【精品教學(xué)設(shè)計(jì)】高中數(shù)學(xué)《2.3復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)》教案

1、§123復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【學(xué)情分析】：在學(xué)習(xí)了用導(dǎo)數(shù)定義這種方法計(jì)算常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而且已經(jīng)熟悉了導(dǎo)數(shù)加減運(yùn)算法則后.本節(jié)將繼續(xù)介紹復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法.【教學(xué)目標(biāo)】：(1)理解掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 .(2)能夠結(jié)合已學(xué)過的法則、公式，進(jìn)行一些復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo).(3)培養(yǎng)學(xué)生善于觀察事物，善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，認(rèn)識(shí)規(guī)律，掌握規(guī)律，利用規(guī)律.【教學(xué)重點(diǎn)】：簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，也是由導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)出的，要掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，須在理解復(fù)合過程的基礎(chǔ)上熟記基本導(dǎo)數(shù)公式，從而會(huì)求簡(jiǎn)單初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并靈活應(yīng)用【教學(xué)難點(diǎn)】：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的導(dǎo)入 ，復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)分析，可多配例題，讓學(xué)生對(duì)求導(dǎo)法則有一

2、個(gè)直觀的了 解.【教學(xué)過程設(shè)計(jì)】：教學(xué) 環(huán)節(jié)教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖一、情回憶我們上一節(jié)課的例 1,如果式子p(t)=住(1+5%),中某商品的p =5,那么在從實(shí)際 生活的例子景引入第10個(gè)年頭，這種商品的價(jià)格上漲的速度大約是多少？出發(fā)，使學(xué)根據(jù)上一節(jié)課的內(nèi)容，我們知道，求在第10個(gè)年頭，這種商品的價(jià)格上漲的速度，生對(duì)導(dǎo)數(shù)的只需求p關(guān)于t的導(dǎo)數(shù).但是如何求p(t) = 5h1.05t關(guān)于t的導(dǎo)數(shù)呢？我們需要用運(yùn)算法則有 一個(gè)更深刻到新的知識(shí)，即“導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則”的認(rèn)識(shí)。二、講導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算公式：課_ ' 一'1. f (x)±g(x) = f (x)±g (x)；

3、導(dǎo)數(shù)的乘、除運(yùn)算比較(1)2. f (x)Lg(x) = f (x)g(x) + f (x)g (x)；容易出錯(cuò)，要強(qiáng)調(diào)，引的四 則運(yùn)f(x) , f (x)g(x) - f (x)g (x)起注息.3',、 ,、,2(g(x)于 0)算g(x)g(x)例1 .根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。(1) y = x3 -2x +3(2) y = (3x2+2/x-5)/ 、sinx(3) y-x直接給(2) 復(fù)合 函數(shù) 的定一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y - f (u)和u - g(x),如果通過變量u,y可以表7K成x的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y= f (u)和u

4、=g(x)的復(fù)合函數(shù).出定義，并 與基本初等函數(shù)相區(qū)別義.例1、試說明下列函數(shù)是怎樣復(fù)合而成的？和聯(lián)系.(1) y =(2x2)3； y =sinx2 ； y =COS(x) 4(4) y = ln sin(3x -1).例2、寫出由卜列函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)： y = cosu , u=1 + x2； y = lnu, u=lnx.說明： 討論復(fù)合函 數(shù)的構(gòu)成 時(shí)，“內(nèi)層”、“外層”函 數(shù)一般應(yīng)是 基本初等函 數(shù)，如一次 函數(shù)、二次 函數(shù)、指數(shù) 函數(shù)、對(duì)數(shù) 函數(shù)、三角 函數(shù)等.(3) 復(fù)合 函數(shù) 的導(dǎo) 數(shù)思考：如何求函數(shù)y =ln(x+2)的導(dǎo)數(shù)？復(fù)合函數(shù)y = f (g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y =

5、 f (u), u = g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為 yx = yul_ux.例3、求卜列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) y=(2x+3)2； y=e'05x*；(3) y =sin(nx +7)(其中加，隼均為常數(shù))對(duì)于(1)能否用學(xué)過四則運(yùn)算解決問題？新方法：將函數(shù) y =(3x-2)2看作是函數(shù)y = u2和函數(shù)u =3x 2復(fù)合函數(shù)，并分別求對(duì)應(yīng)變量的導(dǎo)數(shù)如下：y； = (u2)' = 2u , ux = (3x 2)' = 3兩個(gè)導(dǎo)數(shù)相乘，得yuuux =2u3 =2(3x 一2)|_3 = 18x -12 ,從而后 y'x = y'u u'x對(duì)于一般

6、的復(fù)合函數(shù)，結(jié)論也成立，以后我們求y' x時(shí)，就可以轉(zhuǎn)化為求 yu'和u' x的乘積，關(guān)鍵是找中間變量，隨著中間變量的不同，難易程度不同。(學(xué)生自主完成(2)、(3)。兩種方法作 對(duì)照與比 較，體會(huì)不 向的解決方 法與策略. 鼓勵(lì)學(xué)生模 仿并及時(shí)修 正.一2兀，例4、求y=sin (2x+_)的導(dǎo)致3JIJT分析：設(shè)u=sin(2 x+)時(shí)，求ux',但此時(shí)u仍是復(fù)合函數(shù)，所以可再設(shè)v=2x+.33解略.三、鞏固與提升1、求 y =sin(tan x2)的導(dǎo)數(shù).'2 一'2.2.2.斛： y =sin(tan x ) =cos(tanx ) se

7、c (x ) 2x= 2xcos(tan x2) sec2(x2)y =2xcos(tan x2) sec2(x2)【點(diǎn)評(píng)】求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，關(guān)鍵在于搞清楚復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，明確復(fù)合次數(shù)，由外層 向內(nèi)層逐層求導(dǎo)，直到關(guān)于自變量求導(dǎo)，同時(shí)應(yīng)注意不能遺漏求導(dǎo)環(huán)節(jié)并及時(shí)化簡(jiǎn) 計(jì)算結(jié)果.2、隸y_Lx_a -的導(dǎo)數(shù)Jx2 -2ax解：.nr ,、 2x-2a1 vx -2ax -(x - a) y =2，x2 -2ax 二芝_a2Jx2 _2axx2 -2axx2 -2axx2 -2ax*-2洶2'_ a2、x2 -2axy(x2 -2ax)2【點(diǎn)評(píng)】本題練習(xí)商的導(dǎo)數(shù)和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).求導(dǎo)數(shù)后要

8、予以化簡(jiǎn)整理.3、求 y = sin 4x + cos 4x 的導(dǎo)數(shù).【解y sin x +cos x (sin x + cos x) 2sin cos x 1sin 2 x2= 11 (1 cos 4 x) = 3 +工cos 4 x. v' = sin 4 x.444【解法二】y' = (sin4x)'+ (cos4 x)' = 4 sin3 x(sinx)' + 4 cos3x(cosx)'=4 sin 3x cos x+4 cos 3x ( sin x) = 4 sin x cos x (sin 2 x cos 2x)=2 sin 2 x

9、 cos 2 x= sin 4 x【點(diǎn)評(píng)】解法一是先化簡(jiǎn)變形，簡(jiǎn)化求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，要注意變形準(zhǔn)確.解法二是利用復(fù)合 函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，應(yīng)注意不漏步.4、曲線y =x (x +1) (2x)有兩條平彳1寸直線 y =x的切線，求此二切線之間 的距離.【解】y =-x 3 +x 2+2 xy' =- 3 x 2 + 2 x +2令 y' = 1 即 3 x2 2 x -1 = 0,解得 x = 1 或 x = 1 .3一一，、，-一 114于是切點(diǎn)為 P (1,2),Q(),327過點(diǎn)P的切線方程為，y2 = x1即 x - y +1 = 0.1 14|十+1|顯然兩切線間的距離等十點(diǎn)Q到此

10、切線的距離，故所求距離為3三_ =27四、課 堂小 結(jié)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，要注意分析復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，引入中間變量，將復(fù)合函數(shù)分解成為較簡(jiǎn)單的函 數(shù)，然后再用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)；復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基本步驟是：分解一一求導(dǎo)一一相乘一一回代(11)作業(yè)布置：教科書P18A3,4(6),8,B3練習(xí)與測(cè)試：1 .填空：2,.2，.2、，、(1) ( x ,_( )(x +1)-x( ).(1 + x ),_( )sinx-"x )()(1)(2)22(2) ()2x 十 1(x +1)2sin x4sin x a - xx+212 .求 卜列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y= (2)y= 2- (3)y=ta

11、nx (4)y=a + x3x1 - cosx3 .判斷卜列求導(dǎo)是否止確，如果小止確，加以改正2/1 + cosx、. 2x(1 +cosx)+ x sin x(2) 一2xx1 -x24 .求y= L/一的導(dǎo)數(shù).sin x4 -x3 5 .求y=-的導(dǎo)數(shù).x cosx6.求函數(shù)y=(2x2- 3) J +x2的導(dǎo)數(shù).參考答案：1 . .( _x_x'(x2 +1) x(x2 +1)' _ (1)(x2 +1) x(2x) 'x2+1，(x2+1)2(x2+1)2s ,1一一x2、, (1 +x2)'2sin x (1 +x2)(2sin x)(2) () 一2

12、2sin x(2sin x)22、2x 2sinx-(1 x )(2cosx) (4x)sinx-(1 x )(2cosx)4sin2 x4sin2 x2.y，=(f，Ja-x)a+x)-(a2-x)(a + x)a x(a x)2_ (a - x) _ (a _ x) _ 2a(a x)2 (a x)2(2)y二（x 2 .-)3x2(x 2) (3x2) -(x 2)(3x2)一 2 2(3x )_ 3x2 -(x 2)(6x)-3x2 -12x x 49x4_9x4- 3x3(3)y ' =(tanx)=(sin x) cosx(sin x) cosx - sin x(cosx)

13、(cosx)2cos x sin x 1222 =sec xcos x cos x(4)y '=(-1)'1 - cosx1 (1 - cosx) -1 (1 - cosx)(1 - cosx)20(1 - cosx) -sinx _ sinx212(1 - cosx) (1 - cosx)3.不正確，分母未平方，分子上正負(fù)號(hào)弄錯(cuò)1 cosx、(1 cosx) x2 二(1 cosx)(x2)/ 2x2(x )xsin x 2cosx 23x11=(1x2)'sinx (1X2)nx)'.y2sin x(sin x)2、_ - 2xsin x - (1 - x

14、)cosxsin2 x5.y, =(jpl), = (一X)X2 cosx-(4-2x3)(x28sxy x cosx(x cosx)2232、-3x x cosx -(4 - x )(2xcosx - x sin x)二42x cos x425.- x cosx -8xcosx 4x sinx - x sin x二42x cos x4、.，3(4 -x )sinx -(x 8)cosx二32x cos x2、_ - 2xsin x - (1 - x )cosxsin2 x(4 - x3) x2 cosx - (4 - x3)(x2 cosx)2、2(x cosx)2232-3x x cosx - (4 - x )(2xcosx - x sin x)二42x cos x- x4 cosx -8xcosx 4x2 sin x - x5sin x二42x cos x4、 .，3_ (4 -x )sinx -(x 8) cosx一32x cos x6.分析：y可看成兩個(gè)函數(shù)的乘積，2x23可求導(dǎo)，”+ x2是復(fù)合函數(shù)，可以先算出 Jl+x2對(duì)x 的導(dǎo)數(shù).5.y '=(2x cosx)'令 y=u