2022年2022年初中三角形知識(shí)點(diǎn)

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問(wèn)點(diǎn)復(fù)習(xí)回憶三角形的相關(guān)學(xué)問(wèn)命題人：李發(fā)學(xué)問(wèn)點(diǎn)一：三角形1 .三角形的定義：為由三條線段首尾順次相接所組成的平面圖形叫做三角形.2 .組成三角形的元素：三條邊和三個(gè)角3 .三角形的分類三角形按邊的關(guān)系分類如下：不等邊三角形三角形底邊和腰不相等的等腰三角形（一般等腰三角形）等腰三角形底邊和腰相等的等腰三角形（等邊三角形或正三角形）三角形按角的關(guān)系分類如下：直角三角形（有一個(gè)角為直角的三角形）三角形銳角三角形（三個(gè)角都為銳角的三角形）斜三角形鈍角三角形（有一個(gè)角為鈍角的三角形）把邊和角聯(lián)系在一起,我們又有一種特別的三角形：等腰直角三角形,它為兩條直角

2、邊相等的直角三角形.4 .三角形的性質(zhì)三角形三邊關(guān)系定理：三角形的任意兩邊之和大于第三邊且任意兩邊之差小于第三邊.三角形的內(nèi)角和定理：三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于180 .三角形的外角和定理：三角形的三個(gè)外角和等于360 .三角形的內(nèi)外角定理：互補(bǔ)關(guān)系：三角形的一個(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)；相等關(guān)系：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的來(lái)兩個(gè)內(nèi)角的和.不等關(guān)系：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.三角形的邊角關(guān)系：在同一個(gè)三角形中：大邊對(duì)大角,等邊對(duì)等角,小邊對(duì)小角；反之,大角對(duì)大邊,等角對(duì)等邊,小角對(duì)小邊也成立.15 .三角形的面積：三角形的面積底高2學(xué)問(wèn)點(diǎn)二：等腰三角形1 .等腰三角形：有兩

3、條邊相等的三角形叫做等腰三角形.2 .等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）推論1 ：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊.即等腰三角形的頂角平分線.底邊上的中線.底邊上的高三線合一.推論 2：等邊三角形的各個(gè)角都相等,并且每個(gè)角都等于60°.3 .三角形中的中位線三角形中的中位線：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊,并且等于它的一半;三角形中位線定理的作用：位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行；數(shù)量關(guān)系：可以證明線段的倍分關(guān)系；常用結(jié)論：任一個(gè)三角形都有三條中位線,由此有：結(jié)論 1：三

4、條中位線組成一個(gè)三角形,其周長(zhǎng)為原三角形周長(zhǎng)的一半;結(jié)論 2：三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形;結(jié)論 3：三條中位線將原三角形劃分出三個(gè)面積相等的平行四邊形;結(jié)論 4：三角形一條中線和與它相交的中位線相互平分;精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問(wèn)點(diǎn)結(jié)論 5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對(duì)的三角形的頂角相等;學(xué)問(wèn)點(diǎn)三：直角三角形1 .直角三角形的兩個(gè)銳角互余；2 .在直角三角形中,30 角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；3 .直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；4 .直角三角形兩直角邊a.b 的平方和等于斜邊c 的平方,即a 2b 2c25 .常用關(guān)系

5、式：由三角形面積公式可得：ac bccdab6 .直角三角形的射影定理從肯定向始終線所引垂線的垂足,叫做這個(gè)點(diǎn)在這條直線上的正射影；一條線段在直線上的正射影,為指線段的兩個(gè)端點(diǎn)在這條直線上的正射影間的線段. 點(diǎn)和線段的正射影簡(jiǎn)稱為射影直角三角形的射影定理：直角三角形斜邊上的高為兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；推 論 ： 直 角 三 角 形 中 其 中 一 條 直 角 邊 為 該 直 角 邊 在 斜 邊 上 的 射 影 與 斜 邊 的 比 例 中 項(xiàng) . 即精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載acb90cd2 ac2ad bd ad ab精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載c

6、dab2bcbd ab精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)問(wèn)點(diǎn)四：全等三角形1 .全等三角形的概念：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形；2 .三角形全等的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等；3 .全等三角形的判定定理：邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“sas”）角角邊定理：任意兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“aas”；角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“asa”）邊邊邊定理：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“sss”）；直角三角形

7、全等的判定：對(duì)于特別的直角三角形,判定它們?nèi)葧r(shí),仍有hl 定理（斜邊.直角邊定理）：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問(wèn)點(diǎn)有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“斜邊.直角邊”或“hl ”）4 .全等變換：只轉(zhuǎn)變圖形的位置,不轉(zhuǎn)變其外形大小的圖形變換叫做全等變換；全等變換包括一下三種：平移變換：把圖形沿某條直線平行移動(dòng)的變換叫做平移變換；對(duì)稱變換：將圖形沿某直線翻折180 °,這種變換叫做對(duì)稱變換；旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)肯定的角度到另一個(gè)位置,這種變換叫做旋轉(zhuǎn)變換；學(xué)問(wèn)點(diǎn)五：相像三角形1 .比例線段的概念：對(duì)于四條線段a.b.c.d

8、,假如其中兩條線段的長(zhǎng)度的比與另兩條線段的長(zhǎng)度的比相等,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即 acbd（或 a : b=c: d ）那么這四條線段叫做成比例線段,簡(jiǎn)稱比例線段精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載留意：在求線段比時(shí),線段單位要統(tǒng)一,單位不統(tǒng)一應(yīng)先化成同一單位當(dāng)兩個(gè)比例式的每一項(xiàng)都對(duì)應(yīng)相同,兩個(gè)比例式才為同一比例式精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載比例線段為有次序的,假如說(shuō)a 為 b、c、 db d的第四比例項(xiàng),那么應(yīng)得比例式為：c a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2 .比例的性質(zhì)基本性

9、質(zhì)： 1 a : bc : dadbc ； 2a : cc : bc2ab 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載反比性質(zhì) 把比的前項(xiàng).后項(xiàng)交換： acbd bdac精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載合比性質(zhì)：acbdabc bd發(fā)生同樣和差變化比例仍成立如：acd bdbad aabcabccc等等d d精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a ce等比性質(zhì)：假如b dfm bdf nn0 ,那么acema bdfnb精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載留意：實(shí)際上,由一個(gè)比例式只可化成一個(gè)等積式,而一個(gè)等積

10、式共可化成八個(gè)比例式,如adbc ,除精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載了可化為a:bc :d ,仍可化為a : cb : d , c : da : b , b : da : c , b: ad :c , c :ad : b, d : cb: a ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載d: bc: a3 .比例線段的有關(guān)定理平行線等分線段定理：假如一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段也相等.推論 1：經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊.（三角形中位線定理的逆定理）推論 2：經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn),且與底邊平行的直線平分另一腰.（梯形

11、中位線定理的逆定理）平行線等分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例推論： 1 平行于三角形一邊的直線截其它兩邊或兩邊的延長(zhǎng)線所得的對(duì)應(yīng)線段成比例2 平行于三角形一邊且和其它兩邊相交的直線,所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問(wèn)點(diǎn)定理： 假如一條直線截三角形的兩邊或兩邊的延長(zhǎng)線所得的對(duì)應(yīng)線段成比例,那么這條直線平行于三角形第三邊4 .相像三角形相像三角形的定義：對(duì)應(yīng)角相等, 對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相像三角形. 相像三角形對(duì)應(yīng)邊的比值叫做相像比（或相像系數(shù)）留意：（ 1 ）相像三角形為相像多邊形中的一種

12、；（ 2 ）應(yīng)結(jié)合相像多邊形的性質(zhì)來(lái)懂得相像三角形；（ 3 ）相像三角形應(yīng)滿意外形一樣,但大小可以不同；（ 4 ）相像用“”表示,讀作“相像于；”（ 5 ）相像三角形的對(duì)應(yīng)邊之比叫做相像比相像三角形的判定方法預(yù)備定理： 平行于三角形一邊并且和其它兩邊相交的直線,所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例定理的基本圖形語(yǔ)言：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言：de / bc ade abc 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載判定定理1 ：假如一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相像簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等,兩三角形相像.判定定理

13、2：假如一個(gè)三角的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例,并且?jiàn)A角相等,那么這兩個(gè)三角形相像簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等,兩三角形相像.判定定理3：假如一個(gè)三角形的三條邊分別與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)三角形相像簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例,兩個(gè)三角形相像.判定定理4 ：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形都相像三角形相像的判定方法與全等的判定方法的聯(lián)系列表如下：類型斜三角形直角三角形全等三角形的判定sassssaas （ asa）hl精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載相像三角形的判定兩 邊 對(duì) 應(yīng) 成 比例夾角相等三邊對(duì)應(yīng)成比例兩角對(duì)應(yīng)相等一條直角邊

14、與斜邊對(duì)應(yīng)成比例精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載從表中可以看出只要將全等三角形判定定理中的“對(duì)應(yīng)邊相等”的條件改為“對(duì)應(yīng)邊成比例”就可得到相像三角形的判定定理, 這就為我們數(shù)學(xué)中的用類比的方法,在舊學(xué)問(wèn)的基礎(chǔ)上找出新學(xué)問(wèn)并從中探究新學(xué)問(wèn)把握的方法.相像三角形的性質(zhì)定理：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問(wèn)點(diǎn)（ 1）相像三角形對(duì)應(yīng)高的比.對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相像比；（ 2）相像三角形的周長(zhǎng)比等于相像比；（ 3）相像三角形的面積比等于相像比的平方；（ 4）相像三角形內(nèi)切圓與外接圓的直徑比.周長(zhǎng)比等于相像比,面積比等于相像比的平方.相像三角形的

15、等價(jià)關(guān)系1 反身性：對(duì)于任一abc 有abc abc 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2 對(duì)稱性：如abc a' b' c',就a' b' c' abc 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3 傳遞性：如abc 相像直角三角形a' b' c ,且a' b'c a b c,就abc a b c精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載引理：假如一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的線段成比例,那么這兩條直線平行于三角形的第三邊 .（與三角形的中位線定理類似）定理：假如兩個(gè)直角三角形

16、有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)直角三角形相像.定理：假如兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)直角三角形相像.定理：假如兩個(gè)直角三角形的斜邊和始終邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)直角三角形相像.經(jīng)過(guò)歸納和總結(jié),相像三角形有以下幾種基本類型平行線型：常見(jiàn)的有如下兩種,de bc ,就 ade abcaedadebcbc相交線型：常見(jiàn)的有如下四種情形,如圖,已知1=b ,就由公共角a 得, ade abcaaec1deb1bcd如下左圖,已知1=b ,就由公共角a 得, adc acb ；如下右圖,已知bd ,就由對(duì)頂角12 得, ade abcaedd2a11bccb旋轉(zhuǎn)型：已知badcae

17、,bd ,就 ade abc ,下圖為常見(jiàn)的基本圖形aedbc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載母子型：已知acb90 , abcd,就 cbd abc acd 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載cadb解決相像三角形問(wèn)題,關(guān)鍵為要善于從復(fù)雜的圖形中分解出（構(gòu)造出）上述基本圖形精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問(wèn)點(diǎn)學(xué)問(wèn)點(diǎn)六：銳角三角函數(shù)的概念（建立在直角三角形的基礎(chǔ)之上）1.如圖,在 abc 中,c=90 °精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 sin aa的對(duì)邊斜邊a ； cos a ca的鄰邊b斜邊c精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 tan aa的對(duì)邊a的鄰邊a ； cot a ba的鄰邊ba的對(duì)邊a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2.一些特別角的三角函數(shù)值三角函數(shù)030 °45 °60 °90 °精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載sin0cos112312223210222精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載tan0313不存在3精品