常數(shù)項級數(shù)的概念實用教案

1、一. 無窮(wqing)級數(shù)的概念二. 級數(shù)收斂(shulin)的必要條件三. 無窮級數(shù)的基本性質(zhì) 第1頁/共32頁第一頁，共33頁。一.無窮級數(shù)(j sh)的概念1.無窮(wqing)級數(shù)的定義設有數(shù)列(shli) un: u1 , u2 , , un , nnnuuuu211為一個無窮級數(shù), 簡稱為級數(shù).稱 un 為級數(shù)的一般項或通項.則稱表達式第2頁/共32頁第二頁，共33頁。 ., 1數(shù)則稱該級數(shù)為常數(shù)項級均為常數(shù)的每一項若級數(shù)nnnuu . )( ),( : 1數(shù)項級數(shù)為函則稱級數(shù)函數(shù)一個變量的若級數(shù)的每一項均為同nnnnxuxuu第3頁/共32頁第三頁，共33頁。下列各式均為常數(shù)(

2、chngsh)項級數(shù); 214121211nnn; 211nnn; ) 1(1111) 1(111nnn. cos2cos1coscos1nnn例1第4頁/共32頁第四頁，共33頁。下列(xili)各式均為函數(shù)項級數(shù),) 1(1) 1(112111nnnnnxxxx.Rx,22100nnnnnxaxaxaaxa. 1|x,sin2sinsinsin1nxxxnxn.Rx例2第5頁/共32頁第五頁，共33頁。2. 級數(shù)(j sh)的斂散性定義無窮級數(shù)1nnu的前 n 項之和：,211nnkknuuuuS稱為級數(shù)(j sh)的部分和.若SSnnlim存在, 則稱級數(shù)1nnu收斂.S 稱為級數(shù)的和：

3、. 1Sunn第6頁/共32頁第六頁，共33頁。若nnSlim不存在(cnzi) ( 包括為 ) ,1nnu發(fā)散(fsn).則稱級數(shù)(j sh)第7頁/共32頁第七頁，共33頁。討論等比級數(shù)的斂散性.11nnar等比級數(shù)(dn b j sh)的部分和為：nkknarS11當公比 | r | 1 時,. 1)1 (limlimrraSnnnn當公比 r =1時,. limlimnaSnnnSn=a, n為奇數(shù)(j sh)0, n為偶數(shù)(u sh)當公比 | r | 1 時, 等比級數(shù)(dn b j sh)收斂；當公比 r = 1時,當公比 | r | 1 時, 等比級數(shù)發(fā)散.綜上所述, . li

4、m ,不存在故nnS第9頁/共32頁第九頁，共33頁。討論(toln)級數(shù)的斂散性.1) 12)(12(1nnn12112121) 12)(12(1nnnn1211212171512151312131121 nnSn121121n解例4第10頁/共32頁第十頁，共33頁。而121121limlimnSnnn故21) 12)(12(11nnn21即該級數(shù)收斂, 其和為. 21S第11頁/共32頁第十一頁，共33頁。二. 級數(shù)(j sh)收斂的必要條件若級數(shù)1nnu收斂, 則必有. 0limnnu定理(dngl)(limlim1nnnnnSSu1limlimnnnnSS0SS證設 ,1Sunn.

5、lim SSnn則第12頁/共32頁第十二頁，共33頁。由于(yuy),1 1) 1( lim |lim1nnunnnn故該級數(shù)(j sh)發(fā)散., 0limnnu解例5 . 1) 1( 11的斂散性判別級數(shù)nnnn第13頁/共32頁第十三頁，共33頁。證明(zhngmng)調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的:調(diào)和級數(shù)的部分(b fen)和有：， 11S，211122 SS4131211224SS證21211，221 201例6 . ,11121調(diào)和中項的與為則稱若cabbca1 .1312111nnn第14頁/共32頁第十四頁，共33頁。328SS2318171615141312118171615141312

6、112121211 ? 212kSk第15頁/共32頁第十五頁，共33頁。由數(shù)學(shxu)歸納法, 得，212kSk k = 0, 1, 2, 而21limkk故 nnSlim不存在, 即調(diào)和級數(shù)發(fā)散.第16頁/共32頁第十六頁，共33頁。三.無窮級數(shù)(j sh)的基本性質(zhì) 有相同的斂散性, 且 若 c 0 為常數(shù), 則1nncu1nnu與1. 性質(zhì)性質(zhì) 111 nnnnuccu第17頁/共32頁第十七頁，共33頁。證1nnu的部分和為，nkknuS11nncu的部分和為,11nnkknkkncSuccuS故nnnnnnSccSSlimlimlim同時收斂或同時發(fā)散,即與1nnu1nncu且

7、有 .11nnnnuccu第18頁/共32頁第十八頁，共33頁。2. 性質(zhì)性質(zhì) 2 , , 2111SSvunnnn和其和分別為收斂與若且也收斂則級數(shù) , )( 1nnnvu211)(SSvunnn .11nnnnvu第19頁/共32頁第十九頁，共33頁。證1)(nnnvu的部分(b fen)和為：nkkknvuS1)()()(2121nnvvvuuu故nnSS21)()()(2211nnvuvuvu2121limlimSSSSnnnn即 級數(shù)1)(nnnvu收斂, 且21111)(SSvuvunnnnnnn)(limlim21nnnnnSSS第20頁/共32頁第二十頁，共33頁。 因為(yn

8、 wi)等比級數(shù), 31 2111收斂與nnnn所以(suy)級數(shù) . 31211也收斂nnn例7第21頁/共32頁第二十一頁，共33頁。問 題 一個收斂級數(shù)與一個發(fā)散級數(shù)的和是收斂的還是發(fā)散的？是發(fā)散(fsn)的第22頁/共32頁第二十二頁，共33頁。問 題 兩個發(fā)散的級數(shù)之和是收斂的還是發(fā)散的？不一定(ydng) . ) 1( ) 1( 111之和與看看nnnn第23頁/共32頁第二十三頁，共33頁。在一個級數(shù)的前面加上或者(huzh)去掉有限(yuxin)項后, 所得到的新的級數(shù)與原級數(shù)的斂散性相同.3. 性質(zhì)性質(zhì) 3第24頁/共32頁第二十四頁，共33頁。kmmmkuuuS21kmmm

9、muuuuuu2121)(mkmSS證)(21muuu設級數(shù)1nnu的部分和為 Sn , 去掉級數(shù)的前面 m 項后得到的級數(shù)1mkku的部分和為:kS第25頁/共32頁第二十五頁，共33頁。mkmkkkSSSlimlim由于 Sm 當 m 固定時為一常數(shù),所以1nnu1kkmu第26頁/共32頁第二十六頁，共33頁。級數(shù)(j sh)仍然收斂, 且其和不變.對收斂(shulin)的級數(shù)加括號后所得到的新 在級數(shù)運算中, 不能隨意加上或去掉(q dio)括 號, 因為這樣做可能改變級數(shù)的斂散性.4. 性質(zhì)性質(zhì) 4第27頁/共32頁第二十七頁，共33頁。問 題 收斂的級數(shù)去掉括號后所成的級數(shù)仍收斂嗎

10、？不一定(ydng) 11 () 11 ( 看看第28頁/共32頁第二十八頁，共33頁。問 題 發(fā)散的級數(shù)加括號后所成的級數(shù)是否仍發(fā)散？不一定(ydng)1111 看看第29頁/共32頁第二十九頁，共33頁。問 題 如果加括號后的級數(shù)仍發(fā)散, 原級數(shù)是否也發(fā)散？原級數(shù)(j sh)也發(fā)散加括號可引起收斂,去括號可引起發(fā)散.第30頁/共32頁第三十頁，共33頁。第31頁/共32頁第三十一頁，共33頁。感謝您的觀看(gunkn)！第32頁/共32頁第三十二頁，共33頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)第 八 章 無 窮 級 數(shù)。第一節(jié) 常數(shù)項級數(shù)的概念(ginin)和性質(zhì)。第1頁/共32頁。稱 un 為級數(shù)的一般項或通項.。第