12高中數(shù)學(xué)教材中的經(jīng)典問題與變式(第三輯)：高中數(shù)學(xué)教材中的經(jīng)典問題與變式(12)導(dǎo)數(shù)

1、高中數(shù)學(xué)教材中的經(jīng)典問題與變式(12)導(dǎo)數(shù)類型1：平均變化率1.人教版選修1-1第84頁例2,選修2-2第8頁例2：根據(jù)所給的函數(shù)圖像比較曲線 在附近得變化情況。h(t) t ,t ,t0 1 2變式:函數(shù)f(x)的圖像如圖所示,a.o<f (2)<b.(3)(2)<f/ f4 (3kf/0 f(3)(2)c.如圖所示，切線 bq的傾斜角小于直線ab的傾斜角小于q切線at的傾斜角kbql<ab kato 1234所以選b類型2：導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算2.已知1 一也2 "'則 limf(xx_()x- 0=+ a x) zf(2)的值是ta.b. 2解.由導(dǎo)

2、數(shù)定義f(x)0f(x lim ' o0xx =g )； ( ) d-x)f(x )0-2得 limtx 0f(®f2)a4變式1：設(shè)則4,limh 0a. 1b. 2c 3d1解：f 3hf 31f3 hf 3_ 1limh 02h二lim2 h 0h='2f *(3)=-2 選 b.1變?nèi)?/a 0設(shè)x在x可導(dǎo)，則lim7 k 0x °7f ( x 7x)_ f ( x -3ax)等于a 2f(xo+a)_ (b. _faxj »a解：lim g 卜 f vc.3f x0d 4 f xo=lim3f (x +m_f(x ) f (x ) f x

3、 3' o丿0+0 x 0 x4 +4 )-f (x ) 0f (x0xlirrt釦x3f(x )0=limx0二f '(x )0a3f'(x)04 f '(x )0類型導(dǎo)數(shù)的冊4.如果質(zhì)點(diǎn)a按規(guī)絆2t'坯動'a. 6m/s.2,.的解析：.s'=6tt 二 3=54.一 ) af (* ) _f )_3 x0limx3 0則在一 a°f(x)ot=3s甘的瞬時速處(+b. 18m/s答案：c變式定義在d上的函數(shù)f(x),如果滿足:常數(shù)c. 54m/s+ ocd. 81m/s0 ,都有|f (x)|< m成立，則稱f(x)

4、是d上的有界函數(shù)；其曲為函數(shù)的上界+(4)若已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動為-+ <+1at以m=10,)上的每一時刻的瞬時速度為界的有界函數(shù)，求數(shù)的取值岡+i n(2).若己知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動麹 s(t)乞t 1要使在t0,)上的每一時刻的瞬時速度是以mr為上界的有界函數(shù)，求數(shù)=+ 1a的取值固+0解：()(t(t11)211)2(t21)(t1)a(ta(t21)12令g1,顯謙t）在0,）上單調(diào)遞減則當(dāng)+00時，/.a 1(t)2(t 1)令11h(t)2(t 1),顯做t）在0,）上單調(diào)遞減(0) 0max h. a 0°.0s as 1 ；故所求a的取值謂 0< a< 1.1(

5、2)s (t)*|s(t)|< 1,得丨v2t 11 dl _a <1l/2ttl1r a n 1令 g(t)1,則t11g(t)又g(t)g (t)2t1>在0,2t: g(t)(0,1,從而有故所求a的取值岡為a<1.1a33亠v2t+1(2t1)時，有 g (t)0,+a)上單調(diào)遞減g(t)11< o,2t 1故當(dāng)t=0 時，有 g(t)maxg(0) 1；2t +12t1 /.0<a< 1；= +=類型導(dǎo)數(shù)的狂算測4.人教版選仞斗第93軽a1s第 求所給函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：4題，選聲-2第8題a組第4題,3(文科)y x log x;23x1sinxs

6、in 25x x變式：驅(qū))9 g(x)分別是定義在 r上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)xvo時,f (x)g(x) f (x)g (x)>0. 且g=0.剜不等# f(x)g(x)< 0的解集是()a. ( 3,0)uh+s)b(3,0)u(0, 3)c(°° 廠 3)u(3,+r)d(°°, 3)u(0f 3)解：由已知得當(dāng)0時,=(f(xg(x)0即當(dāng)x oh*, f (x) g(x)單調(diào)遞:w又f(x), g(x)分別是定義在r上得幺函數(shù)與偶函數(shù)f x gr()()是定義在上得奇函數(shù)即f(x) g(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱2)又 g(3)=0,則

7、g(-3)=0f( 3)g( 3)f(3) g(3) 0即 f(x) g(x)圖像過點(diǎn)(一30)與(3, 0)(3)由(1) ,(2) ,(3)得 f(x) g(x)函數(shù)圖像f (x) g(x) 0的解集選顒3類型5：導(dǎo)數(shù)的兒何意義5.人教版選修1-1第93頁a組第6題、選修2-2第18頁a組第6題已知函數(shù)y=xlnx 求這個函數(shù)的導(dǎo)數(shù);(2)求這個函數(shù)在點(diǎn) x =1處的切線的方程變式1：已知函數(shù)y=e 求這個函數(shù)在點(diǎn)x e處的切線的方程;(2)過原點(diǎn)作曲線y蟲的切線，求切線的方程解：(1)依題意得：切點(diǎn)為 (e,e ), 1 y | e , kx e由點(diǎn)斜式得切線方程 y e( 廠:ex+

8、+ee e1 exo,e0(2)設(shè)切點(diǎn)為e ,由點(diǎn)斜式得0切線過原點(diǎn),xo(oe0)，xx0 0,e1,e,由點(diǎn)斜式，得:= =e e(x1),即：y ex.b+4c.2變式2： 函數(shù)y=ax + 1 jrla.8的圖象與直線y=x相切,d. 1解：設(shè)切點(diǎn)為ax20,ax2 o1,(x y在曲線與直線上，0, °)ip:2 1ax0由、得= +y01 /，選ba二 4= 一 -說明：1 在=“某點(diǎn)處的切線” 柘“過某點(diǎn)的切線”切線方程胞步驟是h()明礪切點(diǎn)；(2)確定該點(diǎn)處的切線的斜率(即該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值)明確，則應(yīng)考慮先設(shè)切點(diǎn)意義不同，注意審題，后者一定要先“設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)”2.求；(

9、3)若切點(diǎn)不類型6：導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性6.人教版選傕 件1第99板例2選修bb第25頁闕j 判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間：32(1)f (x) x 3x;(2) f(x) x 2x 3; f(x) sin x x, x (0,);32 f(x) 2x 3x 24x 1 變式4：函數(shù)f（x）x的一個單調(diào)遞增區(qū)間是a. 1,0 b. 2,8 c. 1,2 d. 0,2 x解：f (x) x exttx e0,或 f (x)(1 x)變式藝【cl好）旨農(nóng)函數(shù)> y_解:(1)函數(shù)解:axx£ £x r1.5（1）若函數(shù)的單（2）若函數(shù)在1,+ + =（理科耍求：復(fù)合函數(shù)求

10、導(dǎo)）<+oo調(diào)遞減區(qū)間是（3 1）,則a的值=）上是單調(diào)增函數(shù)，則 a的取值范圍是（一 ） = =-若函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（-3, 1）（ 3,1）heu ）匸1,x f (x)0<2x a皐xva（2）若函藪在耳匕如圖示,0,即4豐11o(1)綜上,變式3：> 因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（o的兩個實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理,一 s < *i + »）上是單調(diào)增函數(shù)1,）上是單調(diào)增4a0,即 a 1,條件成立;3 a 1,條件成立;+ =3,條件成立,0）是函數(shù)f x（ ）x彳ax烏2）bx 2 c的圖象的一個公共點(diǎn)，兩函數(shù)的圖象在點(diǎn)p處有相同的切線（i）用 t 表示a

11、, b, c； . i（n）若函數(shù)yf （x） g（x）在（一仁3）上單調(diào)遞減，求t的取值范圍.解：（i）因?yàn)楹瘮?shù)f (x) , g(x)的圖象都過點(diǎn)(t, 0),所以f (t)0 ,3 at 即t20 因?yàn)閠 0,所以a t 2 cc abg(t) o,即 bt o,所以又因?yàn)閒 (x), g(x)在點(diǎn)(t, 0)處有相同的切線，所以 f (t) g (t).2 a gxbxt2 abt而f(x) 3x,()2 ，所以32 .將a2t代入上式得b t.因此cab3t .故a23t , b t , c t .= 一 = 3 -t2x tx +t3 y'= x 一 tx_t = x +t

12、 x -t2 2 2(|)解法一f(x) g(x) x,32(3)().t)(x t)是(一1, 3)=+ v=<>< << << -由y 0 ,若t0,則 x t ；若t :-o0側(cè)t xt3由題意，函數(shù)yf (x) g(x)在(-1,3）上單調(diào)遞減，則一 u 一u(1,3)(>3所以t 3或t3.< f £或先乂 3.3所以t的最值范圍為一（9一 = + _"3 t2x tx2 t3 yx2tx'卞 +x rx t解法二：y f （x）g(x) x,32(3)()當(dāng)y (3x t)(x t) 0時，函數(shù)y f

13、(x) g(x)單調(diào)遞減.9匚,yj3x因?yàn)樵贁?shù)y=呼（x） g（x）在t, £）圭單調(diào)遞減，縣 j r<| +一上的拋物線產(chǎn)一i廠廠"1 q日|(3t)(1 t) 0y - u +°°以3 0. (9 t)(3 t) 0. jxt9或t3.所以t的取值范圍為（,93,)類型7：導(dǎo)數(shù)與極值、最值7.（人教版選修1-1 m 103 頁例選修2-2第29頁例4）求函數(shù)（人教版選修1-1第106頁例選修2-2第32頁例大值與最小值f （x）的定義域?yàn)殚_區(qū)間開區(qū)間（a,b）內(nèi)有極小值點(diǎn)+）+1個 =2個3個4個變式1:函數(shù)a.b.cd解：注意審題，題目給出

14、的是導(dǎo)函數(shù)的圖像。先由導(dǎo)函數(shù)取 值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，的個數(shù)。選a然后列表可判斷函數(shù)極小值點(diǎn)變式2：已知函數(shù)32ax bx ex在點(diǎn)x）處取得極大4x 4釣極值.f(x)f(x)(a,b),導(dǎo)函數(shù) f (x)在(a,b)(x)在x 4在3上的最3x313象如圖所i示，則函數(shù)5）求勰y f (x)b0值5,其導(dǎo)函數(shù)y f'(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,0) , (2,0),如圖所示求:(i)x的值；0(u) a,b, c 的值.解：(i)由圖得x(0,1) 1(1,2)2(2,如)f(x)+00+f(x)極 大 值極 小 值則 x =1；0f (1) _ 5r a + b + c = 51

15、3a丄2b丄c0(e )依題意得 i f (1) = 0 j+ + =_即+ + =i'112 a 4b c 0 f -(2) = 0a 2,b j,c 2. +3 bx,變式3：若函數(shù)f (x) ax4 ,當(dāng)x =2時，函數(shù)f (x)有極值 3(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)f(x) k有3個解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍. '()= -2解：f x 3ax b(1)由題意:f 2) di=1 解得°_3b(升(_oc _)i 說f yf )x 4(的4?仃止命如工(-)令f x)廠得 x2rr(2)1當(dāng)八變'()x+292 29+2()j j0013所求解析式為

16、f x '(宙你誨(- i +)3228單調(diào)遞減2 )x x因此，當(dāng)x單調(diào)遞增/()2時，f x有極大值)=-一 +吋，有極小值f x 一一 v <13函數(shù)f x x34由圖可知：4x3284的圖象大致如圖:284單調(diào)遞增/3y 28變式4：已知函數(shù)值范圍f (x) xx(_ 乂，_2)3-23,1)31(1,+乂)fr (x)+00+f (x)極大值1極小值解(x) =3x2_x 2 =-一 一 +v 2恒成立，求c的取x 2x c ,對1,2，不等式 f (x) c2(3x+2) (x-1),函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間如下表：3 dr / 彳一2x+c, x 1, 2，當(dāng)f (

17、x) = x v2而f (2) =2+c,則(2) =2+c為最大值。(1,2)恒成立，只需x = 2時，f (x)=絲+c為極大值,327要使f (x) cc2許(2) =2 + c 解得 c<1 或類型 導(dǎo)數(shù)的在研究函數(shù)中的應(yīng)用及生活中的優(yōu)題8.人教版選恰1第108原組習(xí)題選皆2第34 r組習(xí)題v < x利用"函數(shù)的單調(diào)性，證明： in x x e ,x 0一-(+ )- >_變式1 :證明：1x x , x 1|幵(什卜x 1正明：(廳碎虻foovm x>r x,(戶1x 一 v <>f (x) 7 1(x)1(x1),當(dāng) xx 10, f

18、00,得下表() f x1 x u+u0x 0> 一f x單調(diào)埋"«.( + )s極大值f (0)0單調(diào)翅 > =x)=x總侑(x)+ f (0)o,+ in x 1x 0,in x1x-<1,< )> v<<=另解 > f (x)'( )<1(x 1),蚩 x 0,龍 0=0,x 1 x 1當(dāng)仁 x (o,)=f x 0, f (x)單調(diào)增 1 x 0, f(x) f (0)0, 當(dāng)x 0,汶.0, f(x)+丹0戶o八臣當(dāng) x 0, f 004-+»+ (+) ( + )綜合得：當(dāng) x1時，f(x)

19、0, in x 1 x 0,inx 1 x111x(2)構(gòu)造函數(shù)1, g(x)9g(x)ln(x 1)2 1 2當(dāng) x = 0, g 10 )=0，當(dāng) x 0, g (x)0, g( x)單調(diào)遞減;當(dāng) x >0, g'(x )>0,g(x)單調(diào)遞增；x 0電(x)極小值二 g< 1) min 1 g®) 0二1 1二 x > 一1，總有 g(x) -g(0) =0, ln(x 1) +一 1 -0,即：1 一一n(1 )1綜上（1）（2）不等式1+x 1x 1x 1s j+ )5“+x+a在0, 2上恰好有兩個相異的實(shí)根,in x 1 x成立.變式：（

20、理科）設(shè)函數(shù)f（x）=（1+x） 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 解：2 2in(1+x) 若關(guān)于x的方程f(x)=x方程 f(x)=x 2+x+a,即 x a+1 ln(1+x) 2=0,記 g (x) =x a+1 ln(1+x)2.,f所以g(x) 12 一 x+1由 g (x) >0,得 x<- 1 或 x>h由 g (x)<01 x x 1得一所以1<x<1.g(x)在0,1上遞減，在1, 2上遞增，為使f（x）=x »+a在0, 2上恰好有兩個相異的實(shí)根,只須g（x）=0參0j）和0,2上各有-個實(shí)根，于是有g(shù)(o)* o,g(1) -0,2 2l

21、n 2 a解得o+ ( e )(g(2t3 2ln3.9.函數(shù)f(x) x ( 8 -he3 + xx >r3，若 f mx一 (8 +oc )_23v3(°(-（r j f乂 ） mx >10恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍(_8 +oc )又 x, x,3> xx33xf x- + >(),f( x)x3= > =2f mx2fmxf mx所以f （x）是奇函數(shù).f mx1 r0,fmx1(1),>工一+>jj i<<1=mx<2mxf（x）在,上單調(diào)遞增，mx1恒成立，即：mx10恒成立,由 f (x) 3x解:)=m 0時

22、0恒成立，m0適合;分類：當(dāng),f (x)0, f (x)單調(diào)遞增;)> ()>一(-當(dāng)m0,2 mx1mx（恒箴立）解得:m o&）才（一）>綜上，0說明：重要應(yīng)用.（2）找尋使mxm 4（1）通過研究函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性與奇偶性），利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式問題，是函數(shù)思想的 （一 8 +oc ），>mx v/1恒成立的條件實(shí)際上依然用的是函數(shù)圖像（數(shù)形結(jié)合）的函數(shù)思想3xx r f，若 msin f 1 m 0 0恒成立，求實(shí)數(shù) m的取值范圍.,f (x)0, f (x)單調(diào)遞增;2解：由 f（x）3x 3 30,得 x(-x)= x 一 x = _f x33(

23、),所以f (x)是奇函數(shù). 6 >f msini <6imsin m 1 0)<<0當(dāng)恒成立，即2sin恒成立b)< u,0 j2 、i0 j成立;r;當(dāng)06< m 1 sin 1-1廠sin110如圖，曲線腳b是函數(shù)1sin< f(x)min2x (0a,曲線腳b上一點(diǎn)m點(diǎn)q若t己知，求切線pq的方程1x 6)的圖紐a2(t, t )處的切線pq交x軸于點(diǎn)a(2)求qap的面積的最大值-='解：=(1) f (x) 2x,所以過點(diǎn)m的切線的斜菊k f (t) 2t點(diǎn)斜式得切線_ pq方程為y t2 t x t 由2()，0sin1.01sin1. 1 1;m11sinx軸于點(diǎn)tvp,貢線朋于b即 n 2t)e| t * - =- j 1 _ 1 sap 卞q 一 (6 x ) y qapi p q2 a =_ 2一一 l -=_13 2tat224as qap41236 ,令s0解得tqap4或t 12(舍去)t(0,4)4(4