圓錐曲線的最值問題常見類型及解法

1、圓錐曲線的最值問題圓錐曲線的最值問題常見類型及解法常見類型及解法 例例1 1、已知點、已知點F F是雙曲線是雙曲線 的左焦點，定點的左焦點，定點 A A（1 1，4 4），），P P是雙曲線右支上動點，則是雙曲線右支上動點，則的最小值為的最小值為 . . 221412xyPFPA思維導(dǎo)圖：思維導(dǎo)圖：根據(jù)雙曲線的定義，建立點根據(jù)雙曲線的定義，建立點A A、P P與兩焦點之間的關(guān)系與兩焦點之間的關(guān)系兩點之間線段最短兩點之間線段最短F FA AP Py yx x例例1 1、已知點、已知點F F是雙曲線是雙曲線 的左焦點，定點的左焦點，定點 A A（1 1，4 4），），P P是雙曲線右支上動點，則是

2、雙曲線右支上動點，則的最小值為的最小值為 . . 221412xyPFPA解析：設(shè)雙曲線右焦點為解析：設(shè)雙曲線右焦點為F F/ /249PFPAPFPFPAPFaPAPFAFF FA AP Py yx x例例2： 如圖，由橢圓的定義：橢圓上的點到兩個如圖，由橢圓的定義：橢圓上的點到兩個定點之間的距離為定值定點之間的距離為定值|MF|+|MF|=10|MF|+|MA|=10- |MF|+|MA|=10+ (|MA|-|MF|)10+ |AF|因此，當(dāng)因此，當(dāng)|AF|最大時，最大時， |MA|+|MF|是最大值。是最大值。具體解題過程如下：具體解題過程如下：已知橢圓已知橢圓 的右焦點的右焦點F，且

3、有定點且有定點A（1，1），），又點又點M是橢圓上一動點。問是橢圓上一動點。問|MA|+|MF|是否有最值，是否有最值，若有，求出最值并指出點若有，求出最值并指出點M的坐標(biāo)的坐標(biāo)19y25x22 分析：分析：則則F的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(4,0)解：解： 設(shè)橢圓的左焦點為設(shè)橢圓的左焦點為F由橢圓的定義得：由橢圓的定義得： |MF|+|MF|=10|MF|+|MA|=10- |MF|+|MA|連連AF，延長交橢圓于延長交橢圓于M則則| |MA|-|MF| | |AF|當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)M,A,F三點共線時，等號成立。三點共線時，等號成立。 |MA|-|MF|的最大值為的最大值為 |AF|，這時這時M與與

4、M 重合重合 |AF|=141 2 ）（26 |MF|+|MA| 的最大值為的最大值為2610 要使要使|MF|+|MA|最大，最大， 即要使即要使|MA|-|MF|最大，最大，問題：本題解題到此結(jié)束了嗎？問題：本題解題到此結(jié)束了嗎？最小值為最小值為 2610 24yxx xy y例例1：在圓在圓x2+y2=4上求一點上求一點P，使它到直線使它到直線L：3x-2y-16=0的距離最短。的距離最短。222316略解：略解：圓心到直線圓心到直線L的距離的距離d1= 131316 所以圓上的點到直線的最短距離為所以圓上的點到直線的最短距離為 d=d1-r2131316 思考：思考： 例例1是否還有其

5、他解題方法？是否還有其他解題方法？問題：直線問題：直線L L的方程改為的方程改為 3x-2y-6=03x-2y-6=0， 其結(jié)果又如何？其結(jié)果又如何？21313161313216dmin 圓上的點到直線的最短距離即為兩平行直線間的距離圓上的點到直線的最短距離即為兩平行直線間的距離另解：另解：設(shè)平行于直線設(shè)平行于直線L且與圓相切的直線方程：且與圓相切的直線方程：3x-2y+m=013x2+6mx+m2-16=0直線與圓相切直線與圓相切=36 m2-52(m2-16)=0 m=132m2=52，代入圓代入圓x2+y2=4整理得：整理得：例例2 2、求橢圓、求橢圓 上的點到直線上的點到直線 的距的距

6、離的最大值和最小值，并求取得最值時橢圓上點的坐標(biāo)離的最大值和最小值，并求取得最值時橢圓上點的坐標(biāo). .2212xy2 3yx思維導(dǎo)圖：思維導(dǎo)圖：求與求與 平行的橢圓平行的橢圓的切線的切線2 3yx切線與直線切線與直線 的距離為的距離為最值，切點就是所求的點最值，切點就是所求的點. . 2 3yxx xy yo o例例2 2、求橢圓、求橢圓 上的點到直線上的點到直線 的距的距離的最大值和最小值，并求取得最值時橢圓上點的坐標(biāo)離的最大值和最小值，并求取得最值時橢圓上點的坐標(biāo). .2212xy2 3yx解：設(shè)橢圓與解：設(shè)橢圓與 平行的切線方程為平行的切線方程為 2 3yxyxb22(1)12yxbxy

7、222234220(4 )4 3 (22)03xbxbbbb minmax61)3,;2362)3,.2bdbd 當(dāng)時 代 入 (1)得當(dāng)時 代 入 (1)得 2yx4yx例例3 求點求點 到橢圓到橢圓 上點的最大距離，上點的最大距離，并求出此時橢圓上的點的坐標(biāo)。并求出此時橢圓上的點的坐標(biāo)。)230(P，1y4x22 本題可以根據(jù)橢圓的方程設(shè)出滿足條件的本題可以根據(jù)橢圓的方程設(shè)出滿足條件的點的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點間的距離公式借點的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點間的距離公式借助于二次函數(shù)求出此最大值，并求出點的助于二次函數(shù)求出此最大值，并求出點的坐標(biāo)。坐標(biāo)。分析：分析：此時，此時，3x21y ，所以所以 的最

8、大值為的最大值為PQ7即此時即此時Q的的坐標(biāo)為：坐標(biāo)為：），）、（，（213213 設(shè)點設(shè)點 Q(x,y)為橢圓為橢圓 上的任意一點，上的任意一點，1y4x22 則則 2PQ22)23y(0 x ）（又因為又因為x2 = 4- 4y2 所以所以 2PQ49y3yy4422 425y3y32 7)21y(32 （1y1）解：解：例例3 求點求點 到橢圓到橢圓 上點的最大距離，上點的最大距離，并求出此時橢圓上的點的坐標(biāo)。并求出此時橢圓上的點的坐標(biāo)。)230(P，1y4x22 。最最大大距距離離是是上上的的使使其其到到橢橢圓圓求求：點點71y4x),m, 0(P22 思考題：思考題： 2214xy例

9、例1 1： 已知拋物線已知拋物線y y2 2=4x=4x，以拋物線上兩點以拋物線上兩點A(4,4)A(4,4)、B(1,-2)B(1,-2)的連線為底邊的的連線為底邊的ABPABP，其頂點其頂點P P在拋物線的弧在拋物線的弧ABAB上運動，求：上運動，求： ABPABP的最大面的最大面積及此時點積及此時點P P的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。 動點在弧動點在弧AB上運動，可以設(shè)出點上運動，可以設(shè)出點P的坐標(biāo)，只要求的坐標(biāo)，只要求出點出點P到線段到線段AB所在直線所在直線AB的最大距離即為點的最大距離即為點P到線段到線段AB的最大距離，也就求出了的最大距離，也就求出了ABP的最大面積。的最大面積。 要使要使AB

10、P的面積最大，只要點的面積最大，只要點P到直線到直線AB的距離的距離d最大。最大。設(shè)點設(shè)點P( )yy，42解：由已知：解：由已知： |AB|=22)24()14( 2x-y-4=0直線直線AB：*解題過程如下：解題過程如下：*分析：分析：d=54y2y2 528y2y2 5291y2 ）（由已知由已知：2y4dmax=529此時，此時，y=1, x = 41d 21AB=2152953427 點的坐標(biāo)為點的坐標(biāo)為( ，1 )41Smax= 我們可以連接我們可以連接AB，作平行作平行AB的直線的直線L與拋物線相切，與拋物線相切，求出直線求出直線L的方程，即可求出直線的方程，即可求出直線L與與A

11、B間的距離，從而間的距離，從而求出求出ABP面積的最大值和點面積的最大值和點P的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。分析：分析：y2-2y+2m=0設(shè)直線設(shè)直線L與拋物線與拋物線 y2=4x相切，相切，直線直線AB：2x-y-4=0直線直線L的方程為：的方程為：2x-y+m=0 （*）=4-8m=0,m=21此時，此時，y=1,x= 41直線直線L的方程為：的方程為：2x-y+ =021兩直線間的距離兩直線間的距離 d=529另解：另解：把（把（*）代入拋物線的方程得）代入拋物線的方程得其他過程同上。其他過程同上。例例4 4、設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點、設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點A A（2 2，0 0）、）、B B（0 0，1

12、 1）是它）是它的兩個頂點，直線的兩個頂點，直線 與橢圓交于與橢圓交于E E、F F兩點，兩點，求四邊形求四邊形AEBFAEBF面積的最大值面積的最大值. .(0)ykxkA AF FE EB Bx xy y思維導(dǎo)圖：思維導(dǎo)圖：用用k k表示四邊形的面積表示四邊形的面積根據(jù)基本不等式求最值根據(jù)基本不等式求最值 例例4 4、設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點、設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點A A（2 2，0 0）、）、B B（0 0，1 1）是它）是它的兩個頂點，直線的兩個頂點，直線 與橢圓交于與橢圓交于E E、F F兩點，兩點，求四邊形求四邊形AEBFAEBF面積的最大值面積的最大值. .(0)ykxk解析：依題意設(shè)

13、得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為解析：依題意設(shè)得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 直線直線ABAB、EFEF的方程分別為的方程分別為 設(shè)設(shè)2214xy20,(0)xyykxk112212( ,)(,)()E x kxF x kxxx221222122,41414xyxxkkykx 根據(jù)點到直線距離公式及上式，點根據(jù)點到直線距離公式及上式，點E E、F F到到ABAB的距離分別為的距離分別為2111222222222(1214)55(14)222(1214)55(14)xkxkkhkxkxkkhk5AB 又四邊形四邊形AFBEAFBE的面積為的面積為121()2SAB hh2222222214(12 )2(12 )525(14)

14、(14)(12 12 214kkSkkkkkkkkkmax121.22 2kkS當(dāng)且僅當(dāng)即時成立 22132xy例例5 5、點、點A A、B B分別是橢圓分別是橢圓 的長軸的左右端的長軸的左右端點，點，F(xiàn) F為右焦點，為右焦點，P P在橢圓上，位于在橢圓上，位于x x軸的上方，且軸的上方，且PAPFPAPF若若M M為橢圓長軸為橢圓長軸ABAB上一點，上一點，M M到直線到直線APAP的距離等于的距離等于|MB|.|MB|.求求橢圓上點到點橢圓上點到點M M的距離的最小值的距離的最小值. .x xy yA AB BF FM MP P思維導(dǎo)圖：思維導(dǎo)圖：把所求距離表示為橢圓把所求距離表示為橢圓上點的橫坐標(biāo)的函數(shù)上點的橫坐標(biāo)的函數(shù)求這個函數(shù)的最小值求這個函數(shù)的最小值 2213620 xy解析：由已知可得點解析：由已知可得點A(-6A(-6，0)0)、F(4,0),F(4,0),設(shè)點設(shè)點P(x,yP(x,y) )，則，則222(6, ),(4, ),(6)(4)0