BLACK-SCHOLES期權(quán)定價模型

1、BLACK -SCHOLES 期權(quán)定價模型Black-Scholes 期權(quán)定價模型(Black-Scholes Option Pricing Model ), 1997 年 10 月10日，第二十九屆諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎授予了兩位美國學(xué)者，哈佛商學(xué)院教授羅伯特默頓(RoBert Merton)和斯坦福大學(xué)教授邁倫斯克爾斯(Myron Scholes)。他們創(chuàng)立和發(fā)展的 布萊克-斯克爾斯期權(quán)定價模型(Black Scholes Optio n Pricing Model)為包括股票、債券、貨幣、商品在內(nèi)的新興衍生金融市場的各種以市價價格變動定價的衍生金融工具的合理定價 奠定了基礎(chǔ)，特別是為評估組合保險

2、成本、可轉(zhuǎn)換債券定價及認股權(quán)證估值等提供了依據(jù)。BLACK-SCHOLES期權(quán)定價模型-簡介斯克爾斯與他的同事、已故數(shù)學(xué)家費雪布萊克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一個期權(quán)定價的復(fù)雜公式(看漲和看跌)。與此同時，默頓也發(fā)現(xiàn)了同樣的公式及許多其它有關(guān)期權(quán)的有用結(jié)論。結(jié)果，兩篇論文幾乎同時在不同刊物上發(fā)表。所以，布萊克一斯克爾斯定價模型亦可稱為布萊克一斯克爾斯一默頓定價模型(含紅利的)。默頓擴展了原模型的內(nèi)涵，使之同樣運用于許多其它形式的金融交易。瑞士皇家科學(xué)協(xié)會(The Royal SwedishAcademyof Scien cese)贊譽他們在期權(quán)定價方面的研究成果是今

3、后25年經(jīng)濟科學(xué)中的最杰出BLACK-SCHOLES期權(quán)定價模型-其假設(shè)條件(一)B-S模型有5個重要的假設(shè)1、金融資產(chǎn)收益率服從對數(shù)正態(tài)分布；(股票價格走勢遵循幾何布朗運動)2、在期權(quán)有效期內(nèi)，無風險利率和金融資產(chǎn)收益變量是恒定的；3、市場無摩擦，即不存在稅收和交易成本；4、該期權(quán)是歐式期權(quán)，即在期權(quán)到期前不可實施；5、 金融資產(chǎn)在期權(quán)有效期內(nèi)無紅利及其它所得(該假設(shè)后被放棄)；6、不存在無風險套利機會；7、證券交易是持續(xù)的;&投資者能夠以無風險利率借貸。（二）榮獲諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎的B-S定價公式c = SNdJ - Le-rTN(d2)其中:did22In( S / L)(r - /

4、 2)匚、T,（標準正態(tài)分布 卩=0）In( S / L)(r - ：-c期權(quán)初始合理價格L期權(quán)交割價格S所交易金融資產(chǎn)現(xiàn)價T期權(quán)有效期r 連續(xù)復(fù)利計無風險利率 二一年度化方差（波動率）N（）正態(tài)分布變量的累積概率分布函數(shù)在此應(yīng)當說明兩點：第一，該模型中無風險利率必須是連續(xù)復(fù)利形式。一個簡單的或不連續(xù)的無風險利率（設(shè)為r0） 一般是一年復(fù)利一次，而r要求利率連續(xù)復(fù)利。r0必須轉(zhuǎn)化為r方能代入上式計算。兩者換算關(guān)系為：r=ln（1+ r0）或 r0=er -1。例如 r0=0.06，貝y r= In （1+0.06）=0.0583 ，即 100以5.83%的連續(xù)復(fù)利投資第二年將獲106,該結(jié)果與

5、直接用r0=0.06計算的答案一致。第二，期權(quán)有效期T的相對數(shù)表示，即期權(quán)有效天數(shù)與一年365天的比值。如果期權(quán)有效期為 100 天，則 T=100/365=0.274。，所以El門(鯛=t,St/s八仙旳可以證明，相對價格期望值大于eut ,ut22ut2為:E S /s= e + T = e 從而，二T(r- cr),且有 t= <rT其次，求(St >L)的概率P,也即求收益大于(LS)的概率。已知正態(tài)分布有性質(zhì):Pr06 z >X =1-N( X -卩 C )其中：z 正態(tài)分布隨機變量X 關(guān)鍵值卩一Z的期望值c Z的標準差 / 2)TBLACK-SCHOLES期權(quán)定價

6、模型-推導(dǎo)運用(一)B-S模型的推導(dǎo)B-S模型的推導(dǎo)是由看漲期權(quán)入手的，對于一項看漲期權(quán)， 其到期的期值是：EG=Emax(ST-L，O)其中，EG看漲期權(quán)到期期望值St.到期時交易金融資產(chǎn)的市場價值L期權(quán)交割價(期權(quán)費)到期有兩種可能情況：1 如果S>L,則期權(quán)實施以進帳(In-the-money) 生效，且 max(S-L , O)= St-L2、如果St<L,，則期權(quán)所有人放棄購買權(quán)力，期權(quán)以出帳(Out-of-the-money)失效，且max(St-L， O)=0從而：ECt = P x ESt.St >£ + (l-P) xO=Fx EStSt >

7、 Q二Z)其中：P: (St>L)的概率ES|S>L:既定(S>L)下St的期望值將EG按有效期無風險連續(xù)復(fù)利 rt貼現(xiàn)，得期權(quán)初始合理價格：C=PX E- rt X (E St | St >L-L) (*)這樣期權(quán)定價轉(zhuǎn)化為確定P 和 ESt| St>L。首先，對收益進行定義。與利率一致，收益為金融資產(chǎn)期權(quán)交割日市場價格(S)與現(xiàn)價(S)比值的對數(shù)值，即收益 =1 nSt/S=l n(S/L)。由假設(shè)1收益服從對數(shù)正態(tài)分布，即In (St/L) 所以：P=PrO6S> 1 =PrO6lnSt/s >1 nLS=LN-InLS- (r- o2)ToTn

8、c4 由對稱性：1 - N(d) =N( - d)P=NInSL+ (r-)T 打arS。第三，求既定St >L下S的期望值。因為ESt|St>L處于正態(tài)分布的L到R范圍，所以, rTESt | St >=s ?e?N(dN(d2)其中：d! =ln(S/L)+( Y +；'/2)T/ d Jd2 =ln(S/L)+(y -<i2/2)T/ d 加T =d! - d <'T最后，將P、ESt | S>L代入(*)式整理得B-S定價模型：C=S N(d,)- Le-TN(d2)（二）B-S模型應(yīng)用實例（以歐式期權(quán)看漲期權(quán)為例）題目：假設(shè)市場上某

9、股票現(xiàn)價 S為164元，無風險連續(xù)復(fù)利 利率Y是0.0521，市場方差匚2為0.0841 （二=0.29 ），實施 價格（行權(quán)價格）L是165元，有效期T為0.0959 （即為35 天）的期權(quán)初始合理價格（期權(quán)費）是多少？公式回憶:d1d2In( S / L)(r ；2 / 2)TTIn( S / L)(r 一 孑 / 2)Ta#c = SNdJ - LeTN(d2)計算步驟如下： d1 =ln(164/165)+(0.0521+0.0841/2) X 0.0959/(0.29 X 0. 0959) =0.0328 d2 =0.0328-0.29 X . 0. 0959 =-0.570 查標準

10、正態(tài)分布函數(shù)表，得 ：N(0.03)=0.5120N(-0.06)=1-N(0.06 ) =1-0.5239=0.4761 C=164X 0.5120-165 X e .0521X0.0959 x 0.4761=5.803因此理論上該期權(quán)的合理價格是5.803。如果該期權(quán)市場實際價格是5.75 ,那么這意味著該期權(quán)有所低估。在沒有交易成本的條件下，購買該看漲期權(quán)有利可圖。（三）看跌期權(quán)定價公式的推導(dǎo)B-S模型是看漲期權(quán)的定價公式，根據(jù)售出一購進平價理論（買權(quán)賣權(quán)等價理論）（Put-callparity）可以推導(dǎo)出有效期權(quán)的定價模型，由售出一購進平價理論，購買某股票和該股票看跌期權(quán)的組合與購買該

11、股票同等條件下的看漲期權(quán)和以期權(quán)交割價為面值的 無風險折扣發(fā)行債券具有同等價值，以公式表示為：S I PeS?T?L） = Ce（S7T；L） L（l + r）-T移項得：Po（S/rtL） =Cc（S；TtL） I L（1 I r） - T - S將B-S模型代入整理得：P = Le_rT 1 二 N（d2） 一 S I - N（dA）J此即為看跌期權(quán)初始價格定價模型。BLACK-SCHOLES期權(quán)定價模型-模型發(fā)展B-S模型只解決了不分紅股票的期權(quán)定價問題，默頓發(fā)展了B-S模型，使其亦運用于支付紅利的股票期權(quán)。（一） 存在已知的不連續(xù)紅利假設(shè)某股票在期權(quán)有效期內(nèi)某時間T（即除息日）支付已知

12、紅利Dt，只需將該紅利現(xiàn)值從股票現(xiàn)價 S中除去，將調(diào)整后的股票價值 S'代入B-S模型中即可： S' =S- Dte-rT。如果在有效期內(nèi)存在其它所得，依該法一一減去。從而將 B-S模型變型得新公 式：p=（s - DterTj他如 - LerTN（d21（二） 存在連續(xù)紅利支付是指某股票以一已知分紅率（設(shè)為3）支付不間斷連續(xù)紅利，假如某公司股票年分紅率3為0.04 ,該股票現(xiàn)值為164，從而該年可望得紅利 164 X 004=6.56。值得 注意的是，該紅利并非分 4季支付每季164;事實上，它是隨美元的極小單位連續(xù)不斷的再 投資而自然增長的，一年累積成為6.56。因為股價在

13、全年是不斷波動的，實際紅利也是變化的，但分紅率是固定的。因此，該模型并不要求紅利已知或固定，它只要求紅利按股票價 格的支付比例固定。在此紅利現(xiàn)值為：S(1-E- S T)，所以S' =S?E- S T,以S'代S,得存在連續(xù)紅利支付的期權(quán)定價公式:C=S?E- S T?N(D1)-L ?E- 丫 T?N(D2)BLACK-SCHOLES期權(quán)定價模型-模型影響自B-S模型1973年首次在政治經(jīng)濟雜志(Journalofpo Litical Eco no my)發(fā)表之后，芝加哥 期權(quán)交易所的交易商們馬上意識到它的重要性，很快將B-S模型程序化輸入計算機應(yīng)用于剛剛營業(yè)的芝加哥期權(quán)交易所。該公式的應(yīng)用隨著計算機、通訊技術(shù)的進步而擴展。到今天， 該模型以及它的一些變形已被期權(quán)交易商、投資銀行、金融管理者、保險人等廣泛使用。衍 生工具的擴展使國際金融市場更富有效率，但也促使全球市場更加易變。新的技術(shù)和新的金融工