數(shù)字信號(hào)的最佳接收(81)

1、1 12 23 3 一、引言一、引言 一個(gè)通信系統(tǒng)的質(zhì)量優(yōu)劣在很大程度上取決于一個(gè)通信系統(tǒng)的質(zhì)量優(yōu)劣在很大程度上取決于接收系統(tǒng)的性接收系統(tǒng)的性能能。影響信息可靠傳輸?shù)牟焕蛩貙⒅苯幼饔玫浇邮斩?，?duì)信號(hào)。影響信息可靠傳輸?shù)牟焕蛩貙⒅苯幼饔玫浇邮斩耍瑢?duì)信號(hào)接收產(chǎn)生影響。因此就涉及到接收產(chǎn)生影響。因此就涉及到最佳接收最佳接收或或信號(hào)接收最佳化信號(hào)接收最佳化的問題。的問題。 最佳接收理論，是在某個(gè)準(zhǔn)則意義下的一個(gè)相對(duì)概念，是相最佳接收理論，是在某個(gè)準(zhǔn)則意義下的一個(gè)相對(duì)概念，是相對(duì)的，而不是絕對(duì)的。對(duì)的，而不是絕對(duì)的。 最佳接收理論又稱為信號(hào)檢測理論，它涉及到的主要問題包最佳接收理論又稱為信號(hào)檢測理論

2、，它涉及到的主要問題包括兩個(gè)方面括兩個(gè)方面：（：（1 1）從噪聲中判決有用信號(hào)是否出現(xiàn)；（）從噪聲中判決有用信號(hào)是否出現(xiàn)；（2 2）從噪）從噪聲中測量有用信號(hào)的參數(shù)。聲中測量有用信號(hào)的參數(shù)。 數(shù)字通信中的統(tǒng)計(jì)判決問題是針對(duì)第一個(gè)問題，即數(shù)字通信中的統(tǒng)計(jì)判決問題是針對(duì)第一個(gè)問題，即假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)問題問題，因此又稱數(shù)字信號(hào)最佳接收。而后一問題是，因此又稱數(shù)字信號(hào)最佳接收。而后一問題是參量估值問題參量估值問題。4 4 二、二、 統(tǒng)計(jì)描述與最佳接收準(zhǔn)則統(tǒng)計(jì)描述與最佳接收準(zhǔn)則 數(shù)字信號(hào)的接收是一個(gè)統(tǒng)計(jì)判決的問題。數(shù)字信號(hào)的接收是一個(gè)統(tǒng)計(jì)判決的問題。原因：一方面，哪個(gè)信號(hào)被發(fā)送，對(duì)接收方來說是一無所知的

3、。原因：一方面，哪個(gè)信號(hào)被發(fā)送，對(duì)接收方來說是一無所知的。 另一方面，即使預(yù)知某一信號(hào)被發(fā)送了，但由于信號(hào)在傳另一方面，即使預(yù)知某一信號(hào)被發(fā)送了，但由于信號(hào)在傳輸過程中可能發(fā)生各種畸變和混入各種噪聲，也會(huì)使接收方對(duì)收輸過程中可能發(fā)生各種畸變和混入各種噪聲，也會(huì)使接收方對(duì)收到的信號(hào)產(chǎn)生懷疑。到的信號(hào)產(chǎn)生懷疑。 但是從概率論的觀點(diǎn)看，任何隨機(jī)因素總是遵循某種統(tǒng)計(jì)但是從概率論的觀點(diǎn)看，任何隨機(jī)因素總是遵循某種統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的。因此我們可以從已掌握接收波形的統(tǒng)計(jì)資料，利用統(tǒng)規(guī)律性的。因此我們可以從已掌握接收波形的統(tǒng)計(jì)資料，利用統(tǒng)計(jì)的方法，即統(tǒng)計(jì)判決法來獲得滿意的接收效果。計(jì)的方法，即統(tǒng)計(jì)判決法來獲得滿意的

4、接收效果。5 5 0 0T TS S期間，期間，k k個(gè)高斯噪聲采樣值的聯(lián)合概率密度函數(shù)個(gè)高斯噪聲采樣值的聯(lián)合概率密度函數(shù) ( (* *) )ISnXR判決規(guī)則+消消息息空空間間信信號(hào)號(hào)空空間間噪噪聲聲空空間間觀觀測測空空間間判判決決空空間間x xy yr rkiinknkknnfnfnfnnnfnf122212121exp21)().()(),.,()(6 6 高斯均值為零，噪聲統(tǒng)計(jì)平均功率高斯均值為零，噪聲統(tǒng)計(jì)平均功率 對(duì)帶限信號(hào)對(duì)帶限信號(hào)S(t)S(t)，若截止頻率為若截止頻率為f fH H，則則f fS S = 2f = 2fH H，噪聲平均功率噪聲平均功率 令令 代入（代入（* *）

5、式得：）式得：2nkiiSHkiinTfnkN12120211Hft21dttnTtnTNSTSkiiS02120)(11SSTknTnHkndttnndttnfnf020022)(1exp21)(22exp21)(7 7 當(dāng)發(fā)送信號(hào)為當(dāng)發(fā)送信號(hào)為S Si i(t)(t)，i i1 1，2 2，,m,m，時(shí)，接收信號(hào)時(shí)，接收信號(hào) y(t) = S i(t)+ n(t) 可得可得y(t)y(t)的條件概率密度函數(shù)為：的條件概率密度函數(shù)為： 其中其中 i i1 1，2 2，,m,m。 n n0 0= =n n2 2/ /f fH H為單位頻率上的噪聲功率，即噪聲功率譜密度。為單位頻率上的噪聲功率，

6、即噪聲功率譜密度。 可以證明，只要知道了發(fā)送信號(hào)可以證明，只要知道了發(fā)送信號(hào)s si i的先驗(yàn)概率分布的先驗(yàn)概率分布P(s)P(s)和和出現(xiàn)信號(hào)出現(xiàn)信號(hào)s si i的條件下的的條件下的y y的概率密度，則數(shù)字信號(hào)在一定判決準(zhǔn)的概率密度，則數(shù)字信號(hào)在一定判決準(zhǔn)則下可以得到最佳接收。則下可以得到最佳接收。STiknSidttstynyf020)()(1exp)2(1)(8 8 ：在數(shù)字通信中，最直觀、最合理的準(zhǔn)則是：在數(shù)字通信中，最直觀、最合理的準(zhǔn)則是“最小錯(cuò)誤概率最小錯(cuò)誤概率”。 對(duì)二進(jìn)制信號(hào)，設(shè)在一個(gè)碼元周期內(nèi)：對(duì)二進(jìn)制信號(hào)，設(shè)在一個(gè)碼元周期內(nèi)：S S1 1(t)=a(t)=a1 1，S S2

7、 2(t)=a(t)=a2 2，則則 , , i= 1,2i= 1,2SiTiknSdtatxnxf020)(1exp21)(f fS S1 1( (x x) )f fS S2 2( (x x) )V VT Ta a1 1a a2 2x xy(t) - ai9 9 設(shè)發(fā)送設(shè)發(fā)送s s1 1和和s s2 2的先驗(yàn)概率分別為的先驗(yàn)概率分別為P(sP(s1 1) )、P(sP(s2 2) )若判決門限設(shè)為若判決門限設(shè)為V VT T 發(fā)發(fā)S S1 1判為判為S S2 2的概率的概率 發(fā)發(fā)S S2 2判為判為S S1 1的概率的概率 則總的錯(cuò)判的概率為：則總的錯(cuò)判的概率為： 求使求使P Pe e達(dá)到最小

8、的達(dá)到最小的V VT T，令令 理論上，求解上式，可獲得理論上，求解上式，可獲得 最佳的判決門限最佳的判決門限。 TVSSdxxfSP)()(112TVSSdxxfSP)()(221)()()()(122121SPSPSPSPPSSe0)()()()(, 02121TSTSTeVfSPVfSPVP得：1010 利用似然判決法，可不必求解利用似然判決法，可不必求解V VT T而獲得最佳判決結(jié)果。而獲得最佳判決結(jié)果。 稱稱 為為： 為為。 當(dāng)當(dāng)y yi i V VT T時(shí)，必有：時(shí)，必有： 由此可得另一判決準(zhǔn)則：由此可得另一判決準(zhǔn)則： 若若 ，判為，判為S S1 1 ，反之，判為反之，判為S S2

9、 2 每一觀測值都可用上述準(zhǔn)則來判決，該準(zhǔn)則稱為每一觀測值都可用上述準(zhǔn)則來判決，該準(zhǔn)則稱為。若若P(sP(s1 1)=P(s)=P(s2 2),),則上式變?yōu)椋簞t上式變?yōu)椋?即判決規(guī)則成為比較即判決規(guī)則成為比較f fs1s1(y)(y)及及f fs2s2(y)(y)哪個(gè)大就判為哪個(gè)，常稱為哪個(gè)大就判為哪個(gè)，常稱為，它是似然比準(zhǔn)則的特例。，它是似然比準(zhǔn)則的特例。)()(21xfxfSS，)()(21xfxfSS)()()()(1221spspyfyfSS)()()()(1221spspVfVfTSTS。；反之，判為則判為s2 s1, 1)()(21yfyfss11 11 2 2 還可根據(jù)聯(lián)合概率

10、密度用下述準(zhǔn)則來判決：還可根據(jù)聯(lián)合概率密度用下述準(zhǔn)則來判決： 由聯(lián)合概率定理：由聯(lián)合概率定理：P(P(s si i) )f fsisi(y)=P(y)(y)=P(y)f fy y( (s si i) ) 即：即： f fy y(s(s1 1)=P)=P(s(s1 1)f)fs1s1(y)/P(y) , (y)/P(y) , f fy y(s(s2 2)=P)=P(s(s2 2)f)fs2s2(y)/P(y)(y)/P(y) 得：得： f fy y(s(s1 1) ) f fy y(s(s2 2),),判為判為r1r1； f fy y(s(s1 1) bKT bKTS S 判為判為s s1 1

11、，否否則判為則判為s s2 2，比較完后立刻將積分器的積分值清除，故積分器實(shí)為比較完后立刻將積分器的積分值清除，故積分器實(shí)為積分清除器。比較器是在時(shí)刻積分清除器。比較器是在時(shí)刻t=Tt=T進(jìn)行比較的，可以理解為抽樣進(jìn)行比較的，可以理解為抽樣判決電路。判決電路。 （3 3）位同步信號(hào)位同步信號(hào)cp (t) cp (t) 由位同步器提取，位同步由位同步器提取，位同步器輸入信號(hào)來自器輸入信號(hào)來自y(t)y(t)或乘法器?；虺朔ㄆ?。 1616 設(shè)二進(jìn)制設(shè)二進(jìn)制FSKFSK信號(hào)最佳接收機(jī)的結(jié)構(gòu)如圖信號(hào)最佳接收機(jī)的結(jié)構(gòu)如圖, , 設(shè)信號(hào)先驗(yàn)等概設(shè)信號(hào)先驗(yàn)等概 其中其中: : s s1 1(t) = (t)

12、 = AsinAsin 1 1t, 0 t, 0 t t T ; T ; s s2 2(t) = (t) = AsinAsin 2 2t, 0 t, 0 t t T ; T ; 且且 2 2 = 4 = 4 / /T T， 1 1 =2 =2 2 2 畫出圖中畫出圖中a a，b b，c c和和d d中各點(diǎn)的波形。中各點(diǎn)的波形。 XX積分積分比較y(t)s1(t)s2(t)outputabcd1717 T2T3T0y(t)abcs1(t)s2(t)s2(t)d1818 最佳接收機(jī)可以按照最佳接收機(jī)可以按照“似然比準(zhǔn)則似然比準(zhǔn)則”或或“最大似然準(zhǔn)則最大似然準(zhǔn)則”構(gòu)成。經(jīng)構(gòu)成。經(jīng)證明可知，這樣的接收

13、機(jī)都能達(dá)到證明可知，這樣的接收機(jī)都能達(dá)到“最小差錯(cuò)概率最小差錯(cuò)概率”的極限。這個(gè)極的極限。這個(gè)極限有多少？限有多少？ 這個(gè)問題就是來確定最佳接收機(jī)的性能的問題。我們可以通過求系這個(gè)問題就是來確定最佳接收機(jī)的性能的問題。我們可以通過求系統(tǒng)總的誤碼率來確定。統(tǒng)總的誤碼率來確定。 即：即：P Pe e=P(s=P(s1 1)Q)Q1 1+P(s+P(s2 2)Q)Q2 2 其中，其中，Q Q1 1、Q Q2 2分別為發(fā)送分別為發(fā)送s s1 1、s s2 2的錯(cuò)誤概率。的錯(cuò)誤概率。1919 從二進(jìn)制最佳接收性能的分析可知，誤碼率從二進(jìn)制最佳接收性能的分析可知，誤碼率PePe與先驗(yàn)概率有關(guān)外，與先驗(yàn)概率

14、有關(guān)外，還與信號(hào)的能量及相關(guān)系數(shù)有關(guān)。還與信號(hào)的能量及相關(guān)系數(shù)有關(guān)。 令：令： 是一個(gè)高斯隨機(jī)變量。是一個(gè)高斯隨機(jī)變量。 求得其方差為：求得其方差為： 從而可以得到：從而可以得到： Tdttststn021)()()(TdttstsnD02210)()(2dttstssPsPdxeaPsPTaxs2201120221)()(21)()(ln2na 21)()(22其中2020 同樣可得：同樣可得： dttstssPsPdxeaPsPTaxs2201120212)()(21)()(ln2na 21) ()(22其中dttstssPsPdxesPdxesPPTaxaxe22011202221)()

15、(21)()(ln2na 2)(2)(2222其中于是有：2121 或者：或者： TsPsPTTsPsPTbzbzdttstsndttstsnbdttstsndttstsnxzdzesPdzesPPe02210)()(0221002210)()(022102221)()(212ln)()(21a- )()(212ln)()(21a-b 21)(21)(122122其中：2222 PePe與先驗(yàn)概率的關(guān)系：與先驗(yàn)概率的關(guān)系： 1 1）當(dāng)）當(dāng) ，即即P(sP(s1 1)=0)=0而而P(sP(s2 2)=1)=1，或或P(sP(s2 2)=0)=0而而P(sP(s1 1)=1)=1時(shí)，時(shí)，PePe

16、=0=0，意味著接收端預(yù)先知道發(fā)送的是什么，故不會(huì)有錯(cuò)誤發(fā)生。意味著接收端預(yù)先知道發(fā)送的是什么，故不會(huì)有錯(cuò)誤發(fā)生。 2 2）當(dāng)）當(dāng) 即先驗(yàn)等概時(shí)，即先驗(yàn)等概時(shí)，PePe僅與兩信號(hào)之差的能量及僅與兩信號(hào)之差的能量及n n0 0有關(guān)。有關(guān)。 3 3）當(dāng)）當(dāng) 此時(shí)的此時(shí)的PePe將比先驗(yàn)等概時(shí)略小。將比先驗(yàn)等概時(shí)略小。 或0)()(21sPsP, 1)()(21sPsP, 1 . 010)()(21或sPsP2323 從二進(jìn)制最佳接收性能的分析可知，誤碼率從二進(jìn)制最佳接收性能的分析可知，誤碼率PePe與先驗(yàn)概率有關(guān)外，與先驗(yàn)概率有關(guān)外，還與信號(hào)的能量及相關(guān)系數(shù)有關(guān)。還與信號(hào)的能量及相關(guān)系數(shù)有關(guān)。 p

17、 pe e = Q(A) = Q(A) 令：令： 為為S S1 1(t)(t)和和S S2 2(t)(t)的相關(guān)系數(shù)。的相關(guān)系數(shù)。 當(dāng)信號(hào)當(dāng)信號(hào)s s1 1(t)(t)與與s s2 2(t)(t)在在00，T Ts s 內(nèi)等能量（內(nèi)等能量（E E1 1=E=E2 2= =E Eb b) ) 則：則：STdttstsnA02210)()(210)1 (nEAbSTdttstsEE02121)()(102/2)1 (21 212nEerfcdzePeAz2424 1 1、分析、分析（1 1）當(dāng)）當(dāng)= -1= -1時(shí)，時(shí)，S S1 1(t)(t)和和S S2 2(t)(t)信號(hào)波形相反，有利于判決。

18、信號(hào)波形相反，有利于判決。 = -1 = -1時(shí)最佳接受形式可簡化為時(shí)最佳接受形式可簡化為 判決準(zhǔn)則為判決準(zhǔn)則為r(KTr(KTS S) 0 ) 0 判為判為s s1 1，否則判為否則判為s s2 2（2 2）當(dāng)）當(dāng)越接近于越接近于1 1時(shí)，性能越差，此時(shí)時(shí)，性能越差，此時(shí)PePe1/21/2； 當(dāng)當(dāng)= 1= 1時(shí)，時(shí)， S S1 1(t)(t)和和S S2 2(t)(t)信號(hào)波形完全相同，接收端很難信號(hào)波形完全相同，接收端很難判決，完全沒有根據(jù)來判決信號(hào)；判決，完全沒有根據(jù)來判決信號(hào)；（3 3）當(dāng)）當(dāng)= 0= 0時(shí)，兩信號(hào)正交，誤碼率比時(shí)，兩信號(hào)正交，誤碼率比= -1= -1差，但比差，但比

19、= = 1 1好。好。（見課本（見課本P262P262及圖及圖8 87 7）y(t) s1（t） cp(t) 抽樣判決抽樣判決 積積 分分r(t)2525 2 2、2 2PSKPSK信號(hào)的最佳接收機(jī)信號(hào)的最佳接收機(jī) 因?yàn)榭梢詮慕邮招盘?hào)時(shí)提取相干載波，故每個(gè)碼元內(nèi)接收信因?yàn)榭梢詮慕邮招盘?hào)時(shí)提取相干載波，故每個(gè)碼元內(nèi)接收信號(hào)的相位是確知的，可認(rèn)為號(hào)的相位是確知的，可認(rèn)為2 2PSKPSK為確知信號(hào)。同理也可以認(rèn)為為確知信號(hào)。同理也可以認(rèn)為2 2ASKASK、2FSK2FSK為確知信號(hào)。為確知信號(hào)。對(duì)于對(duì)于2 2PSKPSK信號(hào)，信號(hào)，s s1 1(t) =(t) = cos cosC C(t)(t)，s s2 2(t) = -(t) = -coscosC C(t) (t) = = -1 -1 最佳接收機(jī)為最佳接收機(jī)為與與2 2PSKPSK相干接收機(jī)相干接收機(jī) 比較：比較： y(t) x(t) r(t) cos0(t) cp(t) 抽樣判決 積 分載