2022年2022年初中數(shù)學(xué)因式分解知識點

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載因式分解概述定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式,這種變形叫做把這個多項式因式分解,也叫作分解因式；意義： 它為中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一,它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中,為我們解決很多數(shù)學(xué)問題的有力工具；因式分解方法敏捷,技巧性強,學(xué)習(xí)這些方法與技巧,不僅為把握因式分解內(nèi)容所必需的,而且對于培育同學(xué)的解題技能,進展同學(xué)的思維才能,都有著非常特殊的作用；學(xué)習(xí)它,既可以復(fù)習(xí)的整式四就運算,又為學(xué)習(xí)分式打好基礎(chǔ)；學(xué)好它,既可以培育同學(xué)的觀看.留意.運算才能,又可以提高同學(xué)綜合分析和解決問題的才能；分解因式與整式乘法互為逆變形；因式分解的方法因式分解沒有普遍的

2、方法,中學(xué)數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提公因式法.公式法；而在競賽上,又有拆項和添減項法,分組分解法和十字相乘法,待定系數(shù)法,雙十字相乘法,對稱多項式輪換對稱多項式法,余數(shù)定理法,求根公式法,換元法,長除法,除法等；留意三原就1分解要完全2最終結(jié)果只有小括號3最終結(jié)果中多項式首項系數(shù)為正（例如：-3x2+x=-x3x-1）基本方法提公因式法各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式；假如一個多項式的各項有公因式,可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法；詳細方法：當(dāng)各項系數(shù)都為整數(shù)時,公因式的系數(shù)應(yīng)取各項系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項的相同的字母

3、,而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項式,多項式的次數(shù)取最低的；假如多項式的第哪一項負(fù)的,一般要提出“-”號,使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)成為正數(shù)；提出 “-”號時,多項式的各項都要變號；口訣：找準(zhǔn)公因式,一次要提凈；全家都搬走,留1 把家守；提負(fù)要變號,變形看奇偶；例如： -am+bm+cm=-ma-b-c；ax-y+by-x=ax-y-bx-y=x-ya-b；留意：把2a2+1/2變成2a2+1/4不叫提公因式公式法假如把乘法公式反過來,就可以把某些多項式分解因式,這種方法叫公式法；平方差公式： a2 -b 2 =a+ba-b；完全平方公式： a 2 ±2ab b 2 a

4、77;b 2 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載留意：能運用完全平方公式分解因式的多項式必需為三項式,其中有兩項能寫成兩個數(shù)或式 的平方和的形式,另哪一項這兩個數(shù) 或式 的積的2 倍；立方和公式： a3 +b 3 =a+ba2 -ab+b 2 ；立方差公式： a3 -b 3 =a-ba2 +ab+b 2 ；完全立方公式： a 3 ±3a 2 b 3ab 2 ±b3 =a ±b 3 公式： a 3+b 3 +c 3 +3abc=a+b+ca2 +b 2+c 2-ab-bc-ca例如： a 2+4ab+4b2=a+2b2 ；（ 3 ）分解因式技巧1. 分

5、解因式與整式乘法為互為逆變形；2. 分解因式技巧把握：等式左邊必需為多項式；分解因式的結(jié)果必需為以乘積的形式表示；每個因式必需為整式,且每個因式的次數(shù)都必需低于原先多項式的次數(shù)；分解因式必需分解到每個多項式因式都不能再分解為止；注：分解因式前先要找到公因式,在確定公因式前,應(yīng)從系數(shù)和因式兩個方面考慮；3. 提公因式法基本步驟：（ 1 ）找出公因式；（ 2 ）提公因式并確定另一個因式：第一步找公因式可根據(jù)確定公因式的方法先確定系數(shù)在確定字母；其次步提公因式并確定另一個因式,留意要確定另一個因式,可用原多項式除以公因式,所得的商即為提公因式后剩下的一個因式,也可用公因式分別除去原多項式的每一項,求

6、的剩下的另一個因式；提完公因式后,另一因式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同；競賽用到的方法分組分解法分組分解為解方程的一種簡潔的方法,我們來學(xué)習(xí)這個學(xué)問；能分組分解的方程有四項或大于四項,一般的分組分解有兩種形式：二二分法,三一分法；比如：ax+ay+bx+by=ax+y+bx+y=a+bx+y我們把ax 和 ay 分 一 組,bx 和 by 分一組,利用乘法安排律,兩兩相配,立刻解除了困難；同樣,這道題也可以這樣做；ax+ay+bx+by=xa+b+ya+b=a+bx+y幾道例題：1.5ax+5bx+3ay+3by精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解法： =5xa+b+3ya+b=5x

7、+3ya+b說明：系數(shù)不一樣一樣可以做分組分解,和上面一樣,把5ax和 5bx 看成整體,把3ay 和 3by 看成一個整體,利用乘法安排律輕松解出；2.x3 -x 2+x-1解法： =x 3 -x 2 +x-1=x 2 x-1+x-1=x-1x2 +1利用二二分法,提公因式法提出x2 ,然后相合輕松解決； 3.x2 -x-y 2 -y解法： =x 2 -y 2 -x+y=x+yx-y-x+y=x+yx-y-1利用二二分法,再利用公式法a2-b2=a+ba-b,然后相合解決；十字相乘法這種方法有兩種情形； x²+ p+q x+pq型的式子的因式分解這類二次三項式的特點為：二次

8、項的系數(shù)為1；常數(shù)項為兩個數(shù)的積；一次項系數(shù)為常數(shù)項的兩個因數(shù)的和；因此,可以直接將某些二次項的系數(shù)為1 的二次三項式因式分解：x²+p+q x+pq=x+px+q kx²+ mx +n 型的式子的因式分解假如有k=ac , n=bd , 且有ad+bc=m時,那么kx²+ mx +n=ax +bcx +d 圖示如下：×cd例如：由于1-3×72-3 ×7=-21 , 1×2=2 ,且2-21=-19,所以7x²-19x-6=7x+2x-3十字相乘法口訣：首尾分解,交叉相乘,求和湊中

9、拆項.添項法這種方法指把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數(shù)的兩項（或幾項）,使原式適合于提公因式法.運用公式法或分組分解法進行分解；要留意,必需在與原多項式相等的原就下進行變形；例如： bcb+c+cac-a-aba+b=bcc-a+a+b+cac-a-aba+b=bcc-a+cac-a+bca+b-aba+b=cc-ab+a+ba+bc-a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載=c+bc-aa+b配方法對于某些不能利用公式法的多項式,可以將其配成一個完全平方式,然后再利用平方差公式,就能將其因式分解,這種方法叫配方法；屬于拆項.補項法的一種特別情形；也要留意必需在與原多項式相等的原

10、就下進行變形；例如： x²+ 3x-40=x²+ 3x+2.25-42.25=x+1.5²-6.5²=x+8x-5應(yīng)用因式定理對于多項式fx=0 , 假如fa=0 , 那么fx 必含有因式x-a 例如： fx=x²+ 5x+6 , f-2=0,就可確定x+2 為 x²+ 5x+6的一個因式； 事實上, x²+5x+6=x+2x+3 留意： 1 .對于系數(shù)全部為整數(shù)的多項式,如x=q/p （ p、q 為互質(zhì)整數(shù)時）該多項式值為零,就q 為常數(shù)項約數(shù),p 最高次項系數(shù)約數(shù)；

11、2 .對于多項式fa=0、b為最高次項系數(shù),c 為常數(shù)項,就有a 為 c/b 約 數(shù)換元法有時在分解因式時,可以挑選多項式中的相同的部分換成另一個未知數(shù),然后進行因式分解,最終再轉(zhuǎn)換回來,這種方法叫做換元法；留意 :換元后勿忘仍元.例如在分解x²+ x+1x²+ x+2-12時,可以令y=x²+x、 就原 式 =y + 1y +2-12=y²+ 3y + 2-12=y²+3y-10=y + 5y-2=x²+x+5x²+x-2=x²+x+5x+2x-1

12、也可以參看右圖；求根法令多項式fx=0、求出其根為x1 , x2 , x3 ,xn ,就該多項式可分解為fx=x-x1x-x2x-x 3x -xn例如在分解2x4+7x3-2x2-13x+6時,令2x4+7x3-2x2-13x+6=0,就通過綜合除法可知,該方程的根為0.5, -3 , -2 , 1 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以2x4+7x3-2x2-13x+6=2x-1x+3x+2x-1圖象法令 y=fx ,做出函數(shù)y=fx 的圖象,找到函數(shù)圖像與x 軸的交點x1、x2、x3、xn,就多項式可因式分解為fx=fx=x-x1x-x2x-x3x -xn 與方法相比,能躲開解

13、方程的繁瑣,但為不夠精確；例如在分解x3+2x2-5x-6時,可以令y=x3;+2x2-5x-6.作出其圖像,與x 軸交點為-3 , -1 , 2就 x3+2x2-5x-6=x+1x+3x-2主元法先選定一個字母為主元,然后把各項按這個字母次數(shù)從高到低排列,再進行因式分解；特別值法將 2 或 10 代入x,求出數(shù)p ,將數(shù)p 分解質(zhì)因數(shù),將質(zhì)因數(shù)適當(dāng)?shù)慕M合,并將組合后的每一個因數(shù)寫成2 或 10 的和與差的形式,將2 或 10 仍 原成x ,即得因式分解式；例如在分解x3+9x2+23x+15時,令x=2 , 就x3+9x2+23x+15=8+36+46+15=105,將 105 分 解成3

14、個質(zhì)因數(shù)的積,即105=3× 5×7留意到多項式中最高項的系數(shù)為1,而3 . 5 . 7 分別為x+1 , x+3 , x+5 , 在 x=2時的值,就 x3+9x2+23x+15可能等于x+1x+3x+5,驗證后的確如此；待定系數(shù)法第一判定出分解因式的形式,然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù),求出字母系數(shù),從而把多項式因式分解；例如在分解x4-x3-5x2-6x-4時,由分析可知：這個多項式?jīng)]有一次因式,因而只能分解為兩個二次因式；于為設(shè)x4-x3-5x2-6x-4=x2+ax+bx2+cx+d=x4+a+cx3+ac+b+dx2+ad+bcx+bd由此可得a+c=-1, ac+

15、b+d=-5, ad+bc=-6,bd=-4 解得a=1 , b=1 , c=-2 , d=-4 就 x4-x3-5x2-6x-4=x2+x+1x2-2x-4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載也可以參看右圖；雙十字相乘法雙十字相乘法屬于因式分解的一類,類似于十字相乘法；雙十字相乘法就為二元二次六項式,啟始的式子如下: ax2+bxy+cy2+dx+ey+fx . y 為未知數(shù),其余都為常數(shù)用一道例題來說明如何使用；例：分解因式：x2+5xy+6y2+8x+18y+12分析：這為一個二次六項式,可考慮使用雙十字相乘法進行因式分解；解：圖如下,把全部的數(shù)字交叉相連即可x2y2x3y6原

16、式 =x+2y+2x+3y+6 雙十字相乘法其步驟為：先用十字相乘法分解2 次項,如十字相乘圖中x2+5xy+6y2=x+2yx+3y；先依一個字母（如y ）的一次系數(shù)分?jǐn)?shù)常數(shù)項；如十字相乘圖中6y²+18y+12=2y+ 23y+6；再按另一個字母（如x）的一次系數(shù)進行檢驗,如十字相乘圖,這一步不能省,否就簡單出錯；多項式因式分解的一般步驟：假如多項式的各項有公因式,那么先提公因式；假如各項沒有公因式,那么可嘗試運用公式.十字相乘法來分解；假如用上述方法不能分解,那么可以嘗試用分組.拆項.補項法來分解；分解因式,必需進行到每一個多項式因式都不能再分解為止；也可以用一句話來概

17、括：“先看有無公因式,再看能否套公式；十字相乘試一試,分組分解要合適； ”幾道例題1 分解因式1+y2-2x21+y2+x41-y2解：原式=1+y2+21+yx21-y+x41-y2-21+yx21-y-2x21+y2（補項）=1+y+x21-y2-21+yx21-y-2x21+y2（完全平方）=1+y+x21-y2-2x2=1+y+x21-y+2x1+y+x21-y-2x=x2-x2y+2x+y+1x2-x2y-2x+y+1=x+12-yx2-1x-12-yx2-1=x+1x+1-xy+yx-1x-1-xy-y2 求證：對于任何實數(shù)x、y ,下式的值都不會為33 ：x5+3x4y-5x3y

18、2-15x2y3+4xy4+12y5精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：原式=x5+3x4y-5x3y2+15x2y3+4xy4+12y5=x4x+3y-5x2y2x+3y+4y4x+3y=x+3yx4-5x2y2+4y4=x+3yx2-4y2x2-y2=x+3yx+yx-yx+2yx-2y（分解因式的過程也可以參看右圖；）當(dāng) y=0 時,原式=x5不等于33 ；當(dāng)y 不 等于0 時 , x+3y , x+y , x-y , x+2y , x-2y互不相同,而 33 不能分成四個以上不同因數(shù)的積,所以原命題成立；3. abc的三邊a .b . c 有如下關(guān)系式：-c2+a2+2a

19、b-2bc=0,求證：這個三角形為等腰三角形；分析：此題實質(zhì)上為對關(guān)系式的等號左邊的多項式進行因式分解；證明：-c2+a2+2ab-2bc=0, a+ca-c+2ba-c=0 a-ca+2b+c=0 a . b . c 為 abc的三條邊, a 2b c 0 a c 0 ,即 a c, abc為等腰三角形；4 把 -12x2n × yn+18xn+2yn+1-6xn×yn-1 分解因式；解： -12x2n × yn+18xn+2yn+1-6xn×yn-1=-6xn × yn-12xn×y-3x2y2+1因式分解四個留意：因式分解中的四個留意,可用四句話概括如下：首項有負(fù)常提負(fù),各項有“公 ”先提 “公 ”,某項提出莫漏1 ,括號里面分到“底 ”；現(xiàn)舉下例可供參考例 1把 a2 b2 2ab 4 分解因式；解： a2 b2 2ab 4 （ a2 2ab b2 4 ）（a b 2）（ a b 2）這里的 “負(fù) ”,指 “負(fù)號 ”