不定積分練習題

1、不定積分練習題一、選擇題、填空題：1>|(1 - sin2 )x =2、若/是/*(x)的原函數(shù)，則:卜"(lax)辦;=3、J sin(lii x)dx = 4、己知 6一丁 是/ (x)的一個原函數(shù)，貝ijJ / (tan x) sec2 xdx =5、在積分曲線族令中，過(1,1)點的積分曲線是丁 =6、F x) = f(x),貝ijJ fax+b)dx =;7、設7(x)dx = E + c,則=;8、設Jxf (x)dx = arcsinx+c,則J)dx =;9、"(In x) = 1 + x,則/(x) =;10、荀(x)在伍,b)內(nèi)連續(xù)，則在(凡

2、87;內(nèi)/(x);(A)必有導函數(shù)(8)必有原函數(shù)(C)必有界(。)必有極限11、| xf(x)dx = x sin x - J sin xdx,貝曠(x) =;12、若F x) = /(x)K(x) = /(x),貝ijJ/(x)&=13、 (C)(A)F(x) (6)0。) (C)嶺)+c (0F(x) + °(x) + c下列各式中正確的是：dJ f(x)dx = /(x)(B) 為f(x)dx = fxdxJ#W=/W (。)J 叭 x) = f(x) + c14、即(x) = e-、,則：f迪2公=J x(A) F c(B) hix + c (C)卜 c(O) -I

3、nx + cxx15、y/xQ-x)dx =(A) -arcsm>/x + c (B) arcsm>/x4-c (C) 2arcsin(2x-l) + c(D) arcsm(2x -l) + c16、若7*(%)在凡3上的某原函數(shù)為零，則在凡句上必有(A)x)的原函數(shù)恒等于零；(5)/(x)的不定積分恒等于零；(C)x)恒等于零；(0/(x)不恒等于零，但導函蜘3恒為零。二、計算題:行片公Q)J送=JcosG/x(4)f一半一公cosx，l + sin x5x1x - x 2dx(6) J4Sm2 v 4 dxJ cos x-sm X(10)fCOSY-S>1UVJxJ 1

4、+ Sill- X(ll)f S111A-COS v dxJ sill x + cos x(12)Jsill4 x1 + cosxdx(13)J 產(chǎn)廠J1 - sm x(16) J 4' e2x + 41 + siiix + cosx fl + sufx dx(14)也公(j)2(17)f空旦xyjl + X(期竿三公y/1 X(20)J l + x(21) J tan3xJx(19) ' , arctan xdxJ1 +x。劃懸ax(23)Jfdx (24)j/dx(25*(tanx + l)*(26)J 君篝公(27)J£Jx(28)設/(sill- x)=，求：

5、f jf(x)dxsinx J y/l-X(29)已知/(x)的一個原函數(shù)為hf x,求:x)dx答案：一、選擇題、填空題1 ->X1)(x+sinx) + c 2)-x2 + c 3)-sin(hix)-cos(liix) + c 4)etan v + c-£111a10)5 11)C 12)C 13)。14)C 15)。16)C二、計算題：1）（111卜|_（卜1,_2卜+ c 2(x-2)5)-2x 2 +3 6)F(ax+b) + c 7)-e2x + c 8)-(l-x2)2 +c 9)e，+ x+cIn sec x+5/23)2(4 sin >x + cos

6、5/x) + c9)-iaicsinx + liix1-Vl-x2sec2 x-1 +c 5)21ii|x + l| + 31n|x-2|4-c6)-hi |2 sin2 x-ll + c 7) + c 8) - (tan xy + c2 11. v hi x 3八 z .1 . z>/2 + cosxx+ c 10) aictan(sin x) + = m(-=) + c20 V2-cosx、1 1/ 乃、 /乃 J11)(sin x - cos x) - -In sec(x -) + tan(x - -+ c 12)-(x-isin 2x) - - sin3 x+c 13)tan x

7、 + -= aictan(應 tan x) + c223214) -liix + lii|l-x) + c| 15)2J1- arcsin fx - 4x+ c 1 16)- arctan-hi x+- ln(e2r + 4) + c 17)2 J1 +a aictan y/x-21n yfx + >/+x) + ccosx-/2cosx+V219)x arctan x ln(l + /)一 ； (aictan x)2 + c 20) ； In? (1 + /)+ c 21)； tan2 x + lii |cos x 22) hi Jl + e2x - ex + c 23)-xcotx+

8、ln |sin x + - hi |csc x-cot x + c133124)-(x-1)-96 - -(x-1)-97 - -(x-1)-98-(x-IL + c 25)/' tanx+c“、 arctan x 1 z x-» 1, x226)(aictan x) + - In7 + cx 22 l + x27)-e2x aictan x- - ex- arctan ex + c 22228) - 2 arcsin « - y/l-x + 2yx + c29)2 In x-hi2 x+c高等數(shù)學測試題（三）中值定理、導數(shù)應用部分一、選擇題（每小題4分，共20分）

9、1、下列函數(shù)在-1,1上滿足羅爾定理條件的是（C）Ay = exBy = hi|x| C y = l-x2 D,2、曲線y = （x-l）3的拐點是（B）A（-1,8）B（1,0）C （0,-1） D（2,1）3、已知函數(shù)/（工）=（工一1）（工一2）（工一3）（工一4）,則/<x） = 0有（C）實根A 一個 B 兩個 C 三個 D 四個4、設函數(shù)在（a,b）內(nèi)可導,則在（a,b）內(nèi)（x） >0是函數(shù)/（x）在（a,b） 內(nèi)單調(diào)增的（B）A必要非充分條件B 充分非必要條件C 充要條件D 無關 條件5、如果/缶）=0/（/）>0,則A /（%）是函數(shù)/（x）的極大值 B /（

10、%）是函數(shù)/的極小值C /（七）不是函數(shù)/（X）的極值 D不能判定"/）是否為函數(shù)/ 的極值二、填空題(每小題4分，共20分)1、函數(shù)y = ln(x+l)在0,1上滿足拉格朗日定理的J二二-111122、函數(shù)/(x) = $3 一 3犬+ 9在閉區(qū)間0,4上的最大值點為x=43、函數(shù)y = x+3的單調(diào)減少區(qū)間是(-2,0)=(。,2) x4、若函數(shù)/在x = 4二階可導，則一+” (嘰r圖一S二八)5、曲線y =上的鉛直漸近線為x = -2 x+2三、解答題1、（7分）計算limd-一） 5 X ex -I府 聲 v_. ex-1-x . ex -1. ex 1用華:原式一 li

11、m= lim= lim=5 x（ex -1） I。ex + xex -1 v->° ex + ex + xex 22、（7 分）計算 limyinxxo+角單: 原 式二 lim= lini - = lim（-2A/x） = 0XT。' 1 xfO- 1XT。'耳 2Xyx13、（7分）計算lim（嗎AXT。 X風 人/Sinx、= .1. sinx解：令 ) =(尸，hiy =-hixx x,sinx hirx xcosx-smx xcosx-sinx 八匕彳 居 vliin In y = lim - = lim= lim；= 0 加以 原式.so x-m)

12、x x->o sin x xx->° x-= e° = l4、(7 分)計算Hm("'+" +)：IO 3如 人ax + bx+c- .n(ax+bx + cx)-n3解：令 y =(y , hiy = -3xn(ax + bx +cx)-n3 ax na + bx nb + cx nc , ，/-,liin In y = lim= lim= In yJabc 所 以so *t°xi0 ax + bx + cx原式二*標=加樂5、(10分)設函數(shù)/(x),g(x)在力上連續(xù)，在(,5)內(nèi)可導，且f0=f(b)=o,證明:存在

13、穴伍力)，使得r(4)+/(g)g'(g)=o證明：設F(x) = f(x)es(x),由f(x),g(x)的連續(xù)性知：F(x)在4向上連續(xù)，在Qb)內(nèi)可導，且尸=/) = 0 ,由羅爾定理知 存在我(加)，使得尸心) = 0即廣(/+/)g'(g)/=o,所以廣©+4)gG)= o證畢。*>6、(10 分)證明：當 x>0時，<111(1 +x)<x亍正明：令 /(%) = 111(1 + x)-x f fx) =-1 = <0(x>0)1+x1 + x因此 /(x)在(0,+qo)內(nèi)單調(diào)減，所以 /(x) </(0) =

14、0 ,即 lii(l+x) <x令 g(X)= hl(14-X)-(X-y),廠1+X>0U>0)因此 g(x)在(0,+oo)內(nèi)單調(diào)增,所以 g(x)>g(0) = 0,即 ln(l + x) > X-, 2*>總之當 x>0 時，< 111(1 +x)<x 證畢。7 （12分）設函數(shù)“X）在x = 0的鄰域內(nèi)具有三階導數(shù)，且lim(l + X4- .10 求 0)J'(0)J(0)(2) 求lim(l +幺立產(chǎn) io xf(x 1111(1 + X+)解：(1 )因為 lim(l + x+ )r = / , 所以 lim = 3

15、Xxx°x由于分母極限為0,所以Innlii(l + x+) = 0,即lim(x+1) = 0 .v->0x.v-M)xlim/ = 0,又因為 f(x)在x = 0連續(xù)，則 liin/(x) = /(0) = 0NT° XV-M)/,(0) = liii/(X)(0) = 0,由 11111皿1 + ' +工 = 3 得x->。% 0.v->0x111(1+x+212)x+2hin= lim= lim(l += 3, 所以.SOxx-M) xx->0 廠Hill2 = 2,即 lim" = 2,由此得 /(0)=山口/。)一八&

16、#176;)=4TO X2° 2XI。 X01nU+盤)ZW/c、f(x) - lim3 hm-S- lim9(2) lim(l + -)x=e-5 X8、(10分)設函數(shù)/(x)在開區(qū)間伍,b)內(nèi)連續(xù)，a<xL<x2<b ,試證:在開區(qū)間Qb)內(nèi)至少存在一點c,使得fja)+，j(&)=&+-f & >。冉 > °)證明：因為/(x)在內(nèi)連續(xù)，a<xt<x2<b ,所以/(x)在公工上連 續(xù)，由連續(xù)函數(shù)的最大值、最小值定理知，“刈在區(qū),七上存在最大 值M和最小值m,即在/毛上，m<f(x)<

17、;M ,所以(r1 + t2)m < /() + r/(x2) < (r1 +t2)M ,又因為 L + GO,所以m/JQH'J區(qū))KM ,由連續(xù)函數(shù)的介值定理知：存在 4+GC£(為,X,)U(4,b),使得"(演)+ "區(qū))=/«),即't+t2hfW+t2f(x2)= ft +G)/(C) ft >> o) 證畢。1.選擇題(1 )設函數(shù) /(x)在(0,+oo)內(nèi)連續(xù)，且 / =' f(t + )dx(s > 0,r > 0),則/ sJ ° s的值(C. )A依賴于8.依賴

18、于s/C依賴于f,不依賴于sD依賴于s,不依賴于f(2)設在a,%上 f(x) > 0,fx) <0,/x) > 0,4"Si=f/(x)dM s?= fG)3-G，=f(a) + f(b)(b-a),則(6. ) ,A. st<s2 < %B. s2 <sL < S3C. 53 <5, < s2D. s2 <s5 < S(3)/=1+"*'sinf力，則尸(x)為(A ).A正常數(shù) 氏負常數(shù) C.恒為零 D不為常數(shù)提示：Fx)= 0,尸(0) = J：, snirJr = J，' sille

19、rn r 笊, 2/T，=/+x p 氧+6皿 sinf力,而e' sin/Jr = - f ezaix sinxdt .J 乃J nJ 0(4)下列反常積分發(fā)散的是(D. )，田2.D. f1 dxJ t sinxB. xex dxJ X2.計算題(1 ) lim-( z + , 2 + + -=1=) “廿 y/n2 +1 J/ +4J.2 +2=E,dx = V2 -1y/l+X2(2)設函數(shù)f(x)可導，且"0) = 0, F(x)=廣大爐-")力, J 0求Em學.TO x“解：令 =x"- ,則 F(x) = fA f(ii)du , nJo所

20、以 inn 型=11mm二3_L9.so x-n x->o 2；r"xto 2n xnInn 5 2n(5)已知lim(土妝> = tedt,求。的值. A >00 X 4J -8<x x-ct 2ax 解：由條件有門游XT8 X-a2J-8(6 )設連續(xù)非負函數(shù)滿足/(x)f(-x) = 1 (-oo<x<+qo),求/= j c°sx j-t i+/a)解：令yr, / =了斗匕八門J ” + /(T) Y i, 1/(0-f (x)cosx.x 從而 2/ = f ： cosxdx = 2 ,古攵 / = 1.J l+/(x)J-73 .當x > 0>> 0時/(x)滿足方程f(u)du = f J； f(u)du + J： xf(i()du且/(x)在0,+8)有連續(xù)一階導數(shù)，又/(I) = 3,求/(x).解：兩邊對t求導，得加.)=/疝+雙£),令 t = 1 ,得 xf(x) = j ' f(u)du + xf(l),.a對 X 求導，得 /(%) + xfx) = /(x)