上的兩點(diǎn)不共線，則可確定 1 個(gè)平面。 答案 1 個(gè)或無數(shù)個(gè) 11.(2021 遼寧沈陽模擬)如圖，已知圓柱的軸截面 abb1a1是正方形，c 是圓柱下底面半圓 ab 的中點(diǎn)，c1是圓柱上底面半圓 a1b1的

9、中點(diǎn)，那么異面直線 ac1與 bc 所成角的正切值為_。 3 / 5 解析 如圖，在圓柱下底面圓的圓周上取點(diǎn) d，其中 c 與 d 的連線垂直于 ab，連接 c1d，ad，因?yàn)?c是圓柱下底面半圓 ab 的中點(diǎn)，所以 adbc，所以直線 ac1與 ad所成的角等于異面直線 ac1與 bc所成的角。易知 c1d圓柱下底面，所以 c1dad。因?yàn)閳A柱的軸截面 abb1a1是正方形，所以 c1d 2ad，所以直線 ac1與 ad 所成角的正切值為 2。所以異面直線 ac1與 bc 所成角的正切值為 2。 答案 2 四、解答題 12.如圖所示，a 是bcd 所在平面外的一點(diǎn)，e，f 分別是 bc，ad

10、的中點(diǎn)。 (1)求證：直線 ef 與 bd 是異面直線； (2)若 acbd，acbd，求 ef 與 bd 所成的角。 解 (1)證明：假設(shè) ef 與 bd 不是異面直線，則 ef 與 bd 共面，從而 df 與 be 共面，即 ad 與 bc 共面，所以 a，b，c，d 四點(diǎn)在同一平面內(nèi)，這與 a 是bcd 所在平面外的一點(diǎn)相矛盾。故直線 ef 與 bd 是異面直線。 (2)取 cd 的中點(diǎn) g，連接 eg，fg，則 acfg，egbd， 所以相交直線 ef 與 eg 所成的角，即異面直線 ef 與 bd 所成的角(或其補(bǔ)角)。 又因?yàn)?acbd，則 fgeg。 在 rtegf 中，由 eg

11、fg12ac， 求得feg45 ， 即異面直線 ef 與 bd 所成的角為 45 。 13如圖，在三棱錐 p- abc 中，pa底面 abc，d 是 pc 的中點(diǎn)。已知bac2，ab2，ac2 3，pa2。求： (1)三棱錐 p- abc 的體積； (2)異面直線 bc 與 ad 所成角的余弦值。 解 (1)sabc1222 32 3，三棱錐 p- abc 的體積為 v13sabc pa132 324 33。 (2)如圖，取 pb 的中點(diǎn) e，連接 de，ae，則 edbc， 所以ade(或其補(bǔ)角)是異面直線 bc 與 ad 所成的角。 在ade 中，de2，ae 2，ad2， cosadea

12、d2de2ae22adde2222222234。 故異面直線 bc 與 ad 所成角的余弦值為34。 素養(yǎng)提升組 14.如圖所示，在長方體 abcd- a1b1c1d1中，abbc2，且異面直線 bd1與 aa1所成角的余弦值為63，則該長方體外接球的體積為( ) 4 / 5 a24 b8 6 c6 6 d8 解析 因?yàn)?aa1dd1，所以異面直線 bd1與 aa1所成的角為dd1b，則 cosdd1b63。連接 bd(圖略)，在 rtdd1b 中，設(shè) dd1x。因?yàn)?bd ab2ad22 2，所以 bd1 8x2，所以x8x263，所以 x4，則長方體外接球的直徑為 bd12 6，半徑 r

13、6，v43( 6)38 6。故選 b。 答案 b 15(2020 新高考卷)已知直四棱柱 abcd- a1b1c1d1的棱長均為 2，bad60 ，以 d1為球心， 5為半徑的球面與側(cè)面 bcc1b1的交線長為_。 解析 如圖，連接 b1d1，易知b1c1d1為正三角形，所以 b1d1c1d12。分別取 b1c1，bb1，cc1的中點(diǎn) m，g，h，連接 d1m，d1g，d1h，則易得 d1gd1h 2212 5，d1mb1c1，且 d1m 3。由題意知 g，h 分別是 bb1，cc1與球面的交點(diǎn)。在側(cè)面 bcc1b1內(nèi)任取一點(diǎn) p，使 mp 2，連接 d1p，則d1p d1m2mp2( 3)2

14、( 2)2 5，連接 mg，mh，易得 mgmh 2，故可知以 m為圓心， 2為半徑的圓弧 gh 為球面與側(cè)面 bcc1b1的交線。由b1mgc1mh45 知gmh90 ，所以gh的長為142 222。 答案 22 16如圖，正方形 abcd 的邊長為 2，ecd 為正三角形，平面 ecd平面 abcd，m是線段 ed的中點(diǎn)，n 是線段 ac 上的動(dòng)點(diǎn)。 (1)探究 m，n，b，e 四點(diǎn)共面時(shí)，n 點(diǎn)的位置，并證明； (2)當(dāng) m，n，b，e 四點(diǎn)共面時(shí)，求 c 到平面 mnbe 的距離。 解 (1)當(dāng) n 是線段 ac 的中點(diǎn)時(shí)，m，n，b，e 四點(diǎn)共面。證明如下。 如圖，連接 bd，過相交直線 bd，de 有且只有一個(gè)平面 bde， 因?yàn)?m 是線段 ed 的中點(diǎn)，所以 m在平面 bde 內(nèi)， 因?yàn)樗倪呅?abcd是正方形，所以當(dāng) n 是線段 ac 的中點(diǎn)時(shí)， n 是正方形 abcd的中心，必為 bd 的中點(diǎn)，所以 n 在平面 bde 內(nèi)。 分析可知，當(dāng) n 是線段 ac 的中點(diǎn)時(shí)，m，n，b，e四點(diǎn)共面。 (2)由(1)知，m，n，b，e四點(diǎn)共面時(shí)，平