2022年2022年全等三角形證明方法

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載一.三角形全等的判定：全等三角形的證明方法精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 1）三組對(duì)應(yīng)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等sss；（ 2）有兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等sas ；（ 3）有兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等asa ；（ 4）有兩角及一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等aas ；（ 5）直角三角形全等的判定：斜邊及始終角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等hl.二.全等三角形的性質(zhì)：（ 1）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；（ 2）全等三角形的周長(zhǎng)相等.面積相等；（ 3）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高對(duì)應(yīng)相等；（ 4）全等三角形

2、的對(duì)應(yīng)角的角平分線相等；（ 5）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線相等；三.找全等三角形的方法：（ 1）可以從結(jié)論動(dòng)身,看要證明相等的兩條線段（或角）分別在哪兩個(gè)可能全等的三角形中；（ 2）可以從已知條件動(dòng)身,看已知條件可以確定哪兩個(gè)三角形相等；（ 3）從條件和結(jié)論綜合考慮,看它們能一同確定哪兩個(gè)三角形全等；（ 4）如上述方法均不行,可考慮添加幫助線,構(gòu)造全等三角形；三角形全等的證明中包含兩個(gè)要素：邊和角；積極發(fā)覺隱含條件：公共角對(duì)頂角公共邊觀看發(fā)覺等角等邊:等邊對(duì)等角同角的余角相等同角的補(bǔ)角相等等角對(duì)等邊等角的余角相等等角的補(bǔ)角相等1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載推理發(fā)覺等邊等角:圖

3、 1: 平行轉(zhuǎn)化圖 2 :等角轉(zhuǎn)化圖 3:中點(diǎn)轉(zhuǎn)化圖 4 : 等量和轉(zhuǎn)化圖 5:等量差轉(zhuǎn)化圖 6:角平分線性質(zhì)轉(zhuǎn)化圖 7:三線合一轉(zhuǎn)化圖 8:等積轉(zhuǎn)化圖 9:中垂線轉(zhuǎn)化圖 10:全等轉(zhuǎn)化圖 11:等段轉(zhuǎn)化2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載四.構(gòu)造幫助線的常用方法：1.關(guān)于角平分線的幫助線:當(dāng)題目的條件中顯現(xiàn)角平分線時(shí),要想到依據(jù)角平分線的性質(zhì)構(gòu)造幫助線；角平分線具有兩條性質(zhì)：角平分線具有對(duì)稱性；角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；關(guān)于角平分線常用的幫助線方法：（ 1）截取構(gòu)造全等:如下左圖所示, oc 為 aob的角平分線, d 為 oc上一點(diǎn),f為 ob上一點(diǎn),如在 oa 上取一

4、點(diǎn) e,使得 oe=of, 并連接 de,就有 oed ofd,從而為我們證明線段.角相等制造了條件；例 1 .如上右圖所示,ab/cd, be 平分 bcd,ce 平分 bcd,點(diǎn) e 在 ad 上,求證： bc=ab+cd； 提示：在 bc 上取一點(diǎn) f 使得 bf=ba,連結(jié) ef；（ 2）角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)造全等利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題；如下左圖所示,過(guò)aob 的平分線oc 上一點(diǎn) d向角兩邊oa.ob 作垂線,垂足為e.f,連接 de.df；就有： de=df, oed ofd；例 2.如上右圖所示,已知ab>ad、 bac= fac、cd=bc

5、；求證： adc+ b=180°3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 3）作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形；如下左圖所示,從角的一邊ob 上的一點(diǎn)e 作角平分線oc 的垂線 ef,使之與角的另一邊oa 相交,就截得一個(gè)等腰三角形（oef）,垂足為底邊上的中點(diǎn)d,該角平分線又成為底邊上的中線和高,以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)；假如題目中有垂直于角平分線的線段,就延長(zhǎng)該線段與角的另一邊相交,從而得到一個(gè)等腰三角形,可總結(jié)為：“延分垂,等腰歸”；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 3.如上右圖所示, 已知 bad=dac,ab>ac、cd

6、ad 于 d,h 為 bc 中點(diǎn)； 求證： dh提示：延長(zhǎng)cd 交 ab 于點(diǎn) e,就可得全等三角形；問(wèn)題可證；1 abac 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 4.已知,如圖,在rt abc中, ab = ac, bac = 90o, 1 = 2 , ce bd 的延長(zhǎng)線于e、求證： bd = 2ce提示：延長(zhǎng)ce交 ba 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)f；12（ 4）作平行線構(gòu)造等腰三角形作平行線構(gòu)造等腰三角形分為以下兩種情形：如下左圖所示,過(guò)角平分線oc 上的一點(diǎn) e 作角的一邊oa 的平行線de,從而構(gòu)造等腰三角形ode；如下右圖所示,通過(guò)角一邊ob 上的點(diǎn) d 作角平分線oc 的平行線

7、dh 與另外一邊ao 的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) h,從而構(gòu)造等腰三角形odh；4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2.由線段和差想到的幫助線:（ 1）遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí),一般方法為截長(zhǎng)補(bǔ)短法：截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條,然后證明剩下部分等于另一條；補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng),延長(zhǎng)部分等于另一條短線段,然后證明新線段等于長(zhǎng)線段；例 1.在 abc中, ad 平分 bac, acb 2 b,求證： ab ac cd；abdc（ 2）對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式,通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊.之差小于第三邊,故可想方法將某些線段轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中證明

8、；在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí),如直接證不出來(lái),可連接兩點(diǎn)或廷長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形,使結(jié)論中顯現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中,再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明；例 2.已知如圖,d.e 為 abc內(nèi)兩點(diǎn) 、求證 :ab ac bd de ce.（ 3）在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來(lái)時(shí),可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊,構(gòu)造三角形,使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上,小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上,再利用外角定理：例 3：如圖：已知 d 為 abc內(nèi)的任一點(diǎn),求證： bdc bac5精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3.由中點(diǎn)想到的幫助線：在三角形中,假如已知一

9、點(diǎn)為三角形某一邊上的中點(diǎn),那么第一應(yīng)當(dāng)聯(lián)想到三角形的中線加倍延長(zhǎng)中線及其相關(guān)性質(zhì)（等腰三角形底邊中線性質(zhì)）,然后通過(guò)探究,找到解決問(wèn)題的方法；（ 1 ） 中 線 把 原 三 角 形 分 成 兩 個(gè) 面 積 相 等 的 小 三 角 形 .即 如 圖1 , ad為 abc 的 中 線 , 就ss1 s（由于 abd 與 acd為等底同高的） ；abdacd2abc圖 1圖 2（ 2）倍長(zhǎng)中線,如圖2, 已知中點(diǎn).中線問(wèn)題應(yīng)想到倍長(zhǎng)中線,由中線的性質(zhì)可知,一條中線將中點(diǎn)所在的線段平分,可得到一組等邊,通過(guò)倍長(zhǎng)中線又可得到一組等邊及對(duì)頂角,因而可以得到一組全等三角 形；如圖,延長(zhǎng)ad 到 e,使得 a

10、d=ae,連結(jié) be；例 1.如圖 3,已知 abc中, ad 為 bac的平分線, ad 又為 bc 邊上的中線；求證：abc為等腰三角形；4.驗(yàn)證中點(diǎn).中線問(wèn)題,應(yīng)構(gòu)造平行線,如圖,過(guò)b 作 be 平行 ac 交 ad 延長(zhǎng)線于e.例 1.如圖 3,在等腰 abc中, ab=ac,在 ab 上截取 bd,在 ac延長(zhǎng)線上截取ce,且使 ce=bd連接 de交 bc 于 f求證： df=ef6精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載5.其他幫助線作法：（ 1）延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形在一些求證三角形問(wèn)題中,延長(zhǎng)某兩條線段（邊）相交,構(gòu)成一個(gè)封閉的圖形,可找到更多的相等關(guān)系,有助于問(wèn)題的解決例 1.如圖 4,在 abc中,ac=bc,c=90°, bd 為 abc的平分線 如 a 點(diǎn)到直線bd 的距離 ad 為 a,求 b