高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題六 第3講 母題突破4 探索性問(wèn)題

1、 母題突破母題突破 4 探索性問(wèn)題探索性問(wèn)題 母題 已知橢圓 c：9x2y2m2(m0)，直線 l 不過(guò)原點(diǎn) o 且不平行于坐標(biāo)軸，l 與 c 有兩個(gè)交點(diǎn) a，b，線段 ab的中點(diǎn)為 m. (1)證明：直線 om 的斜率與 l的斜率的乘積為定值； (2)若 l 過(guò)點(diǎn)m3，m ，延長(zhǎng)線段 om 與 c 交于點(diǎn) p，四邊形 oapb 能否為平行四邊形？若能，求此時(shí) l的斜率；若不能，說(shuō)明理由 (2)思路分析 假設(shè)四邊形 oapb 能為平行四邊形 線段 ab與線段 op互相平分 計(jì)算此時(shí)直線 l的斜率 下結(jié)論 (1)證明 設(shè)直線 l：ykxb(k0，b0)， a(x1，y1)，b(x2，y2)，m(

2、xm，ym) 將 ykxb 代入 9x2y2m2得 (k29)x22kbxb2m20， 故 xmx1x22kbk29，ymkxmb9bk29. 于是直線 om的斜率 komymxm9k，即 kom k9. 所以直線 om的斜率與 l的斜率的乘積為定值 (2)解 四邊形 oapb能為平行四邊形 因?yàn)橹本€ l過(guò)點(diǎn)m3，m ，所以 l不過(guò)原點(diǎn)且與 c 有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是 k0，k3. 由(1)得 om的方程為 y9kx. 設(shè)點(diǎn) p的橫坐標(biāo)為 xp， 由 y9kx，9x2y2m2得 x2pk2m29k281，即 xp km3 k29. 將點(diǎn)m3，m 的坐標(biāo)代入直線 l的方程得 bm(3k)3， 因

3、此 xmk(k3)m3(k29). 四邊形 oapb為平行四邊形，當(dāng)且僅當(dāng)線段 ab 與線段 op互相平分，即 xp2xm. 于是 km3 k292k(k3)m3(k29)， 解得 k14 7，k24 7. 因?yàn)?ki0，ki3，i1,2，所以當(dāng)直線 l 的斜率為 4 7或 4 7時(shí)，四邊形 oapb 為平行四邊形 子題 1 已知橢圓 c：x24y21的左、右焦點(diǎn)分別為 f1，f2，左、右頂點(diǎn)分別為 a1，a2. (1)若 m為 c 上任意一點(diǎn)，求|mf1| |mf2|的最大值； (2)橢圓 c 上是否存在點(diǎn) p(異于點(diǎn) a1，a2)，使得直線 pa1，pa2與直線 x4 分別交于點(diǎn) e，f，

4、且|ef|1？若存在，求出點(diǎn) p 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 解 (1)由橢圓的定義可知|mf1|mf2|4， |mf1| |mf2|mf1|mf2|224， 當(dāng)且僅當(dāng)|mf1|mf2|2時(shí)等號(hào)成立， |mf1| |mf2|的最大值為 4. (2)假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn) p. 不妨設(shè) p(x0，y0)(y00)，則2x02. 由題意知直線 pa1的方程為 yy0 x02(x2)， 令 x4，得 ye6y0 x02， 直線 pa2的方程為 yy0 x02(x2)， 令 x4，得 yf2y0 x02， 由|ef|yeyf6y0 x022y0 x024x0y016y0 x2044y0(x04)4y2

5、04x0y01，得 x04y0， 由 x204y204，得 5y208y0120， 1760， x1x24k24k2，x1x24，(*) 假設(shè)在 x軸上存在一點(diǎn) a(a,0)，使得 x軸平分man， kamkan0，y1x1ay2x2a0， y1(x2a)y2(x1a)(x1a)(x2a)0， 又 y1k(x12)，y2k(x22)， 2x1x2(a2)(x1x2)4ax1x2a(x1x2)a20， 把(*)式代入上式化簡(jiǎn)得 4a8， a2，點(diǎn) a(2,0)， 綜上所述，在 x 軸上存在一點(diǎn) a(2,0)，使得 x 軸平分man. 規(guī)律方法 探索性問(wèn)題的求解策略 (1)若給出問(wèn)題的一些特殊關(guān)系

6、，要探索一般規(guī)律，并能證明所得規(guī)律的正確性，通常要對(duì)已知關(guān)系進(jìn)行觀察、比較、分析，然后概括一般規(guī)律 (2)若只給出條件，求“不存在”“是否存在”等語(yǔ)句表述問(wèn)題時(shí)，一般先對(duì)結(jié)論給出肯定的假設(shè)，然后由假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理，從而得出結(jié)論 跟蹤演練 1已知橢圓 g：x24y21，點(diǎn) b(0,1)，點(diǎn) a 為橢圓 g 的右頂點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn) o 的直線 l 與橢圓g 交于 p，q 兩點(diǎn)(點(diǎn) q 在第一象限)，且與線段 ab 交于點(diǎn) m.是否存在直線 l，使得bop的面積是bmq的面積的 3 倍？若存在，求出直線 l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 解 設(shè) q(x0，y0)，則 p(x0，y0)， 可知

7、0 x02,0y01. 假設(shè)存在直線 l，使得bop 的面積是bmq 的面積的 3 倍，則|op|3|mq|，即|oq|3|mq|， 即om23oq23x0，23y0，得 m23x0，23y0. 又 a(2,0)，直線 ab的方程為 x2y20. 點(diǎn) m 在線段 ab 上，23x043y020， 整理得 x032y0， 點(diǎn) q在橢圓 g上，x204y201， 把式代入式可得 8y2012y050， 判別式 (12)2485160， 該方程無(wú)解 不存在直線 l，使得bop 的面積是bmq的面積的 3 倍 2(2020 滁州模擬)已知橢圓 e：x24y231 的左、右焦點(diǎn)分別為 f1，f2，是否存

8、在斜率為1 的直線 l 與以線段 f1f2為直徑的圓相交于 a，b 兩點(diǎn)，與橢圓 e 相交于 c，d 兩點(diǎn)，且|cd| |ab|12 137？若存在，求出直線 l的方程；若不存在，說(shuō)明理由 解 假設(shè)存在斜率為1的直線 l，設(shè)為 yxm， 由題意知，f1(1,0)，f2(1,0)， 所以以線段 f1f2為直徑的圓為 x2y21， 由題意，圓心(0,0)到直線 l的距離 d|m|21，得|m|0， 解得 m27， 又|m| 2，所以 m22. 設(shè) c(x1，y1)，d(x2，y2)， 則 x1x28m7，x1x24m2127， |cd| 1k2|x2x1| 233648m27 4 6 7m27，

9、若|cd| |ab|12 137， 則 2 2m24 67 7m212 137， 整理得 4m436m2170， 解得 m212或 m2172. 又 m20，x1x24k2k21，x1x222k21， sapqsbpq12|qp|qa|sinpqa12|qp|qb|sinpqb|qa|sinpqa|qb|sinpqb， |qa|qb|sapqsbpq，sinpqasinpqb， pqapqb，kqakqb，y1mx1y2mx2， (m1)(x1x2)2kx1x2， 即(m1)4k2k212k22k21，解得 m2， 存在定點(diǎn) q(0,2)，使得|qa|qb|sapqsbpq恒成立 2在平面直角

10、坐標(biāo)系 xoy中 已知點(diǎn) q( 3，0)，直線 l：x2 3，動(dòng)點(diǎn) p 滿足到點(diǎn) q 的距離與到直線 l 的距離之比為22. 已知點(diǎn) h( 3，0)，g 是圓 e：x2y22 3x210 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段 hg 的垂直平分線交 ge 于 p. 點(diǎn) s，t 分別在 x 軸，y軸上運(yùn)動(dòng)，且|st|3，動(dòng)點(diǎn) p 滿足op63os33ot. (1)在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，求動(dòng)點(diǎn) p 的軌跡 c 的方程；(注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分) (2)設(shè)圓 o：x2y22 上任意一點(diǎn) a 處的切線交軌跡 c 于 m，n 兩點(diǎn)，試判斷以 mn 為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不

11、過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由 解 (1)若選， 設(shè) p(x，y)，根據(jù)題意得，(x 3)2y2|x2 3|22， 整理，得x26y231， 所以動(dòng)點(diǎn) p的軌跡 c 的方程為x26y231. 若選， 由 e：x2y22 3x210得(x 3)2y224， 由題意得|ph|pg|， 所以|ph|pe|pg|pe|eg|2 6 |he|2 3， 所以點(diǎn) p 的軌跡 c是以 h，e為焦點(diǎn)的橢圓， 且 a 6，c 3，則 b 3， 所以動(dòng)點(diǎn) p的軌跡 c 的方程為x26y231. 若選， 設(shè) p(x，y)，s(x，0)，t(0，y)，則 x2y29，(*) 因?yàn)閛p63os33ot， 所以 x63x，y33y，即

12、 x62x，y 3y， 將其代入(*)，得x26y231， 所以動(dòng)點(diǎn) p的軌跡 c 的方程為x26y231. (2)當(dāng)過(guò)點(diǎn) a 且與圓 o 相切的切線斜率不存在時(shí)，切線方程為 x 2，x 2， 當(dāng)切線方程為 x 2時(shí)，m( 2， 2)，n( 2， 2)， 以 mn 為直徑的圓的方程為(x 2)2y22. 當(dāng)切線方程為 x 2時(shí)，m( 2， 2)，n( 2， 2)， 以 mn 為直徑的圓的方程為(x 2)2y22. 由聯(lián)立，可解得交點(diǎn)為(0,0) 當(dāng)過(guò)點(diǎn) a 且與圓 o 相切的切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為 ykxm，即|m|k21 2，即m22(k21) 聯(lián)立切線與橢圓 c 的方程 ykxm，x26y231，并消去 y，得 (12k2)x24kmx2m260. 因?yàn)?16k2m24(12k2)(2m26)8(m26k23)8(2k226k23)8(4k21)0， 所以切線與橢圓 c 恒有兩個(gè)交點(diǎn) 設(shè) m(x1，y1)，n(x2，y2)， 則 x1x24km12k