高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題3　第1講　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1、1 / 24 第第 1 講講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 考情研析 1.以圖象為載體，考查三角函數(shù)的最值、單調(diào)性、對稱性、周期性 2.考查三角函數(shù)式的化簡、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、角的求值，重點(diǎn)考查分析、處理問題的能力，是高考的必考點(diǎn). 核心知識回顧核心知識回顧 1.同角關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 (1)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系： 01 sin2cos21， 02sincostan. (2)誘導(dǎo)公式：在k2，kz 的誘導(dǎo)公式中“ 03 奇變偶不變，符號看象限” 2三種三角函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù) ysinx ycosx ytanx 圖象 單調(diào)性 在 0122k，22k(kz) 上單調(diào)遞增； 在 022

2、2k，322k (kz) 在 03 2k，2k(kz)上單調(diào)遞增； 在 04 2k，2k(kz)上單調(diào)遞在 052k，2k(kz)上單調(diào)遞增 2 / 24 上單調(diào)遞減 減 對稱性 對稱中心： 06 (k，0)(kz)； 對稱軸： 07 x2k(kz) 對稱中心： 082k，0 (kz)； 對稱軸： 09 xk(kz) 對稱中心： 10k2，0 (kz) 3函數(shù) ysinx的圖象經(jīng)變換得到 yasin(x)(a0，0)的圖象的步驟 熱點(diǎn)考向探究熱點(diǎn)考向探究 考向 1 同角三角關(guān)系式、誘導(dǎo)公式 例 1 (1)(2020 四川省瀘縣四中第二次高考適應(yīng)性考試 )若 sinx3sinx2，則 cosxc

3、osx2( ) a.310 b310 c34 d34 答案 a 解析 sinx3sinx23cosx，解得 tanx3，所以 cosxcosx2sinxcosxsinxcosxsin2xcos2xtanx1tan2x310，故選 a. 3 / 24 (2)(2020 黑龍江省哈九中二模)若 sin214，42，則 cossin 的值是( ) a.32 b32 c34 d34 答案 b 解析 sin22sincos14，sin2cos21，(cossin)211434，40，0，08的部分圖象如圖所示，若將函數(shù) f(x)的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的14，再向右平移6個(gè)單位長度，得到函數(shù)

4、g(x)的圖象，則下列命題正確的是( ) a函數(shù) f(x)的解析式為 f(x)2sin12x6 b函數(shù) g(x)的解析式為 g(x)2sin2x6 c函數(shù) f(x)圖象的一條對稱軸是直線 x3 5 / 24 d函數(shù) g(x)在區(qū)間，43上單調(diào)遞增 答案 abd 解析 由圖可知，a2，t4，t42，得 12，f(x)2sin12x4 ，將(0,1)代入得 sin412，結(jié)合 00，|0)個(gè)單位長度，得到 yg(x)的圖象若 yg(x)圖象的一個(gè)對稱中心為512，0 ，求 的最小值 解 根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得 a5，2，6.數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表： 6 / 24 x 0 2 32 2 x 12 3 712

5、 56 1312 asin(x) 0 5 0 5 0 且函數(shù)表達(dá)式為 f(x)5sin2x6. 由知 f(x)5sin2x6，得 g(x)5sin2x26. 因?yàn)?ysinx的對稱中心為(k，0)，kz，所以 令 2x26k，解得 xk212，kz. 由于函數(shù) yg(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)512，0 成中心對稱， 令k212512， 解得 k23，kz.由 0可知， 當(dāng) k1 時(shí)，取得最小值6. 1解析式 yasin(x)b(a0)的確定方法 (1)a，b由最值確定，即 a最大值最小值2，b最大值最小值2. (2) 由函數(shù)周期確定，相鄰兩對稱軸(或兩對稱中心)之間的距離為t2，對稱軸與相鄰對稱中心之

6、間的距離為t4. (3)由圖象上的特殊點(diǎn)確定，利用五點(diǎn)作圖的五個(gè)特殊點(diǎn)直接確定 2三角函數(shù)圖象平移問題處理策略 (1)看平移要求：首先要看題目要求由哪個(gè)函數(shù)平移得到哪個(gè)函數(shù)，這是判斷移動(dòng)方向的關(guān)鍵點(diǎn) (2)看移動(dòng)方向：移動(dòng)的方向一般記為“正向左，負(fù)向右”，看 yasin(x)中 的正負(fù)和它的平移要求(3)看移動(dòng)單位：在函數(shù) yasin(x)中，周7 / 24 期變換和相位變換都是沿 x 軸方向的，所以 和 之間有一定的關(guān)系， 是初相，再經(jīng)過 的壓縮，最后移動(dòng)的單位是. 1設(shè)函數(shù) f(x)sinx(0)，已知對于0，23內(nèi)的任意 x1，總存在0，23內(nèi)的 x2，使得 f(x1)f(x2)0，則

7、的( ) a最大值為 3 b最小值為 3 c最大值為94 d最小值為94 答案 d 解析 因?yàn)橐獫M足對任意的 x10，23，總存在 x20，23，使得 f(x1)f(x2)0，對于 f(x)sinx(0)，則在0，23上的函數(shù)值有正值，即 f(x1)可以有正值，要存在 x2使得 f(x1)f(x2)0，則 f(x2)需要有負(fù)值又 f(x1)可以取到最大值 1，要存在 f(x2)，使得 f(x1)f(x2)0，則 f(x2)要可以取到最小值1，說明 f(x)在 x0 上取得第一個(gè)最小值的點(diǎn)應(yīng)在23的左側(cè)或者恰好落在23處，所以34t23，即34223，解得 94.故選 d. 2.(2020 山東

8、省濰坊市模擬)函數(shù) f(x)sin(x)0，|2的部分圖象如圖所示，則 _；將函數(shù) f(x)的圖象沿 x 軸向右平移 b0b0，|2的部分圖象，可得142388，2.再根據(jù)五點(diǎn)法作圖，282，4. 將函數(shù) f(x)的圖象沿 x 軸向右平移 b0b0)在2，34上是增函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是( ) af(x)是偶函數(shù) bf(x)的最小正周期 t2 c 的最大值為23 d 沒有最小值 答案 bcd 解析 f(x)4sinx sin2x24cos2x12sinx，包含原點(diǎn)的增區(qū)間為2，2，又 f(x)在2，34上是增函數(shù)，所以 22，342，所以00，a0)的圖象與 x 軸的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于2

9、，若將函數(shù) yf(x)的圖象向左平移6個(gè)單位得到函數(shù) yg(x)的圖象，則yg(x)是減函數(shù)的區(qū)間為( ) a.3，0 b0，3 c.4，2 d4，3 答案 d 解析 f(x)sinx 3cosx2sinx3，因?yàn)楹瘮?shù) f(x)的圖象與 x 軸的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于t22，所以 t，2，所以 f(x)2sin2x3.所以g(x)2sin2x632sin2x.由22k2x322k(kz)，得4kx34k，所以 yg(x)是減函數(shù)的區(qū)間為4k，34k (kz)分析選項(xiàng)只有 d符合故選 d. 2若將函數(shù) ysin2x6的圖象向右平移 m(m0)個(gè)單位長度后所得的圖象關(guān)于直線 x4對稱，則 m的最小

10、值為( ) a.12 b6 c4 d3 答案 b 11 / 24 解析 平移后所得的函數(shù)圖象對應(yīng)的解析式是 ysin2xm6，如果該函數(shù)的圖象關(guān)于直線 x4對稱，則 24m6k2(kz)，所以 mk26(kz)，又 m0，故當(dāng) k0 時(shí)，m最小，此時(shí) m6. 3若關(guān)于 x 的方程(sinxcosx)2cos2xm 在區(qū)間0，)上有兩個(gè)根 x1，x2，且|x1x2|4，則實(shí)數(shù) m的取值范圍是( ) a0,2) b0,2 c1， 21 d1， 21) 答案 b 解析 關(guān)于 x 的方程(sinxcosx)2cos2xm 在區(qū)間0，)上有兩個(gè)根 x1，x2，方程即 sin2xcos2xm1，即 sin

11、2x4m12，sin2x4m12在區(qū)間0，)上有兩個(gè)根 x1，x2，且|x1x2|4.x0，)，2x434，5474，944， 22m1222，求得 0m2.故選 b. 真題真題押題押題 真題檢驗(yàn) 1(2020 全國卷)已知 (0，)，且 3cos28cos5，則 sin( ) a.53 b23 c13 d59 答案 a 12 / 24 解析 由 3cos28cos5，得 6cos28cos80，解得 cos23或cos2(舍去)(0，)，sin1cos253.故選 a. 2(2020 天津高考)已知函數(shù) f(x)sinx3.給出下列結(jié)論： f(x)的最小正周期為 2； f2是 f(x)的最大

12、值； 把函數(shù) ysinx 的圖象上所有點(diǎn)向左平移3個(gè)單位長度，可得到函數(shù) yf(x)的圖象 其中所有正確結(jié)論的序號是( ) a b c d 答案 b 解析 因?yàn)?f(x)sinx3，所以最小正周期 t212，故正確；f2sin23sin56121，故不正確；將函數(shù) ysinx 的圖象上所有點(diǎn)向左平移3個(gè)單位長度，得到 ysinx3的圖象，故正確故選 b. 3(2020 新高考卷)下圖是函數(shù) ysin(x)的部分圖象，則 sin(x)( ) asinx3 bsin32x ccos2x6 dcos562x 答案 bc 13 / 24 解析 由函數(shù)圖象可知t22362，則 2t22，所以 a 不正確

13、當(dāng) x2362512時(shí)，y1，所以 2512322k(kz)，解得 2k23(kz)，即函數(shù)的解析式為 ysin2x232k sin2x62cos2x6sin32x .而 cos2x6cos562x .故選 bc. 4(2020 全國卷)關(guān)于函數(shù) f(x)sinx1sinx有如下四個(gè)命題： f(x)的圖象關(guān)于 y軸對稱； f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱； f(x)的圖象關(guān)于直線 x2對稱； f(x)的最小值為 2. 其中所有真命題的序號是_. 答案 解析 函數(shù) f(x)的定義域?yàn)閤|xk，kz，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，f(x)sin(x)1sin(x)sinx1sinxsinx1sinxf(x)，所以

14、函數(shù) f(x)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，命題錯(cuò)誤，命題正確；對于命題，因?yàn)閒2x sin2x 1sin2xcosx1cosx，f2x sin2x 1sin2xcosx1cosx，則 f2x f2x ，所以函數(shù) f(x)的圖象關(guān)于直線 x2對稱，命題正確；對于命題，當(dāng)x0 時(shí)，sinx0，則 f(x)sinx1sinx02，命題錯(cuò)誤 5(2020 江蘇高考)將函數(shù) y3sin2x4的圖象向右平移6個(gè)單位長度，則平移后的圖象中與 y軸最近的對稱軸的方程是_. 14 / 24 答案 x524 解析 將函數(shù) y3sin2x4的圖象向右平移6個(gè)單位長度，所得圖象對應(yīng)解析式為 y3sin2x643si

15、n2x12，令 2x122k(kz)，得 x724k2(kz)當(dāng) k1時(shí)，x524，故與 y軸最近的對稱軸方程為 x524. 金版押題 6.如圖，函數(shù) f(x) 15sin(x)(0)的圖象與它在原點(diǎn) o 右側(cè)的第二條對稱軸 cd 交于點(diǎn) c，a 是 f(x)圖象在原點(diǎn)左側(cè)與 x 軸的第一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn) b 在圖象上，ab59ad，abbc.則 ( ) a.9 b29 c3 d23 答案 b 解析 由題，對于函數(shù) f(x) 15sin(x)(0)，a，0 ，c(32， 15)，設(shè) d(32，yd)，b(xb，yb)，abxb，yb，ad(32，yd)， ab59ad，xb5932，即 xb56，

16、點(diǎn) b 在圖象上，yb 15sin(56)152.cb(xb32，yb15 / 24 15)(23，3 152)， ab(56，152).又 abbc.即ab cb0， 23561523 1520，解得 29.故選 b. 專題作業(yè)專題作業(yè) 一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1函數(shù) f(x)tan2x3的單調(diào)遞增區(qū)間是( ) a.k212，k2512(kz) b.k212，k2512(kz) c.k12，k512(kz) d.k6，k512(kz) 答案 b 解析 當(dāng) k22x3k2(kz)時(shí)，函數(shù) ytan2x3單調(diào)遞增，解得k212xk2512(k z) ， 所

17、以 函 數(shù) y tan2x3的 單 調(diào) 遞 增 區(qū)間 是k212，k2512(kz)，故選 b. 2函數(shù) f(x)2xtanx 在2，2上的圖象大致為( ) 16 / 24 答案 c 解析 因?yàn)楹瘮?shù) f(x)2xtanx 為奇函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除 a，b，又當(dāng) x2時(shí)，f(x)0，|0，2；圖象過3，0 ，cos23 0，根據(jù)題中圖象可得 232m2(mz)，即 2m6(mz) |0，0，|)是奇函數(shù)，將 yf(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的 2 倍(縱坐標(biāo)不變)，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為 g(x)若 g(x)的最小正周期為 2，且 g4 2，則 f38( ) a2 b 2

18、 c 2 d2 答案 c 解析 因?yàn)?f(x)是奇函數(shù)(顯然定義域?yàn)?r)，所以 f(0)asin0，所以 sin0.又|0，18 / 24 0,0)的部分圖象如圖所示，則 a 的可能取值為( ) a.2 b c32 d2 答案 b 解析 f(x)的圖象關(guān)于 y 軸對稱，f(x)為偶函數(shù)，k2，kz，0，2，f(x)acosx e|x|，f(0)a2，f(1)f(3)0，cos1ecos31e30，coscos30，取 2，則 a.故選 b. 7將函數(shù) f(x)2sin2x6的圖象向左平移12個(gè)單位長度，再向上平移 1個(gè)單位長度，得到 g(x)的圖象，若 g(x1)g(x2)9，且 x1，x2

19、2，2，則 2x1x2的最大值為( ) a.256 b4912 c356 d174 答案 b 解析 由題意可得，g(x)2sin2x31，所以 g(x)max3，又 g(x1)g(x2)9，所以 g(x1)g(x2)3，由 g(x)2sin2x313，得 2x322k(kz)，即 x12k(kz)，因?yàn)?x1，x22，2，所以(2x1x2)max212 122 4912，故選 b. 8(2020 天津二模)若函數(shù) f(x)cos(2x)(0)在區(qū)間6，6上單調(diào)遞19 / 24 減，且在區(qū)間0，6上存在零點(diǎn)，則 的取值范圍是( ) a.6，2 b23，56 c.2，23 d3，2 答案 d 解析

20、 由 2k2x2k，kz，得 k2xk22，kz，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為k2，k22，kz，f(x)在區(qū)間6，6上單調(diào)遞減，k26且 k226，kz，即 k62k3，kz，即2k32k23，kz，0，當(dāng) k0 時(shí)，323，由 2xk2，kz，得 xk224，kz，f(x)在區(qū)間0，6有零點(diǎn)，滿足 0k2246，當(dāng) k0時(shí)，0246，得62.綜上，30，|2的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是( ) a b3 c直線 x34是函數(shù) f(x)圖象的一條對稱軸 d點(diǎn)k14，0 (kz)是函數(shù) f(x)圖象的對稱中心 答案 acd 20 / 24 解析 由函數(shù)的圖象知t21，其中 t 為 f(x)的

21、最小正周期，則 t2，即 t22，得 ，所以 a 正確；由圖象可得，f14cos4 0，所以42k2，kz，即 2k4，kz，又|2，所以 4，故 f(x)cosx4，所以 b 不正確；令 x4k，kz，得 xk14，kz，當(dāng) k1時(shí)，x34，故直線 x34是函數(shù) f(x)圖象的一條對稱軸，所以 c 正確；令 x4k2，kz，得 xk14，kz，所以函數(shù) f(x)圖象的對稱中心為點(diǎn)k14，0 ，kz，所以 d正確故選 acd. 10(2020 武漢模擬)已知函數(shù) f(x)sin(sinx)cos(cosx)，則下列關(guān)于該函數(shù)的結(jié)論正確的是( ) af(x)的圖象關(guān)于直線 x2對稱 bf(x)的

22、一個(gè)周期是 2 cf(x)的最大值為 2 df(x)在區(qū)間0，2上是增函數(shù) 答案 abd 解析 對于 a，因?yàn)?f(x)sin(sinx)cos(cosx)，所以 f(x)sin(sin(x)cos(cos(x)sin(sinx)cos(cosx)f(x)，所以 f(x)f(x)，所以 f(x)的圖象關(guān)于直線 x2對稱，所以 a 正確；對于 b，因?yàn)?f(x)sin(sinx)cos(cosx)，所以 f(x2)sin(sin(x2)cos(cos(x2)sin(sinx)cos(cosx)f(x)，所以 b正確；對于 c，因?yàn)?sinx1，cosx1，sin(sinx)0，則 f(x)在0，

23、)上單調(diào)遞增顯然 f(0)0，令 f(x)0，得 sinx1x，分別作出 ysinx，y1x在區(qū)間2，2)上的圖象，由圖可知，這兩個(gè)函數(shù)的圖象在區(qū)間2，2)上共有 4 個(gè)公共點(diǎn)，且兩圖象在這些公共點(diǎn)上都不相切，故 f(x)在區(qū)間2，2)上的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 4，且 f(x)只有 2個(gè)極大值點(diǎn)故選 bd. 12(2020 山東棗莊模擬)水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，是人類的一項(xiàng)古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征如圖是一個(gè)半徑為 r 的水車，一個(gè)水斗從點(diǎn) a(3 3，3)出發(fā)，沿圓周按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時(shí) 60秒經(jīng)過 t 秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到 p點(diǎn)，設(shè) p的坐標(biāo)為(x，y)，其縱坐標(biāo)滿足 yf(t)rsin(t)t0，0，|2.則下列敘述正確的是( ) 22 / 24 ar6，30，6 b當(dāng) t35,55時(shí)，點(diǎn) p到 x軸的距離的最大值為 6 c當(dāng) t10,25時(shí)，函數(shù) yf(t)單調(diào)遞減 d當(dāng) t20 時(shí)，|pa|6 3 答案 abd 解析 由題意得，r2796，t602，30.由一個(gè)水斗從點(diǎn)a(3 3，3)出發(fā)，可知 f(0)3，36sin.|2，6，