2010固體物理復(fù)習(xí)習(xí)題課內(nèi)容

1、第一章晶體結(jié)構(gòu)習(xí)題例1晶格點(diǎn)陣與實(shí)際晶體有何區(qū)別和聯(lián)系？解：晶體點(diǎn)陣是一種數(shù)學(xué)抽象，其中的格點(diǎn)代表基元中某個(gè)原子的位置或基元質(zhì)心的位 置，也可以是基元中任意一個(gè)等價(jià)的點(diǎn)。當(dāng)晶格點(diǎn)陣中的格點(diǎn)被具體的基元代替后才形成實(shí)際的晶體結(jié)構(gòu)。晶格點(diǎn)陣與實(shí)際晶體結(jié)構(gòu)的關(guān)系可總結(jié)為：晶格點(diǎn)陣+基元=實(shí)際晶體結(jié)構(gòu)例2、.以二維有心長(zhǎng)方晶格為例，畫出固體物理學(xué)原胞、結(jié)晶學(xué)原胞，并說(shuō)出它們各自的 特點(diǎn)。解：以下給出了了二維有心長(zhǎng)方晶格示意圖：3e由上圖，我們可給出其固體物理學(xué)原胞如下圖（a）所示，結(jié)晶學(xué)原胞如下圖（b）所示:(b)從上圖（玄）和（b）可以看出，在固體物理學(xué)原胞中，只能在頂點(diǎn)上存在結(jié)點(diǎn)，而在結(jié) 晶學(xué)原胞

2、中，既可在頂點(diǎn)上存在結(jié)點(diǎn)，也可在面心位置上存在結(jié)點(diǎn)。例3、倒格子的實(shí)際意義是什么？ 一種晶體的正格矢和相應(yīng)的倒格矢是否有一一對(duì)應(yīng)的關(guān) 系？解：倒格子的實(shí)際意義是由倒格子組成的空間實(shí)際上是狀態(tài)空間（波矢K空間），在晶體的X射線衍射照片上的斑點(diǎn)實(shí)際上就是倒格子所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)子。設(shè)一種晶體的正格基矢為 a 1、a2、a3，根據(jù)倒格子基矢的定義:2r a 2工 a 3bi =Q2r a 3 漢 a 1b 2 =>Q2兀az a2b3=J式中門是晶格原胞的體積，即門二ai a2 a3，由此可以唯一地確定相應(yīng)的倒格子空間。同樣，反過(guò)來(lái)由倒格矢也可唯一地確定正格矢。所以一種晶體的正格矢和相應(yīng)的倒格矢有一一

3、對(duì)應(yīng)的關(guān)系。例4、各類晶體的配位數(shù)(最近鄰原子數(shù))是多少?例5在立方晶體中畫出(101),(021),(122),(21 0)晶面。(101)(021)解：7種典型的晶體結(jié)構(gòu)的配位數(shù)如下表1.1所示:晶體結(jié)構(gòu)配位數(shù)晶體結(jié)構(gòu)配位數(shù)面心立方六角密積12氯化鈉型結(jié)構(gòu)6體心立方8氯化銫型結(jié)構(gòu)8簡(jiǎn)立方6金剛石型結(jié)構(gòu)4(1)第二章習(xí)題0例題1.若NaCI晶體的馬德隆常數(shù) M=1.75,晶格常數(shù)a=5.64A ,幕指數(shù)n=9。晶體拉伸而 達(dá)到穩(wěn)定極限時(shí)，求：離子間距增加多少？（刀摩干間的相互作用(«)互作用第能和原子間距的關(guān)系；)互作用力和原子間距的關(guān)系解：當(dāng)2個(gè)原子由相距很遠(yuǎn)而逐漸接近時(shí)，2個(gè)原

4、子間引力和斥力都開始增大，但首先引力大于斥力，總的作用為引力，f(r) ：0，而相互作用勢(shì)能 u(r)逐漸減?。划?dāng)2個(gè)原子慢慢接近到平衡距離ro時(shí)，此時(shí)，引力等于斥力，總的作用為零，f(r) =0，而相互作用勢(shì)能u(r)達(dá)到最小值；當(dāng) 2個(gè)原子間距離繼續(xù)減小時(shí)，由于斥力急劇增大，此時(shí)，斥力開始大于引力，總的作用為斥力，f(r)0，而相互作用勢(shì)能u(r)也開始急劇增大。9設(shè)該NaCI晶體的含有N個(gè)離子，則其相互作用勢(shì)能為U(r)一曲£2( 4兀8 or r上式中的r指NaCI晶體中相鄰兩離子間的距離。1又設(shè)NaCI晶體處于平衡狀態(tài)時(shí)，相鄰兩離子間的距離為r0，則有r0a 。2由平衡條件

5、可知dU(r)drr =£oN Mq222 | 4二；or2nB(2)由（2）式可得：B二衛(wèi)Jr；4兀名o n當(dāng)晶體拉伸而達(dá)到穩(wěn)定極限時(shí)，此時(shí)相鄰離子間的引力達(dá)到最大值，即有d2U(r)dr2N 2Mq4 二；0 r3亠 n(n +1)Brn2-0(3)也Jron°代入（3）式可得4 二；o n119十1 護(hù) 5.64I漢=3.45I 2丿20因而離子間距增加了Ar = A -r0 =3.45 -2.82 =0.63 A例題2、對(duì)于由N個(gè)惰性氣體原子組成的一維單原子鏈，設(shè)平均每2個(gè)原子勢(shì)為:二 12 ：-1' 6 u(x)* 七。求：(1)原子間的平均距離X。；(2

6、)每個(gè)原子的平均晶格能;(3 )壓縮系數(shù)k。解：(1)在平衡時(shí)，有下式成立du(x)dx x芻一12二12=U0 |13ILx02 6二67X。(1)由上式可得Xo = ；丁那么有(2)(2)設(shè)該N個(gè)惰性氣體原子組成的一維單原子鏈的總的相互作用勢(shì)能為U (x),. N /、仁U(x)=uo()-2()-2 jx1 jx1 j設(shè)X為2個(gè)原子間的最短距離，則有x1i = ajX，那么(2)式可化為(3)Nu o O' 12 O' 6 U(X) 0 A( )-B()2 XX1 1 1其中(3)式中A 厲=2 (1 飛 p )2.00048, j aj23111B = 26 = 2 2

7、 (166) ： 4.07809。j aj23那么每個(gè)原子的平均晶格能為UjXo = 一也 2.00048(二)12 -4.07809(二)6 : u0N2 _二二(3)根據(jù)壓縮系數(shù)的定義可知,1 dVk =V dPd2UdVNx(嗎N2dX dX(4)將(3)式代入(4)式得:1#k =彳NXNu0 2.00048 12 13；124.07809 6 7二6CJ70u0X14X8第三章習(xí)題例1、在三維晶體中，利用德拜模型：(1) 證明高溫時(shí)，0*：m范圍內(nèi)聲子總數(shù)量與 T成正比；(2) 證明甚低溫下，0 -m范圍內(nèi)聲子總數(shù)量與 T3成正比解：德拜模型是把晶體視為一連續(xù)介質(zhì)，晶格振動(dòng)的所有格波

8、都是彈性波，在三維晶體中 存在三支彈性波，即一支縱波，兩支橫波，它們的色散關(guān)系：(q)二Viqi =1，縱向彈性波，i =2,3橫向彈性波，由色散關(guān)系知道：d i(q)-vidq晶格振動(dòng)理論表明，波矢空間一個(gè)q點(diǎn)，總有一個(gè)與之對(duì)應(yīng)，而給定一組(，q)就代表原子的一種振動(dòng)形式，稱之為振動(dòng)模式，由于邊界條件，波矢并不任意，根據(jù)周期性邊界條件，允許的q值在波矢空間形成均勻分布的點(diǎn)子。 在三維情況下，其分布密度，或模式密度 為V(2兀3三維情況下，在(q (q) d (q)兩個(gè)等頻面之間的振動(dòng)模式數(shù)為：DC )d =dVq11式中dVq為兩等頻面之間在波矢 q空間所占的體積，由于波的傳播速度與波的傳播

9、方向q無(wú) 關(guān)，在q空間等頻面是球面，選用球坐標(biāo)，則dvq =0 sin 詢®q2dq = 4兀q 2dq故 DiC ).4二q2(2兀J1d i(q)V 4-q2 V - (2兀 f Vi2兀2 V2dq因此在德拜模型中，三維晶體的振動(dòng)模式密度3D()八imDi ()'2(丄ViVt1112令+ J丄令)，則 vp “(1)D( J 二興-32兀Vp-格波的聲子數(shù)為:聲子服從玻爾茲曼分布，頻率為/ 1 M ） 如 _1故聲子總數(shù)目為：= n( JD( Jd，(1)、(2)代入上式:3VVP3V2 - Vp一 DkBT2 kBT22十kBT丿2 kBT2 e kBT -1kBT

10、3VkBT3一 DkBT 2.kBTkBTd令x二kBTD稱為德拜溫度，有，D U'D kpT 一 T三維晶體的聲子總數(shù)目羋4dx0 ex -1（1 ）高溫時(shí),N二込N2二 23vp心DD > 0, e ：T早xdx_泌工D o2二 2 3vp2T21 x，故（3）式變?yōu)?VkBD t I4二 23vp 1所以高溫時(shí)，晶體聲子數(shù)與T成正比。（2）甚低溫時(shí),OrD ，于是由（3）式（將被積函數(shù)按二項(xiàng)式定理展成級(jí)數(shù)）To'”30ex -12vQOfx2Xdx】kBTOTT2fi,302 兀2-nxp n=12/3 3Vp啟X T3n3#因此在甚低溫時(shí)，晶體中聲子數(shù)與T3成正比

11、。第五章習(xí)題例、金屬自由電子論和布洛赫單電子能帶論的比較性質(zhì)索末菲自由電子論布洛赫單電子能帶論單電子波函數(shù)波矢k的電子的波函數(shù)帶指標(biāo)n，波矢k的布洛赫波"3)=加屮 nk(x)二 eikrUnk(r),U nk (r+R n )=u nk (r)量子數(shù)及其取值量子數(shù)為k取值于整個(gè)k量子數(shù)n-能帶指標(biāo)范圍空間，周期邊條件的許可 值K-波矢，取分立正整數(shù)K獨(dú)立的取值，限在倒格子空間中第一布里淵區(qū)內(nèi)。取周期邊條件的許可值單電子能量A 2 k 2E(k)沒(méi)有簡(jiǎn)單的形式，但有普遍E(k)2m的規(guī)律，在倒格子空間中的周期性和偶函數(shù)(反演對(duì)稱性).En(k)是k的多值函數(shù)，形成能帶。E(k)=E(

12、k + Kh) E (k ) = E (- k )電子平均速度你v -m準(zhǔn)經(jīng)典近似1 dE (k ) v")二 1 En(k)卉0k電子質(zhì)量m包含了晶格內(nèi)部周期場(chǎng)的作用，是k的函數(shù)，一般情況是一個(gè)張量。-111 Q2E (k)Im*®齊 ck.dk例1、一維周期場(chǎng)中電子的波函數(shù)'- k(x)應(yīng)當(dāng)滿足布洛赫定理。若晶格常數(shù)為a，電子的波函數(shù)為(1) k(x)二 Sin x ；a3兀(2) '- k(x)二 i cos x ；aoO(3) '-： k(x) = v f(x-ia)(其中f為某個(gè)確定的函數(shù))。i =joO試求電子在這些狀態(tài)的波矢。解：布洛赫

13、函數(shù)可寫成k(x) = eikxuk(x)，其中，uk(x a) = uk (x)或?qū)懗?' (x a) =e-(x)x + ax(1) - k(x a)二 sinsin- 二 k(x)aa故eika 八1k =-a兀ix即k(x)=ea |e a si lx =eauk(x)a顯然有uk(x a) = uk(x)丄,nk故k(x)=sin x的波矢是一。aa(2)(x a)二 i cos 二二-i cos3 二=- - k (x)aa所以eika = -1k 二ai 氏-ix3x Ik?x即k(x)=ea |e a ico3-兀 j = ea uk(x)a顯然有uk(x - a) =

14、uk(x)3兀兀故k (x) = i cos x 的波矢一。aaQOOOQO(3)'- k(x a) =、 f(x aia)=， f x -(i 1)a =、 f (x 一 ma)k (x)i =- ： ：i =- ： ：m =：故eika =1k = 0-k(x) =ei0a、f(x-ia) = ei0xUk (x)_ioC故 t k(x)二f (x -ia)的波矢為 0。i =joO要說(shuō)明的是，上述所確定的波矢 k并不是唯一的，這些k值加上任一倒格矢都是所需的 解。因?yàn)閗空間中相差任一倒格矢的兩個(gè)k值所描述的狀態(tài)是一樣的。21例2、已知電子在周期場(chǎng)中的勢(shì)能為U(x)U(x) =0,

15、當(dāng)(b2 -(x -na)2，當(dāng) na - n - 1)a b 込 x 込 na - b時(shí)其中：a =4b , - 為常數(shù)。(1) 畫出勢(shì)能曲線，并求出其平均值；(2) 用近自由電子模型求出此晶體的第1及第2個(gè)禁帶寬度。 解：(1)該周期場(chǎng)的勢(shì)能曲線如下所示：-7bf11 2 2 m灼b2-5b-3b3b5b x其勢(shì)能平均值為:U(x)dxU -feedxbU(x)dxJ3b bdxJ3b4b= -m2b26(2)根據(jù)近自由電子模型，此晶體的第1及第2個(gè)禁帶寬度為AE2U1：E2 二 2U2其中U1和U 2表示周期場(chǎng)U (x)的展開成傅立葉級(jí)數(shù)的第一和第二個(gè)傅立葉系數(shù)。于是有U1如匯24&qu

16、ot;U2故此晶體的第1及第2個(gè)禁帶寬度為* =258m 2b2TL 3 E2 =2Um - 2b2例3、已知一維晶體的電子能帶可寫成：護(hù)71E(k)=2 (coska cos2ka)。ma 88式中a是晶格常數(shù)。試求(1) 能帶的寬度；(2) 電子在波矢k的狀態(tài)時(shí)的速度；(3) 能帶底部和頂部電子的有效質(zhì)量。解：(1)在能帶底k = 0處，電子能量為E(0) =03T在能帶頂k =處，電子能量為a故能帶寬度為=EnE()二 E()ma-E(0)(2)電子在波矢k的狀態(tài)時(shí)的速度為1 dEdk(3)電子的有效質(zhì)量為mi/Wdkma氏1(si nkasin 2ka)ma41coska cos2ka

17、2于是有在能帶底部電子的有效質(zhì)量為m； =2m* 2在能帶頂部電子的有效質(zhì)量為 m2 = -m3例4、一矩形晶格，原胞邊長(zhǎng) a=2 10 J0m , b=4 10 J°m。(1 )畫出倒格子圖；(2 )畫出第一布里淵區(qū)和第二布里淵區(qū);(3) 畫出自由電子的費(fèi)米面。解：由題意可取該矩形晶格的原胞基矢為aj =ai，a2二bj，由此可求得其倒格子基矢2汀為b1i = 3.14 1°10 i，b2 =1.57 1°10 j，由此可做出此矩形晶格的倒格子圖如下圖a所示：10 -11.57 X 10 m44l4<卜443i b 2b 1*1bOL*d*hjP*1s*1

18、4卩*1>4矩形晶格的倒格子(2)該矩形晶格的第一布里淵區(qū)和第二布里淵區(qū)如下圖所示:第一布里淵區(qū)矩形晶格的第一和第二布里淵區(qū)(3)設(shè)該二維矩形晶格晶體含有 N個(gè)電子，由于費(fèi)米面是k空間占有電子與不占有電 子區(qū)域的分界面，所以有下式成立S222 - kF = N(2二)由此得kF = 2二(£)1/2 二. 2二 n1/2N上式中n為該二維晶格晶體的電子密度。S于是可求得該二維晶格晶體的費(fèi)米面的半徑為kF = .2 3.14 ()1/2 = 0.89 1010mJ8 10由此可做出自由電子的費(fèi)米面如下圖中圓面所示：二維矩形晶格的費(fèi)米面圓例5、已知某簡(jiǎn)立方晶體的晶格常數(shù)為 a,其價(jià)

19、電子能帶可表示成E(k)二 Acos( kxa)cos(kya)cos( kza) B卉2a) 如果已測(cè)得該晶體價(jià)帶頂?shù)碾娮佑行з|(zhì)量 m2，試求能帶表達(dá)式2a中的參數(shù)A。b) 試求該晶體的價(jià)電子能帶寬度。c) 試求該晶體在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)中心點(diǎn)處的電子平均速度。d) 如果在x方向上施加外場(chǎng):,試求簡(jiǎn)約布里淵區(qū)中心點(diǎn)處電子的平均加 速度。解.1、由題給出的價(jià)電子能帶色散關(guān)系可知價(jià)帶頂處在kx二ky二匕=0，處,Aa價(jià)帶頂處的電子有效質(zhì)量可表示成:1 ：2E(k)kz 二02所以價(jià)帶頂電子的有效質(zhì)量為一標(biāo)量 mAa2而題中給出22a225由此可得A = 2。2、價(jià)電子的能帶寬度 E =2A=43、簡(jiǎn)約布里淵區(qū)中心點(diǎn)(kx = ky