線彈性斷裂力學

1、線彈性斷裂力學1、 概念：斷裂力學：斷裂力學是以變形體力學為基礎，研究含缺陷（或者裂紋）材料和結構的抗斷裂性能，以及在各種工作環(huán)境下裂紋的平衡、擴展、失穩(wěn)及止裂規(guī)律的一門學科。線彈性斷裂力學：應用線彈性理論研究物體裂紋擴展規(guī)律和斷裂準則。2、 材料缺陷實際構件存在的缺陷是多種多樣的，可能是冶煉中產(chǎn)生的夾渣、氣孔，加工中引起的刀痕、刻槽，焊接時產(chǎn)生的裂縫、未焊透、氣孔、咬邊、過燒、夾雜物，鑄件中的縮孔、疏松，以及結構在不同環(huán)境中使用時產(chǎn)生的腐蝕裂紋和疲勞裂紋。在斷裂力學中，常把這些缺陷都簡化為裂紋，并統(tǒng)稱為“裂紋”。3、裂紋的類型（1）、按照裂紋的幾何特征分類(a)穿透裂紋：厚度方向貫穿的裂紋。

2、(b)表面裂紋：深度和長度皆在構件的表面，常簡化為半橢圓裂紋。(c)深埋裂紋：裂紋的三維尺寸都在構件內(nèi)部，常簡化為橢園裂紋。（2）按照裂紋的受力和斷裂特征分類(a)張開型：（型，opening mode，or tensile mode）特征：外加拉應力垂直于裂紋面，也垂直于裂紋擴展的前沿線。在外力的作用下，裂紋沿原裂紋開裂方向擴展。(b)滑開型：（型, sliding mode, or in-plane shear mode）特征：外加剪應力平行于裂紋面，但垂直于裂紋擴展的前沿線。在外力的作用下，裂紋沿原裂紋開裂方向成一定角度擴展。(c)撕開型：（ 型, tearing mode, or an

3、ti-plane shear mode）特征：外加剪應力平行于裂紋面，也平行于裂紋擴展的前沿線。使裂紋面錯開。在外力的作用下，裂紋基本上沿原裂紋開裂方向擴展。 型是最簡單的一種受力方式，分析起來較容易，又稱反平面問題。(d)混合型：( 或復合型，mixed mode ) 經(jīng)常是拉應力與剪應力同時存在，實際問題多半是， 等，從安全的角度和方便出發(fā)，將混合型問題常做簡化看成型處理。（3） 按裂紋形狀分類根據(jù)裂紋的真實形狀，一般可以分為圓型、橢圓型、表面半圓型、表面半橢圓型，以及貫穿直裂紋等。4、 裂紋對材料強度的影響具有裂紋的彈性體受力后，在裂紋尖端區(qū)域?qū)a(chǎn)生應力集中現(xiàn)象。受拉板，若無裂紋時，它的

4、應力流線是均勻分布；當存在一個裂紋時，應力流線在裂紋尖端附近高度密集，但這種集中是局部性的，離開裂紋尖端稍遠處，應力分布又趨于正?！，F(xiàn)考慮一“無限大”薄平板，承受單向均勻拉應力作用，板中存在貫穿橢圓型切口，其長軸2a，短軸2b。根據(jù)彈性力學討論，最大拉應力發(fā)生在橢圓長軸端點A（或）處，其值為該點處曲率半徑，得橢圓裂紋處最大應力又可以寫為由固體物理知識，固體材料的理論斷裂強度值為式中E材料彈性模量；固體材料的表面能密度；固體材料的原子間距。為理論斷裂強度，代表晶體在彈性狀態(tài)下的最大結合力式中正弦曲線的波長 原子偏離平衡位置的位移如果原子位移很小，則，則由于我們研究的是彈性狀態(tài)下晶體的破環(huán)，當原子

5、偏離平衡位置的位移很小時，由胡可定律得式中彈性應變原子間平衡時的距離則晶體脆性斷裂時所消耗的功用來供給形成倆個表面所需要的表面能，則式中為裂紋表面上單位面積表面能則，得按照傳統(tǒng)強度觀點，當切口端點處最大應力達到材料的理論強度時，材料斷裂，即因為，故得臨界應力當存在理想尖裂紋時，說明，不管應力多大都斷裂，顯然與事實不符。這一疑問的答案正是連續(xù)介質(zhì)力學與彈性理論的界限，因為固體是由原子組成，因此，當固體材料中的缺陷是尖端裂紋缺陷時，就可用原子間距代替裂紋尖端曲率半徑，得研究表明，當表面能與裂紋長度取下面的取值時 則其斷裂應力比材料的理論值降低約100倍。這就從應力集中觀點解釋了固體材料的實際斷裂強

6、度遠低于其理論強度。當設計的最大應力達到斷裂極限時，裂紋開裂，使裂紋長度2a增加，這樣又將使斷裂極限降低，則裂紋繼續(xù)擴展，最后導致整個固體材料斷裂，所以它是裂紋失穩(wěn)擴展的條件。5、 探傷結果與裂紋尺寸的換算由公式可以看出，要確定出斷裂極限，還需要知道裂紋擴展所需的表明能，以及已有裂紋的長度。裂紋的長度通常需要利用無損檢測的方法來確定，目前流行的無損探傷技術有超聲波探傷、磁粉探傷和熒光粉探傷技術。在測量裂紋長度時以下幾點需要引起足夠的重視：一、對確定的探傷設備及方法，有最小可識別缺陷的限制，設為因此，應假設結構中有尺寸為的初始缺陷。二、將探傷結果與解剖后實測缺陷尺寸對比，可大致得到經(jīng)驗探傷結果與

7、真是缺陷的換算比。如超聲探傷，實際缺陷面積是探傷面積的23倍。三、此外還應引入安全系數(shù)。6、Griffith理論Griffith研究了如圖所示厚度為B的薄平板。上、下端受到均勻拉應力作用，將板拉長后，固定兩端。由Inglis解得到由于裂紋存在而釋放的彈性應變能為 平面應力xy另一方面，Griffith認為，裂紋擴展形成新的表面，從而表面能增加，則倆個自由表面總的表面能（即裂紋表面能）為：其中：為單位面積上的表面能，裂紋面積。裂紋表面能：形成新的裂紋表面所需要的能量。由能量守恒，薄板產(chǎn)生裂紋所釋放的彈性應變能轉化為裂紋表面能。如果應變能釋放率，等于形成新表面所需要吸收的能量率，則裂紋達到臨界狀態(tài)

8、；如果應變能釋放率小于吸收的能量率，則裂紋穩(wěn)定；如果應變能釋放率大于吸收的能量率，則裂紋不穩(wěn)定。因此可以得到如下表達式 臨界狀態(tài) 裂紋穩(wěn)定 裂紋不穩(wěn)定以平面應力為例，來考慮臨界狀態(tài)：，即，（式）注意：這里的為設計應力，此時我們可以得到斷裂強度（即臨界應力）為：同時：也可以給出裂紋的臨界尺寸：這里將Griffith理論得到的，和前面的得到的做一比較，兩式左邊相同，所以：，得到結論：當裂紋尖端的曲率半徑滿足時，兩種結果相當近似，往往把滿足該條件的裂紋成為Griffith裂紋。缺點：Griffith理論研究的僅限于材料時完全脆性的情況，而絕大多數(shù)金屬材料斷裂前裂尖存在塑性區(qū)域，不能應用該理論。7、

9、Orowan理論在Griffith理論提出30年之后，Orowan對金屬材料裂紋擴展的研究發(fā)現(xiàn)，提供裂紋擴展的彈性應變能不僅用于形成新的表面，還用于引起塑性變形所需的能量，即“塑性功”。塑性功率：裂紋擴展單位面積時，內(nèi)力對塑性變形做“塑性功”，稱為“塑性功率”，用表示。則總塑性功為。據(jù)此可得：得臨界應力及裂紋臨界尺寸。簡化：對于金屬材料，通常比大三個數(shù)量級，因而可忽略不計。因此上面的式子可以寫為：臨界應力及裂紋臨界尺寸。小結：理論斷裂強度推出Griffith斷裂極限Orwan斷裂極限得出斷裂強度與成反比解釋了玻璃、陶瓷等脆性材料的斷裂。該理論考慮的裂紋在擴展過程中的塑性功，適用于大多數(shù)金屬材料

10、的斷裂分析注：這些是基于平面應力問題，對于平面應變問題，只需將E變?yōu)榧纯伞?、 能量釋放率及其斷裂判據(jù)從能量守恒和功能轉換關系來研究裂紋擴展過程，由此可以更清楚地揭示斷裂韌性的物理意義。斷裂韌性：表征材料阻止裂紋擴展的能力，是度量材料的韌性好壞的一個定量指標。當裂紋尺寸一定時，材料的斷裂韌性值愈大，其裂紋失穩(wěn)擴展所需的臨界應力就愈大；當給定外力時，若材料的斷裂韌性值愈高，其裂紋達到失穩(wěn)擴展時的臨界尺寸就愈大。設有一裂紋體，其裂紋面積A，若其裂紋面積擴展了dA，在這個過程中載荷所做的外力功為dW，體系彈性應變能變化了dU，塑性功變化了d，裂紋表面能增加dS。如果不考慮熱功間轉換，則由能量守恒和轉

11、換定律，得合外力所做的功等于系統(tǒng)內(nèi)能的改變量。式中d與dS表示裂紋擴展dA時所需要的塑性功和裂紋表面能（對于金屬材料，通常比大三個數(shù)量級，S可以相對于項略去不計），它們可以視為裂紋擴展所需要消耗的能量，也即阻止裂紋擴展的能量。記裂紋擴展dA時彈性系統(tǒng)釋放（耗散）的能量（勢能）為，則有裂紋擴展能量釋放率：定義裂紋擴展單位面積彈性系統(tǒng)釋放的能量為裂紋擴展能量釋放率，用G表示，則有它表示系統(tǒng)勢能的減少，假設裂紋體的厚度為B，裂紋長為a,則dA=Bda，上式變?yōu)椋?。裂紋擴展阻力率：定義裂紋擴展單位面積所需要消耗的能量為裂紋擴展阻力率，用R或表示，則，則材料一定，上述R或為常數(shù)，稱為材料的斷裂韌度?？蓪?/p>

12、驗測得。當G達到時，裂紋將失去平衡，開始失穩(wěn)擴展。所以能量釋放率斷裂依據(jù)為。9、G的表達式（一）恒位移情況2a彈性體受載荷P作用，產(chǎn)生位移后，固定上下兩端，構成恒位移的能量封閉系統(tǒng)。則d=0，dW=0，所以系統(tǒng)釋放的應變能用于推動裂紋擴展，因此，裂紋擴展的能量釋放率就是彈性體的應變能釋放率。在線彈性情況下：，又知，式中c為彈性體的柔度，它是裂紋長度a的函數(shù)，即c=c(a)。則因此斷裂韌度可計算為：10、G表達式（二）恒載荷情況2a彈性體受不變的載荷P作用，裂紋擴展da時，載荷不變(dP=0),位移變化為d，故應變能的變化為外力功改變?yōu)橐虼藬嗔秧g度可計算為小結：恒位移情況恒載荷情況比較位移恒定與

13、載荷恒定情況下推導的斷裂韌度，發(fā)現(xiàn)：該式表明：恒位移或恒載荷情況下，可以有統(tǒng)一的表達式，它反映了裂紋擴展能量釋放率與試件柔度之間的關系，成為Irwin-Kies關系。11、平面問題（應力應變與z軸無關，只是平面x，y坐標的函數(shù)）倆個平衡方程：三個幾何方程：三個物理方程：用應力表示的相容方程：在彈性力學中，引入艾里應力函數(shù)，使得應力函數(shù)滿足相容方程（協(xié)調(diào)方程）、應力邊界條件和位移邊界條件（雙調(diào)和方程）平面應力（應力二維）與平面應變（應變二維）問題的異同應力、應變、位移的差別。12、復變函數(shù)求解平面問題很多帶裂紋的彈性體問題，用復變函數(shù)解決更方便。定義一個應力函數(shù)，其中若Z為解析函數(shù)，那么導數(shù)必定

14、能夠確定從而導出Cauchy-Riemann條件：采用Westergaurd應力函數(shù)，其中，根據(jù)Cauchy-Riemann方程有說明Westergaurd應力函數(shù)自動滿足協(xié)調(diào)方程得應力分量：將應力分量代入物理方程，并利用幾何方程，可得 平面應變：平面應力： 13、型裂紋如圖考慮一個無限大平板，裂紋長2a，在無限遠處作用雙向均勻拉應力。此問題邊界條件：在裂紋上無外力作用，即在y=0，處，；在無窮遠處，即處，。選取函數(shù)Z(z)為 此函數(shù)滿足邊界條件。為方便計算，坐標代換：，即；相當于把坐標原點移在了右頂點上。所以： 式中；在裂紋右尖端附近，即當時，有極限值，并等于一常數(shù)。令，其中稱為應力強度因子

15、。應力強度因子是表征裂紋尖端附近應力場的一個有效參量，可以作為判斷裂紋是否將進一步進入失穩(wěn)狀態(tài)的一個指標。在裂紋尖端附近，在很小的范圍內(nèi)，為代入中得是在裂紋尖端處存在的極限；若只考慮裂紋尖端處附近的一個微小區(qū)域，則近似地成立以下關系： 即 以極坐標表示復變函數(shù)：考慮到，則而并考慮到，便得到裂紋尖端附近應力場和位移場表達式（式）對于無限大板中心裂紋受雙向拉應力作用情況，有對于型裂紋，是關鍵性的應力，在裂紋延長線上，則13、 型裂紋。型裂紋問題所受的是均勻剪應力作用，如圖所示。邊界條件：在裂紋面上無外力作用，即y=0，應力為0；無窮遠處，只有剪應力作用。選取滿足邊界條件的用力函數(shù)為：為方便計算，坐

16、標代換：，即；相當于把坐標原點移在了右頂點上。所以： 式中在裂紋右尖端附近，即當時：得；則在裂紋尖端有14、 型裂紋。III型裂紋問題與I、II型不同，它是反平面問題。裂紋面沿z軸錯開，只有z方向有位移。選取滿足邊界條件的函數(shù)為，為方便計算，坐標代換：，即；相當于把坐標原點移在了右頂點上。所以： 式中在裂紋右尖端附近，即當時：得；則在裂紋尖端有15、 應力強度因子斷裂判據(jù)參量、分別稱為、型裂紋尖端應力場強度的因子，簡稱應力強度因子。應力強度因子是表征裂紋尖端附近應力場的一個有效參量，可以作為判斷裂紋是否將進一步進入失穩(wěn)狀態(tài)的一個指標。它是控制了裂紋尖端應力、應變場，是表示場強的物理量。在工程構

17、件內(nèi)部，型裂紋是最危險的，實際裂紋即使是復合型裂紋，為了更加安全也往往把它看作型裂紋處理，因此，我們的重點將是型裂紋。由此可見，隨著應力增大（或裂紋擴展）將不斷增大，當增大到足以使裂紋前端材料分離從而裂紋發(fā)生失穩(wěn)擴展時，就稱為到達臨界狀態(tài)。標記該臨界值為，則該臨界值表征了材料阻止裂紋擴展的能力，是材料抵抗斷裂的一個韌性指標，成為斷裂韌性。因此，脆性斷裂的應力強度因子判據(jù)可以表示為。（1）斷裂韌度與試件厚度B的關系一般隨材料厚度B的增加而下降。（2）斷裂韌度與材料屈服強度的關系對于某些金屬材料，屈服強度增高，斷裂韌度會有所下降。（3）斷裂韌度與溫度的關系降低材料溫度往往會增加材料強度，而降低材料

18、的斷裂韌度。實驗表明：材料的斷裂韌度還依賴于溫度、加載速度、環(huán)境、金屬合金純度以及裂紋尖端區(qū)域的冶金性質(zhì)。如：提高金屬合金純度，對強度影響不大，但往往能提高斷裂韌度。應力強度因子K及斷裂韌度的量綱為，工程單位，國際單位或。建立了斷裂判據(jù)，就可以分析問題了。但應用“K判據(jù)”有2個基礎工作：1、掌握構件的“傷情”；2、測出材料的斷裂韌性值。應力由斷裂韌性公式可知，臨界拉應力：裂紋臨界尺寸：。16、深埋裂紋問題處理在斷裂力學中，常將內(nèi)部缺陷視為深埋裂紋。Green和Senddon曾求解無限大體中的橢圓片狀裂紋問題（如圖）。遠場受垂直于橢圓片所在平面的均勻拉應力作用，橢圓片的長軸2c，短軸2a，裂紋邊

19、界點P滿足方程：或用參量表示： P點的應力強度因子求出為：式中當或，此時修正系數(shù)有最大值：；當或，此時修正系數(shù)有最小值：可以做如下討論：（1） 在（園片狀裂紋）時，所以：此時園片狀裂紋前緣各點處的應力強度因子據(jù)相等。（2）當或時，故有；在即橢圓短軸端點處，有最大值為。這說明當時，無限大體內(nèi)的橢圓片狀裂紋可以近似的按無限大體內(nèi)的中心貫穿裂紋來處理。17、 表面裂紋問題處理工程上遇到的更多為表面裂紋，一般做法是根據(jù)前述無限大體中橢圓片裂紋的解經(jīng)過修正近似處理，以下我們來看其主要步驟：（1）假想垂直于橢圓裂紋面、并且過橢圓長軸的平面將體截開。需設置修正系數(shù)M1，M1的值采用二維半無限大平板自由邊緣對

20、邊裂紋K的修正值1.12.于是半無限大表面半橢圓裂紋最深點A處的應力強度因子近似表達式及修正值為進一步研究，修正系數(shù)M1的表達式如下，尤其對于不是很小的深裂紋（2）若裂紋背面與體表面比較接近的時候，需設置修正系數(shù)M2其表達式及應力強度因子可表示為式中M為彈性校正因子或彈性修正系數(shù)。工程上近似計算，也常用如下公式18、 K判據(jù)的工程應用實例應力強度因子：脆性斷裂的應力強度因子判據(jù)：例題1. 確定帶裂紋構件的臨界載荷問題提出：已知構件的幾何因素，裂紋尺寸和材料的韌性值，運用“K判據(jù)”，可確定帶裂紋構件的臨界載荷。例題：中心具有穿透裂紋的厚板條，遠端承受拉伸作用，板的寬度為200mm,裂紋長為80m

21、m。板的材料為鋁合金，其39MNm(-3/2)，計算此半條的臨界載荷。F裂紋F解：查附錄C-3-1，得集中因子的幾何形狀因子為：式中a為裂紋半長度，W為板寬。例題2. 確定容限裂紋尺寸問題提出：當給定載荷、材料的斷裂韌性值以及裂紋體的幾何形態(tài)以后，運用“K判據(jù)”，可以確定裂紋的容限尺寸，即裂紋失穩(wěn)擴展時對應的裂紋尺寸。例題：某種合金鋼在不同回火溫度下，測得性能如下：設應力強度因子為，且工作應力為。試求兩種回火溫度下構件得容限裂紋尺寸。解：由應力強度公式，得從強度指標看275回火溫度的合金鋼材略優(yōu)于600回火溫度的合金鋼材；但從斷裂性能指標看，600回火溫度的合金鋼材比275回火溫度的合金鋼材好

22、得多。事實上，構件中0.9的裂紋是難以避免的，因此從安全考慮，應選用600的回火溫度的合金鋼材。例題3. 評定與選擇材料問題提出：按照傳統(tǒng)得設計思想，選擇與評定材料主要著眼屈服強度或強度極限，對于交變應力作用則選擇持久強度，但按抗斷裂觀點，應選用KIC高得材料。不少時候材料屈服強度越高KIC值就越低，所以評定與選擇材料應該兩者兼顧，全面評價。例題：現(xiàn)設計一高強度材料的壓力容器，設計許用應力，采用的無損探傷設備只能發(fā)現(xiàn)大于1mm深度的裂紋。因此可以假定容器內(nèi)壁焊縫熱影響區(qū)沿母線方向（最不利位置和最不利方向）存在深度a=1mm，長度c=2a的表面淺裂紋?，F(xiàn)有兩種材料，力學性能如表。全面考慮，以選擇

23、何種材料為佳？解：從靜強度分析：從斷裂力學角度分析：由附錄C-4-6可查得，為第二類完整橢圓積分。由附錄C-1可查得，。金屬材料在裂尖區(qū)不可避免存在一個小塑性區(qū)，在塑性區(qū)里應力有松弛，考慮這種作用效應，a 可修正為：取許用應力為容器的工作應力，即，則由此可見，本問題選擇B材比選擇A材優(yōu)越，它既滿足強度要求，又有合適的抗斷裂能力。如果僅按照傳統(tǒng)設計思想而不從斷裂力學觀點分析，選用A材則必然會導致容器低應力脆斷。19、G與K的關系從能量觀點給出了裂紋失穩(wěn)擴展得判據(jù) ，從裂紋尖端應力場分析，引出了裂紋失穩(wěn)擴展得另一判據(jù)。這兩個判據(jù)描述得是同一問題，它們之間滿足關系：（平面應力）（平面應變）或（平面應

24、力）（平面應變）在裂紋失穩(wěn)擴展的臨界狀態(tài)（平面應力）（平面應變）或（平面應力）（平面應變）盡管有兩種斷裂判據(jù)，但在工程應用上，一般多采用“K判據(jù)”。因為K因子得計算比較方面，而得測量也比較簡單，因此，在線彈性斷裂力學中，“K判據(jù)”是我們討論得重點。20、 屈服判據(jù)材料力學中四大強度理論：1. 最大拉應力理論：認為最大拉應力是引起斷裂的主要因素。2. 最大拉應變理論：認為最大伸長線應變是引起斷裂的主要因素。3. 最大切應力理論(Tresca)：認為最大切引力是引起屈服的主要因素。4. 畸變能理論(Von Mises)：認為畸變能密度是引起屈服的主要因素。從前面的討論，對于I型裂紋尖端，從公式可知

25、，當時，即在裂紋尖端存在奇異性。但對于實際金屬材料來說，當裂紋前端正應力達到材料的有效屈服應力，材料就要屈服，所以在裂紋尖端會產(chǎn)生一個微小的塑性區(qū)域，從而使裂紋尖端區(qū)有應力松弛。對于平面問題，應力分量為：平面應力平面應變對于型裂紋，有前面討論的式，得主應力：在裂紋延長線上（即X軸上），=0則（平面應力），（平面應變）我們把塑性區(qū)的最大主應力叫作有效屈服應力，用表示。根據(jù)最大剪應力屈服判據(jù)，得（平面應力）（平面應變）對于型裂紋（平面應力）（平面應變）21、裂紋前端屈服區(qū)的大小在裂紋延長線上（X軸上），最大主應力，它就是，隨著坐標r而變化（如圖），r越小，值越大，當，從而時，材料就屈服。由此可定出屈服區(qū)在X軸上尺寸為：由于（平