2013山東高考數(shù)學理科試題及答案1

1、2013 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（山東卷) 理科數(shù)學第 i 卷（共 60 分）一、選擇題：本大題共12 小題，每小題5 分,共 60 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1若復數(shù)z滿足(3)(2)5zi(i為虛數(shù)單位） ，則z的共軛復數(shù)z為(a）2i（b) 2i(c）5i(d）5i2 已知集合a=0,1,2 ，則集合b,xy xa ya中元素的個數(shù)是（a) 1 （b）3 (c)5 （d）9 3已知函數(shù)( )f x為奇函數(shù) ,且當0 x時，21( )f xxx，則( 1)f（a) 2(b）0 （ c) 1 （d） 2 4已知三棱柱111abca b c的側(cè)棱與底面垂直

2、，體積為94，底面是邊長為3的正三角形 .若p為底面111a b c的中心 ,則pa與平面abc所成角的大小為(a) 512(b）3（c)4（d）65將函數(shù)sin(2)yx的圖象沿x軸向左平移8個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖象,則的一個可能取值為（a) 34（b）4(c）0 (d) 46 在平面直角坐標系xoy 中，m為不等式組220,210,380,xyxyxy所表示的區(qū)域上一動點，則直線om斜率的最小值為（a）2 （b）1 (c）13（d)127給定兩個命題p，q。若p是q的必要而不充分條件,則p是q的(a）充分而不必要條件(b）必要而不充分條件（c)充要條件（d ）既不充分也不必要條件8函

3、數(shù)cossinyxxx的圖象大致為9過點(3,1)作圓22(1)1xy的兩條切線 ,切點分別為a，b，則直線ab的方程為（a）230 xy(b）230 xy（c）430 xy（d）430 xy10用 0，1，,9 十個數(shù)字，可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（a）243 （b) 252 （c） 261 （d)279 11已知拋物線1c：212yxp(0)p的焦點與雙曲線2c：2213xy的右焦點的連線交1c于第一象限的點m。若1c在點m處的切線平行于2c的一條漸近線，則p（a）316(b)38（c）2 33（d）4 3312設(shè)正實數(shù), ,x y z滿足22340 xxyyz，則當xyz取得最大

4、值時，212xyz的最大值為（a）0 （b）1 （c）94（d）3 二、填空題：本大題共4 小題，每小題4 分，共 16 分。13執(zhí)行右圖的程序框圖，若輸入的的值為 0。25，則輸出的n 的值為 _. 14在區(qū)間3,3上隨機取一個數(shù)x,使得121xx成立的概率為 _. 15已知向量ab與ac的夾角為120,且3ab,2ac，若apabac，且apbc, 則實數(shù)的值為 _. 16定義“正對數(shù)：0,01,lnln ,1,xxx x現(xiàn)有四個命題：若0,0ab,則ln ()lnbaba；若0,0ab，則ln ()lnlnabab若0,0ab,則ln ()lnlnaabb若0,0ab，則ln ()lnl

5、nln 2abab其中的真命題有_。 （寫出所有真命題的編號）三、解答題：本大題共6 小題 ,共 74 分。17 （ 本 小 題 滿 分12 分 ） 設(shè) abc的 內(nèi) 角,a b c所 對 的 邊 分 別 為, ,a b c, 且6ac，2b,7cos9b。否是開始輸入(0)011,2,1ffn101fff010fff1nn11?f輸出n結(jié)束(）求, a c的值；(）求sin()ab的值。18 ( 本 小 題 滿 分12分 ） 如 圖 所 示 ， 在 三 棱 錐pabq中 ，pb平 面abq，babpbq,d c e f分別是,aq bq ap bp的中點，2aqbd,pd與eq交于點g，pc

6、與fq交于點h，連接gh。（）求證：abgh；（）求二面角dghe的余弦值。19(本小題滿分12 分 )甲、乙兩支排球隊進行比賽,約定先勝3 局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束,除第五局甲隊獲勝的概率是12外,其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是23，假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨立。（）分別求甲隊以3：0，3：1,3:2 勝利的概率；()若比賽結(jié)果為3： 0或 3：1，則勝利方得3 分，對方得0 分；若比賽結(jié)果為3:2，則勝利方得2分、對方得1 分。求乙隊得分x的分布列及數(shù)學期望. 20 （本小題滿分12 分 )設(shè)等差數(shù)列na的前 n 項和為ns,且424ss，221nnaa。(）求數(shù)列na的通項公式 ;

7、(）設(shè)數(shù)列nb前 n 項和為nt， 且12nnnat（為常數(shù) ).令2nncb*()nn.求數(shù)列nc的前 n 項和nr。21 （本小題滿分13 分）設(shè)函數(shù)2( )xxf xce（e=2。71828是自然對數(shù)的底數(shù)，cr）. （ )求( )f x的單調(diào)區(qū)間、最大值；(）討論關(guān)于x的方程ln( )xf x根的個數(shù)。22(本小題滿分13 分) 橢圓2222:1xycab(0)ab的左、右焦點分別是12,ff，離心率為32，過1f且垂直于x軸的直線被橢圓c截得的線段長為1。（）求橢圓c的方程；()點p是橢圓c上除長軸端點外的任一點，連接12,pf pf，設(shè)12f pf的角平分線pm交c的長軸于點(,0

8、)m m，求m的取值范圍 ; （）在 (）的條件下,過p點作斜率為k的直線l，使得l與橢圓c有且只有一個公共點，設(shè)直線12,pf pf的斜率分別為12,k k，若0k，試證明1211kkkk為定值，并求出這個定值。參考答案一、選擇題1d【解析】由(z 3） (2 i)=5,得55(2)5(2)3332352(2)(2)5iiziiiii，所以5zi, 選 d. 2c 【解析】因為,x ya, 所以2, 1,0,1,2xy，即 2, 1,0,1,2b，有 5 個元素，選c。3a【解析】因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以( 1)(1)(1 1)2ff，選 a. 4 b 【解析】 取正三角形abc的中心， 連結(jié)

9、op, 則pao是 pa與平面 abc所成的角 . 因為底面邊長為3,所以33322ad，2231332aoad. 三棱柱的體積為21139( 3)224aa，解得13aa， 即13opaa,所 以tan3oppaooa， 即3pao， 選b 。5 b 【 解 析 】 將 函 數(shù)y=sin(2x +） 的 圖 像 沿x軸 向 左 平 移8個 單 位 ， 得 到 函 數(shù)sin2()sin(2)84yxx，因為此時函數(shù)為偶函數(shù)，所以,42kkz，即,4kkz，所以選b。6c 【解析】作出可行域如圖由圖象可知當m位于點 d處時， om的斜率最小 . 由210380 xyxy得31xy，即(3, 1)

10、d, 此時 om的斜率為1133，選 c。7a【解析】因為p 是 q 的必要而不充分條件，所以q 是 p 的必要而不充分條件，即p 是 q 的充分而不必要條件，選a。8d【解析】函數(shù)y=xcosx + sinx為奇函數(shù) , 所以圖象關(guān)于原點對稱, 所以排除b，c。當x時，( )0f, 排除 a，選 d. 9a【解析】由圖象可知，(1,1)a是一個切點 , 所以代入選項知，,b d不成立，排除。又ab直線的斜率為負，所以排除c ，選 a 10b【解析】有重復數(shù)字的三位數(shù)個數(shù)為9 10 10900。沒有重復數(shù)字的三位數(shù)有1299648c a，所以有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為900648=252，選

11、b。11d【解析】經(jīng)過第一象限的雙曲線的漸近線為33yx。拋物線的焦點為(0,)2pf, 雙曲線的右焦點為2(2,0)f。1yxp，所以在200(,)2xm xp處的切線斜率為33，即0133xp，所以033xp，即三點(0,)2pf，2(2,0)f，3(,)36pmp共線，所以06220233pppp，即4 33p，選 d. 12b 【解析】由22340 xxyyz,得2234zxxyy。所以2214343xyxyxyzxxyyyx11423xyyx, 當且僅當4xyyx，即2xy時取等號此時22yz,1)(maxzxy。xyyyzyx2122212)211(2)11 (2yyxy1)221

12、121(42yy，故選 b. 133【解析】第一次循環(huán)，10123,3 12,2ffn, 此時1110.253f不成立。第二次循環(huán),10235,523,3ffn, 此時1110.255f成立，輸出3n。1413【解析】 設(shè)( )12f xxx，則3, 31( )1221, 123,23xf xxxxxx. 由211x，解得12x，即當13x時,( )1f x. 由幾何概型公式得所求概率為31213( 3)63。15 712【解 析】向 量ab與ac的 夾 角為120， 且| 3,|2,abac所 以1cos1203232ab acabac。由apbc得，0ap bc,即() ()0ap bca

13、bacacab，所以22(1)0acabab ac，即493(1)0，解得712。16 【 解 析 】 當1,0ab時 ，1ba,ln ()lnln, lnlnbbaaba baba, 所 以ln ()lnbaba成 立 。 當01,0ab時 ，01ba， 此 時ln ()0,ln0baba， 即ln ()lnbaba成立。綜上ln ()lnbaba恒成立。當1,ae be時,ln ()ln10,lnln1,ln0abaeb，所以ln ()lnlnabab不成立 . 討論,a b的取值，可知正確。討論,a b的取值，可知正確。所以正確的命題為。17解： （）由余弦定理2222cosbacacb

14、，得222(1 cos )bacacb，又6ac，2b，7cos9b，所以9ac，解得3a,3c。（ )在abc中,24 2sin1cos9bb, 由正弦定理得sin2 2sin3abab，因為ac，所以a為銳角 ,所以21cos1sin3aa因此10 2sin()sincoscossin27ababab。18解： （ )證明 :因為,d c e f分別是,aq bq ap bp的中點 , 所以efab，dcab，所以efdc，又ef平面pcd,dc平面pcd，所以ef平面pcd，又ef平面efq，平面efq平面pcdgh，所以efgh，又efab, 所以abgh. ( )解法一：在abq中，

15、2aqbd,addq, 所以=90abq,即abbq，因為pb平面abq，所以abpb, 又bpbqb，所以ab平面pbq，由（ )知abgh, 所以gh平面pbq，又fh平面pbq,所以ghfh，同理可得ghhc，所以fhc為二面角dghe的平面角，設(shè)2babqbp,連接pc，在trfbc中，由勾股定理得，2fc, 在trpbc中，由勾股定理得，5pc，又h為pbq的重心，所以1533hcpc同理53fh, 在fhc中 ,由余弦定理得552499cos5529fhc，即二面角dghe的余弦值為45. 解法二：在abq中，2aqbd,addq, 所以90abq,又pb平面abq,所以,ba b

16、q bp兩兩垂直 , 以b為坐標原點， 分別以,ba bq bp所在直線為x軸，y軸,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)2babqbp，則(1,0,1)e,(0,0,1)f，(0,2,0)q,(1,1,0)d，(0,1,0)c(0,0,2)p， ，所以( 1,2, 1)eq，(0,2, 1)fq,( 1, 1,2)dp,(0,1,2)cp, 設(shè)平面efq的一個法向量為111(,)mxy z，由0m eq,0m fq, 得111112020 xyzyz取11y，得(0,1,2)m. 設(shè)平面pdc的一個法向量為222(,)nxyz由0n dp，0n cp, 得222222020 xyzyz取2

17、1z，得(0,2,1)n.所以4cos,5m nm nm n因為二面角dghe為鈍角，所以二面角dghe的余弦值為45. 19解： （）記“甲隊以3：0 勝利”為事件1a， “甲隊以3：1 勝利”為事件2a,“甲隊以3：2 勝利”為事件3a，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨立，故3128()( )327p a, 22232228()() (1)33327p ac, 122342214()() (1)33227p ac所以 ,甲隊以 3:0，3:1,3：2 勝利的概率分別是827，827,427；（ )設(shè)“乙隊以3：2 勝利”為事件4a，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨立，所以122442214()(1)

18、()(1)33227p ac由題意，隨機變量x的所有可能的取值為0，1,2,3， ，根據(jù)事件的互斥性得1212(0)()()()p xp aap ap a1627, 34(1)()27p xp a，44(2)()27p xp a, (3)p x1(0)p x(1)p x(2)p x327故x的分布列為x0 1 2 3 p1627427427327所以16443012327272727ex7920解： (）設(shè)等差數(shù)列na的首項為1a，公差為d，由424ss，221nnaa得11114684(21)22(1)1adadanand，解得，11a，2d因此21nan*()nn（）由題意知：12nnnt

19、所以2n時,112122nnnnnnnbtt故，1221221(1)()24nnnnncbn*()nn所以01231111110( )1 ()2( )3( )(1)( )44444nnrn, 則12311111110( )1 ()2( )(2)( )(1)( )444444nnnrnn兩式相減得1231311111( )( )()( )(1)()444444nnnrn11( )144(1)( )1414nnn整理得1131(4)94nnnr所以數(shù)列數(shù)列nc的前 n 項和1131(4)94nnnr21解： （）2( )(12 )xfxx e，由( )0fx,解得12x，當12x時，( )0fx，

20、( )f x單調(diào)遞減所以，函數(shù)( )f x的單調(diào)遞增區(qū)間是1(,)2，單調(diào)遞減區(qū)間是1(,)2，最大值為11()22fce（）令2( )ln( )lnxxg xxf xxce(0,)x(1）當(1,)x時，ln0 x，則2( )lnxxg xxce，所以，22( )(21)xxeg xexx因為210 x,20 xex所以( )0gx因此( )g x在(1,)上單調(diào)遞增 . （2)當(0,1)x時，當時，ln0 x，則2( )lnxxg xxce，所以，22( )(21)xxeg xexx因為22(1,)xee，210 xex，又211x所以2210 xexx所以( )0g x因此( )g x在(0,1)上單調(diào)遞減。綜合（ 1)（2）可知當(0,)x時，2( )(1)g xgec，當2(1)0gec，即2ce時，( )g x沒有零點，故關(guān)于x的方程ln( )xf x根的個數(shù)為0；當2(