一類(lèi)階段結(jié)構(gòu)自食單種群模型

1、一類(lèi)階段結(jié)構(gòu)自食單種群模型本文介紹了階段結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)研究的背景及現(xiàn)狀，展示了兩階段結(jié)構(gòu)種群模型 及正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性及漸近穩(wěn)定性；討論了具有兩個(gè)及三個(gè)年齡階段的單種群自 食模型及模型平衡點(diǎn)的性態(tài)；最后對(duì)階段結(jié)構(gòu)相互作用模型進(jìn)行了簡(jiǎn)單的歸納總 結(jié)。其中成年種群的死亡率遵循logistic 型，基于logistic 型分析兩階段種群 的成長(zhǎng)過(guò)程。利用方程研究了正平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性以及Hopf分支現(xiàn)象和全局漸近穩(wěn)定性。把魚(yú)群的成長(zhǎng)作為自食模型研究，討論了時(shí)間開(kāi)發(fā)、非時(shí)間開(kāi)發(fā)、 自食系統(tǒng)及其開(kāi)發(fā)模型的正平衡點(diǎn)局部穩(wěn)定性，全局穩(wěn)定性等。本文講述了這一類(lèi)建模思想和要研究的問(wèn)題。關(guān)鍵詞：階段結(jié)構(gòu)種群模型，自食，

2、時(shí)滯，相互作用生態(tài)系統(tǒng)是指在自然界的一定空間內(nèi)，生物和環(huán)境構(gòu)成的統(tǒng)一整體，在這 個(gè)統(tǒng)一整體當(dāng)中，生物與環(huán)境間的相互影響、相互制約，并在一定時(shí)間內(nèi)處于相 對(duì)穩(wěn)定的動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)。在研究生態(tài)系統(tǒng)中，我們常常用到種群動(dòng)力學(xué)的知識(shí)， 而種群動(dòng)力學(xué)是基于數(shù)學(xué)、生物學(xué)、生命科學(xué)和醫(yī)學(xué)等多學(xué)科的交融和最新的理 論和研究方法，通過(guò)種群動(dòng)力學(xué)研究具有階段結(jié)構(gòu)的單種群自食模型。許多物種 的增長(zhǎng)，都會(huì)有個(gè)成長(zhǎng)和發(fā)育的過(guò)程，例如從蛹到成蟲(chóng)，再?gòu)挠啄甑匠赡?，從?成熟到成熟，再?gòu)某赡甑嚼夏甑?。并且在其成長(zhǎng)的每個(gè)階段都表現(xiàn)出了不同的特 征。如幼年種群沒(méi)有生育能力、捕食能力，生存能力也比較弱，常具有某些幼年 病，非常容易死亡

3、，很難作大區(qū)域性的遷移等等；而成年種群則不同，不僅具有 生育能力、捕食能力，并且生存能力較強(qiáng)，有能力作大區(qū)域性的遷移，有時(shí)也有 某些成年種群特有的疾病等等。也就是說(shuō)，物種在他們的各個(gè)生命階段的生理機(jī) 能（出生率、死亡率、捕食能力等）的表現(xiàn)中，種群差別比較顯著。此外，成年物 種和幼年物種之間并不是無(wú)關(guān)聯(lián)的， 常常還有個(gè)相互作用的功能。這些條件都在 一定程度上影響著兩階段生物種群的持續(xù)生存和絕滅。所以，考慮具有階段結(jié)構(gòu) 的種群模型是十分具有實(shí)際意義。例如，青蛙種群在成長(zhǎng)過(guò)程中，可分兩個(gè)階段： 蝌蚪與成蛙。蝌蚪只能在水里生存，但是成蛙就既可以在水里又可以在陸地生存。 水環(huán)境的污染對(duì)蝌蚪的生存影響非常

4、大，而直接作用到對(duì)成蛙生存的影響就很 小。昆蟲(chóng)，食物的豐富與否直接影響成蛙的生存質(zhì)量， 可是對(duì)蝌蚪的直接影響就 反而很小。因此，把青蛙種群增長(zhǎng)的做建模研究的過(guò)程中，考慮分階段結(jié)構(gòu)的青 蛙種群模型就要準(zhǔn)確于把蝌蚪、成蛙看成一體的研究過(guò)程更為優(yōu)良， 更加具有實(shí)蟲(chóng)(蛹與成蟲(chóng)) 刻t時(shí)的密度Ni(t) B(t) Dt) W(t),(1)際意義。兩(三)階段結(jié)構(gòu)種群模型成長(zhǎng)的研究，在 20世紀(jì)80年代已開(kāi)始被人們 所重視。第一章階段結(jié)構(gòu)種群模型我們?cè)诖宋闹?，用種群動(dòng)力學(xué)的方法來(lái)建立起我們需要分析的兩階段結(jié)構(gòu)的 種群模型。為了簡(jiǎn)單方便，假設(shè)所研究的物種都可以可分為兩個(gè)階段：幼蟲(chóng)與成 o用Ni(t)代表幼蟲(chóng)

5、(蛹)在時(shí)刻t時(shí)的密度；用Nm(t)代表成蟲(chóng)在時(shí) '則建立階段結(jié)構(gòu)種群動(dòng)力學(xué)模型：Nm(t) a(t)W(t) Dm(t),其中,B(t)和成蟲(chóng)在時(shí)刻轉(zhuǎn)化率；a(t)為在時(shí)刻t時(shí)幼蟲(chóng)(蛹)的出生率；Di(t)和Dm(t)分別表示幼蟲(chóng)(蛹) t時(shí)的死亡率；W(t)則表示在時(shí)刻t時(shí)由幼蟲(chóng)(蛹)轉(zhuǎn)化到成蟲(chóng)的 則表示從幼蟲(chóng)轉(zhuǎn)化到成蟲(chóng)轉(zhuǎn)化成功的概率。假定死亡率按Malthus規(guī)律，那么記Di (t)(t)Ni(t),Dm(t) (t)Nm(t).1.1時(shí)滯模型將模型(1)改寫(xiě)為時(shí)滯型，則有Ni(t) B(t) (t)Ni(t) B(t (t)P(t)(1 土),dtNm(t) B(t (t)P(

6、t)(1 務(wù))a(t)(t)Nm(t).2dt其中P(t)表示在時(shí)刻t- (t)時(shí)出生的幼蟲(chóng)活到年齡t時(shí)的概率。而幼蟲(chóng)的死亡率 表示為 (t)，即dN(t)dt(t)Ni(t)所以在此假定出生率為P(t)it (i)(s)dsMalthus規(guī)律，有B(t)= Xm(t)，同時(shí)假定成熟期(t)為常定的,那么有(t)con st.得到階段結(jié)構(gòu)種群模型為Xi(t)Xm(t)Xi(t) e Xm(t ),Xm(t) e Xm(t ) Xm(t).在實(shí)際過(guò)程中，我們有這樣的事實(shí)，即成蟲(chóng)衰老而死亡比較快，死亡率改寫(xiě)為 xm(t)，得到改進(jìn)模型Xi(t)Xm(t)Xi(t) e Xm(t ),2xm(t)

7、e Xm(t ) Xm(t).在模型(2)中，我們想到種群的成熟周期(t)為時(shí)間t的函數(shù)，種群的成熟周期應(yīng)與種群的總密度有關(guān)，是(Z)，其中 zXi(t)Xm(t)，有模型Xi(t)Xm(t) X(t) e (Z)Xm(t (z),Xm(t)e Xm(t(z)xm(t),Xi(t)i (t)0, Xm(t)m(t)0,Mt0.其中 0m(Z)M , mlim (z),z 0m lim (z)。文模型的持久性與正平X衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性，文8,9模型正平衡點(diǎn)的存在性和局部漸近穩(wěn)定性1.2非時(shí)滯模型我們?nèi)匀粡哪Ｐ?1)中考慮，還是假定出生率滿足Malthus規(guī)律，有B(t)(t)xm(t)，死亡率

8、滿足Logistic規(guī)律，有Di(t)(t)Xi(t)(t)x2(t),Dm(t)(t)Xm(t)(t)x；(t)且假設(shè)成熟周期為。那么，單位時(shí)間內(nèi)由幼蟲(chóng)轉(zhuǎn)變到成蟲(chóng)的轉(zhuǎn)化率為1/ (t)，得到模型(1)變?yōu)?Xi(t)(t)Xm(t)(t)Xi(t)(t)Xi(t) (t)Xm(t),Xm(t) (t)Xi (t)(t)Xm(t)億離.其中(t) 1 / (t)表示在單位時(shí)間內(nèi)由幼蟲(chóng)轉(zhuǎn)變?yōu)槌上x(chóng)的數(shù)量。得到自治系統(tǒng)為Xi axm XXiX2XmXiXm2Xm(7)其中參數(shù)都是非負(fù)常數(shù)。觀察后可以得到模型(7)和(5)都有相似的性質(zhì)：不存在極限環(huán)，在一定的條件下，可以得出具有唯一正平衡點(diǎn)的全 局漸

9、近穩(wěn)定。而在模型 中，如果所有的系數(shù) 、(t)與(t)都有正上、下界的周期函數(shù)，則(6)存在一定條件下具有唯一正周期解的全 局漸近穩(wěn)定。上述的單種群階段結(jié)構(gòu)種群模型，都是在一般環(huán)境條件下進(jìn)行研究。此章節(jié) 我們則要討論環(huán)境條件較為復(fù)雜的種群模型，比如，有人類(lèi)的開(kāi)發(fā)活動(dòng)；養(yǎng)殖與收成；區(qū)域環(huán)境中種群的擴(kuò)散活動(dòng)；等情況中單種群階段結(jié)構(gòu)模型的建模和研究。1.3階段結(jié)構(gòu)擴(kuò)散模型我們可以知道，青蛙在兩個(gè)區(qū)域環(huán)境即水域和陸地中生存成長(zhǎng)，可是蝌蚪只 能在水域中生存，成蛙則能在水、陸兩個(gè)區(qū)域環(huán)境上同時(shí)生存成長(zhǎng)。 我們得到下 面兩個(gè)模型：(1) 具有階段結(jié)構(gòu)的非時(shí)間自治成蟲(chóng)擴(kuò)散模型2XiXm x X XXmXi X

10、mXm Dm Xm)(8)ymmm D2 (Xmm)在時(shí)刻t，Xi(t)，Xm(t)分別表示蝌蚪和成蛙在水中的數(shù)量(密度)；在t時(shí)刻，“ 表示在陸上成蛙的數(shù)量(密度)；隨著成蛙在水域和陸地兩個(gè)區(qū)域的擴(kuò)散，D1和D2 表示擴(kuò)散系數(shù)，在陸地成蛙有更豐富的食物，得到1 ，1 ,同時(shí)崔景安討論 了相關(guān)擴(kuò)散的系統(tǒng)(8)的持久性和正平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。我們相信對(duì)于非自治系統(tǒng)，即（8）中的所有系數(shù)、1 、 !、D1和D2均為時(shí)間t的函 數(shù)時(shí)，以上研究方法可以類(lèi)似展開(kāi)。（2）具有階段結(jié)構(gòu)和時(shí)滯自治成蟲(chóng)擴(kuò)散模型。根據(jù)同樣的實(shí)際背景（8）我們可 以用時(shí)滯模型建立得到Xi(t)Xm(t)x(t) eXm(t)Xm(

11、t)eXm (t)X；(t)D1 ( ymXm )(9)y；(t)1y；(t)2y；(t)D2(Xmym)1.4階段結(jié)構(gòu)開(kāi)發(fā)模型開(kāi)發(fā)模型往往是作為人們研究生物經(jīng)濟(jì)學(xué)的理論依據(jù)。例如，人們對(duì)魚(yú)類(lèi)的 養(yǎng)殖工作，常常要考慮如何放養(yǎng)魚(yú)苗，如何進(jìn)行成魚(yú)的收獲使得經(jīng)濟(jì)收入最好。 有如下模型。（1）時(shí)間開(kāi)發(fā)模型Xi(t)Xm(t)Xi(t)e Xm(t) F2xm(t) eXm(t)Xm(t) H其中F表示常數(shù)放養(yǎng)率，H代表常數(shù)收獲率。宋新宇研究模型中，探討持久性、 正平衡點(diǎn)的存在、唯一和全局吸引性，而且討論了“最優(yōu)收獲策略”和“最優(yōu)收 獲努力量”。（2）非時(shí)間開(kāi)發(fā)模型XiXmXiXi2XiXmXiXmX；

12、H(11)其中系數(shù)、F和H均為正常數(shù)。劉會(huì)民研究（11）中，得出（11）的正平衡點(diǎn)存在、 量。唯一和全局漸近穩(wěn)定性,最優(yōu)收獲策略和最優(yōu)收獲努力第二章階段結(jié)構(gòu)自食單種群模型2.1兩階段自食單種群模型在大自然中存在這樣一種生物種群，其成年種群會(huì)吃自己的幼年種群或蛹 這類(lèi)模型為Xi(t)Xm(t) Xi(t) e Xm(t )2 (t)Xm(t)(伐)2Xm(t) e Xm(t)Xm(t)iXi (t)Xm(t)在單位時(shí)間內(nèi)，項(xiàng)2Xi(t)Xm(t)為幼蟲(chóng)被成蟲(chóng)吃掉的數(shù)量，第二個(gè)方程中的項(xiàng)lXi(t)Xm(t)為幼蟲(chóng)被成蟲(chóng)吃掉之后減少的死亡率。 因?yàn)槌上x(chóng)吃掉幼蟲(chóng)之后使得食物的豐富度增加，加強(qiáng)了成蟲(chóng)的

13、體質(zhì)，縮減了死亡率為，可設(shè)單位時(shí)間內(nèi)減少了必乂皿的數(shù)量。此類(lèi)自食系統(tǒng)的模型則可改寫(xiě)為(13)2Xm(t)eXm(t) Xm(t) HXi(t) Xm(t)Xi (t) e Xm(t) X (t)Xm(t) F而 1 2在第一個(gè)方程中的項(xiàng)2Xi (t)Xm(t)的意義與模型(12)相同，表示在單 位時(shí)間內(nèi)被成蟲(chóng)吃掉的幼蟲(chóng)數(shù)量，而在第一個(gè)方程中的項(xiàng) 必牝坎皿則代表成蟲(chóng) 吃了幼蟲(chóng)之后增加 了成蟲(chóng)的生育能力，在單位時(shí) 間內(nèi)增加生育幼蟲(chóng) 量為1Xi(t)Xm(t)。在模型(13)中幼蟲(chóng)的投放量為常數(shù)F，成蟲(chóng)的常數(shù)收獲量則為Ho 吳建宏探討了模型(12)正平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性和 Hopf分支現(xiàn)象，高淑京則

14、探討了模型(13)正平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性、全局漸近穩(wěn)定性、最優(yōu)收獲策略和最優(yōu) 收獲努力量。2.2三階段自食單種群模型(1)相關(guān)預(yù)備知識(shí) 考慮如下模型：dxMt)dtdx2 (t)ax3(t)bX1 (t) cx1 (t)dtcx1 (t) dx2(t) ex2(t)(14)響 ex2(t)dtfX3(t)2X3(t)EX3(t)捲(0)0,X2(0)0出(0)0在生態(tài)學(xué)上的易義，本文將限定在 R3上考慮。引理1.1.R3是系統(tǒng)(14)的正不變集。證明：由于txjt)x1(O)exp oax3(t)bx/t)cx<t)dt0tx2 (t)x2 (0) exp ocx1(t)dx2(t)ex?

15、(t)dt0(15)t2X3(t) X3(0)exp 0ex2(t) fx3(t)X3(t) Ex3(t)dt 0結(jié)論顯然成立，引理2.1證明完畢。引理1.2.系統(tǒng)(14)的解最終有界。證明：作函數(shù)V(t)xjt) X2(t) X3(t)沿系統(tǒng)(14)的解求導(dǎo)，得到' ' ' ' 2V (t)X1(t)X2(t)X3(t) = ax3(t)bx1(t)dx2(t)(t)X3(t)Ex3(t)取一正常數(shù)min b,d, fV'(t)V(a E)X3(t)x；(t)得，存在一正數(shù)L使V'(t)V L由比較原理，有V(t)-(V(0)L)e( 

16、6; 丄(t)所以，系統(tǒng)(14)的所有解都是最終有界。證明完畢。引理1.3.若合作系統(tǒng)x H(xJ,Hi(0) 0,i=1,2,3.,n 滿足下面的條件：(1)對(duì)X >0, DH(x)是不可約的； 當(dāng) X > Y> 0 時(shí)，DH(x) < DH(y);(3) 系統(tǒng)對(duì)所有的解都是有界的；則可得到原點(diǎn)為全局漸近穩(wěn)定或存在惟一的正平衡點(diǎn)且在Rn 0的所有軌跡線趨向于它。其中DH(x)為XiH(Xi), Hi(0) 0,i=1,2,3., n的變分矩陣(2)平衡點(diǎn)及局部穩(wěn)定性的分析下面我們討論系統(tǒng)(14)的平衡點(diǎn)及其局部穩(wěn)定性。 系統(tǒng)(14)的平衡點(diǎn)應(yīng)該是如下代數(shù)方程的解ax3

17、(t) bxMt) cxdt)0(16)cx1 (t) dx2(t) ex2(t)0ex2(t)(t)x；(t) Ex3(t) 0得，當(dāng)ace>(f+E)(b+c)(d+e) 時(shí)，系統(tǒng)(14)會(huì)有兩個(gè)非負(fù)平衡點(diǎn)0(0,0,0)，* * * *E (Xi xh)，且其中,XiX3Kb cac *x3 ,x3(b c)(d e)ace (b c)(d e)( f E)(b c)(d e)定理 2.1.如果 ace>(f+E)(b+c)(d+e)，那么有(1)平衡點(diǎn)0(0,0,0)是不穩(wěn)定的； 平衡點(diǎn)E*(x；,x；,x；)是局部漸近穩(wěn)定的。證明 系統(tǒng)(1.1)的變分矩陣為(b c) 0

18、aDH(X1,X2,X3)e(d e)(17)(f E) 2 X3(1)對(duì)于平衡點(diǎn)0(0,0,0)，系統(tǒng)(14)的特征方程是b c 0acde 000ef E3 P1 2P2即其中,R =(b+c)+(d+e)+(E+f)P =(b+c)(E+f)+(d+e)(E+f)+(b+c)(d+e)R =(b+c)(d+e)(E+f)-ace當(dāng) ace>(f+E)(b+c)(d+e)時(shí)，F(xiàn)3<0,由 Hurwitz 判斷依據(jù)，平衡點(diǎn) 0(0,0,0) 是不穩(wěn)定的； 對(duì)于平衡點(diǎn)E*(x；,x；,x；)系統(tǒng)(14)的特征方程是b c 0acd e000ef E 2 x3其中，Q1 (b c)

19、(d e) (E f) 2x3Q2(b c)(E f 2 x3) (d e)(E f 2 x3) (b c)(d e)Q3 (b c)(d e)(E f 2 x3) ace當(dāng) ace>(f+E)(b+c)(d+e)時(shí)，Q3 (b c)(d e)(E f) 2x；(b c)(d e)ace ace (f E)(b c)(de)0Q1Q2 Q3(b c) (d e)(Ef) 2x；*(bc)(E f 2 x；) (b c)(de)(b c)(d e)(E f 2 x； ace) 0由Hurwitz判斷依據(jù)，平衡點(diǎn)E*(xi*,x2,x；)是局部漸近穩(wěn)定的。證明完畢。(；)全局漸近穩(wěn)定性分析

20、下面考慮系統(tǒng)(14)的正平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性。定理 3.1.若 ace>(f+E)(b+c)(d+e)，那么系統(tǒng)(14)的正平衡點(diǎn) E*(x；,x；,x；) 是全局漸近穩(wěn)定的。證明容易看出，系統(tǒng)(14)為合作系統(tǒng)且其變分矩陣DH(X1,X2,X3)滿足引理1.3的條件，由引理1.2和引理1.3得到定理3.1的結(jié)論成立。證明完畢。第三章階段結(jié)構(gòu)種群相互作用模型上述中討論了種群的自食，而本章則簡(jiǎn)要討論種群的相互作用模型。在考慮 種群相互作用的過(guò)程中，也將之要分為階段來(lái)考慮。比如，在捕食模型中，有許 多種群中的捕食者只有到成蟲(chóng)才有捕食的能力。 而幼蟲(chóng)或在哺乳期種群中的捕食 者則投有捕食能力。

21、競(jìng)爭(zhēng)模型也同樣類(lèi)似，大多數(shù)種群都在成年才會(huì)有與別的種 群的競(jìng)爭(zhēng)能力。因此，總體來(lái)說(shuō)在種群動(dòng)力學(xué)的研究當(dāng)中，如果作更精確的要求, 則應(yīng)考慮階段結(jié)構(gòu)的種群模型。3.1非時(shí)滯階段結(jié)構(gòu)捕食模型我們討論捕食模型，若捕食者種群分階段結(jié)構(gòu)，食餌種群則不分階段結(jié)構(gòu)，成年的捕食者才有捕食食餌的能力，可建立【如下模型XiXmXXXi2 kaxmyXmXiXm2Xm(18)yy( 1aXmby)其中Xj(t), Xm(t)的意義如前，y(t)表示食餌種群在時(shí)刻t時(shí)的密度，a為成蟲(chóng)捕 食者種群捕食食餌的捕食率，k為消化系數(shù)，kaxmy是在時(shí)刻t時(shí)由于成年捕食 者捕食食餌而增加的生育能力。下面討論簡(jiǎn)單的情況，假設(shè)死亡率

22、是線性的，則(18)寫(xiě)為XiXm XiXi kaXmyXmX Xm(19)y y( i aXm by)而若是我們考慮再細(xì)微一點(diǎn)，考慮到捕食者捕食到增加生育能力有一定的滯 后時(shí)間2，捕食者種群的密度制約有一個(gè)滯后時(shí)間1，那么模型改進(jìn)為Xi(t)Xm(t) ()x(t) kaXm(t2)y(t 2)Xm(t)X(t)Xm(t)(20)y(t) y(t)( 1 aXm(t) by(t 1)陳蘭孫考慮捕食者僅靠捕食食餌種群獲得生育能力，即假設(shè) =0,模型為x(t)()N(t) kaXm(t2)y(t2)Xm(t)Xi(t)Xm(t)(21)y(t) y(t)( 1 aXm(t)by(t 1)陳蘭孫討論

23、了系統(tǒng)持久性條件、正平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定的條件以及存在唯一漸近 穩(wěn)定周期軌道的充分條件，王穩(wěn)地則討論了 (21)無(wú)時(shí)滯功能性反應(yīng)模型。模型(19)是假定捕食者種群通過(guò)捕食活動(dòng)而增加了生育能力ka Xmy，但是我們還可以考慮另外一種方法：捕食者種群通過(guò)捕食活動(dòng)，不能增長(zhǎng)生育能力，只是增加體質(zhì)減少死亡率，這時(shí)模型為XiXm()XiXmXiXmkaXmy(22)y y( 1axmby)K.G.Magnusson研究模型加上捕食者種群成蟲(chóng)的自食功能(食本種群的幼蟲(chóng))，則 模型改進(jìn)為Xi)Xia1xixXmXiXm kaXmy k1a1XiXm(23)y y( 1 axm by)而后K.G.Magnuss

24、on研究了 (23)的持久性、正平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性以及 Hopf 分支問(wèn)題。除了上述Lotka Volterra型式階段結(jié)構(gòu)捕食系統(tǒng)之外，張樹(shù)文、張玉娟、 劉兵等還討論了周期系數(shù)捕食、競(jìng)爭(zhēng)、合作等類(lèi)型的階段結(jié)構(gòu)模型持久性，周期 解存在性、唯一性和全局漸近穩(wěn)定性。3.2種群相互作用階段結(jié)構(gòu)時(shí)滯模型我們考慮最簡(jiǎn)單的則是兩種群競(jìng)爭(zhēng)與合作模型。 若其中一個(gè)種群的成年群體 與另一種群的成年群體在資源分配使用上有競(jìng)爭(zhēng)或合作關(guān)系， 幼年種群對(duì)資源需 求則非常小，競(jìng)爭(zhēng)或臺(tái)作的關(guān)系相對(duì)不明顯，那么有模型Xi(t)Xm(t)Xi(t)- e Xm(t) 址風(fēng)xm(t) eXm(t)xm(t) kXm(t)y(

25、t)y(t) y(t)( uy(t)qxm(t)其中系數(shù)k與q前后均取+(-)號(hào)表示合作(競(jìng)爭(zhēng))模型，第一個(gè)方程中的xi(t)xm(t) 代表分階段種群有自食行為，成蟲(chóng)吃本種群的幼蟲(chóng)，并且吃幼蟲(chóng)使其生育能力增 加，且 i 2(見(jiàn)前述)。張利軍與崔海峰研究了模型(24)的持久性和正平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性。如果競(jìng)爭(zhēng)的兩個(gè)種群都將其考慮為階段結(jié)構(gòu)模型，假定兩種群的成年種群之 間存在著資源的競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系，而幼年種群由于對(duì)資源的需求非常小， 不體現(xiàn)競(jìng)爭(zhēng)的 關(guān)系，模型可改寫(xiě)為Xi(t)1xm (t)1Xi (t)-1e 11Xm(t1)Xm(t)1e11Xm(t1) 1xm(t)12Xm (t)Ym(t)(25)Yi(t)2Ym(t)2Yi(t)2e 22Ym(t2)Ym(t)2e22Ym(t2)2ym(t)21Xm(t)Ym(t)其中的初始值Xm(t)1(t)，Ym(t)2(t), x(t)1(t), Yi(t)2(t), it 0,i1,2類(lèi)似地若以xi(t)與yi(t)分別記為第i個(gè)種群的幼年與成年種群在時(shí)刻t時(shí)的 密度，各成年種群均因爭(zhēng)奪資源而有競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系，各個(gè)種群的幼年之間則均沒(méi)有競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系?？紤](25)，相似的我們可以得到幾個(gè)種群階段結(jié)構(gòu)的競(jìng)爭(zhēng)模型如下ndXi(t)bie i i(t i