2012高考理科數(shù)學重慶卷試題及答案

1、.陜西省西安市附屬遠程教育學校2012年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（重慶卷）數(shù)學1. 填空題：本大題共10小題，每小題5分，共計50分.在每小題給出的四個備選選項中，只有一個是符合題目要求的.（1） 在等差數(shù)列中，則的前5項和= （A）7 （B）15 （C）20 （D）25 （2） 不等式的解集為（A） （B） （C） （D） （3） 對任意的實數(shù)k，直線y=kx+1與圓 的位置關系一定是（A）相離 （B）相切 （C）相交但直線不過圓心 （D）相交且直線過圓心（4） 的展開式中常數(shù)項為 （A） （B） （C） （D）105（5）設是議程的兩個根，則的值為（A）-3 （B）-1 （C） 1 （

2、D）3（6）設R，向量且，bc,則（A） （B） （C） （D）10（7）已知是定義在R上的偶函數(shù)，且以2為周期，則“為0,1上的增函數(shù)”是“為3，4上的減函數(shù)”的（A）既不充分也不必要的條件 （B）充分而不必要的條件 （C）必要而不充分的條件 （D）充要條件（8）設函數(shù)在R上可導，其導函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如題（8）圖所示，則下列結論中一定成立的是（A）函數(shù)有極大值和極小值 （B）函數(shù)有極大值和極小值 （C）函數(shù)有極大值和極小值 （D）函數(shù)有極大值和極小值（9）設四面體的六條棱的長分別為1，1，1，1，和，且長為的棱與長為的棱異面，則的取值范圍是（A） （B） （C） （D）（10）設平面點集

3、，則所表示的平面圖形的面積為（A） （B） （C） （D）二 填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案分別填寫在答題卡相應位置上.（11）若，其中為虛數(shù)單位，則 ；（12） .（13）設的內(nèi)角的對邊分別為，且則 . （14）過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，若則= .（15）某藝校在一天的6節(jié)課中隨機安排語文、數(shù)學、外語三門文化課和其他三門藝術課個1節(jié)，則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術課的概率為 （用數(shù)字作答）.三 解答題：本大題共6小題，共75 分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(16) （本小題滿分13分，（）小問6分，（）小問7分.）設其中，曲線在點

4、處的切線垂直于軸.（） 求的值；（） 求函數(shù)的極值.（17） （本小題滿分13分，（）小問5分，（）小問8分.）甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一票.約定甲先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結束.設甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響.（） 求甲獲勝的概率；（） 求投籃結束時甲的投籃次數(shù)的分布列與期望.18. （本小題滿分13分（）小問8分（）小問5分）設，其中（）求函數(shù) 的值域（）若在區(qū)間上為增函數(shù)，求 的最大值.19. （本小題滿分12分（）小問4分（）小問8分） 如圖，在直三棱柱 中，AB=4，AC=BC=3，D為AB的中點（）求點C到平面

5、的距離;（）若 求二面角 的平面角的余弦值.20. （本小題滿分12分（）小問5分（）小問7分） 如圖，設橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左右焦點分別為，線段 的中點分別為，且 是面積為4的直角三角形.（）求該橢圓的離心率和標準方程；（）過 做直線交橢圓于P，Q兩點，使，求直線的方程.（21）（本小題滿分12分，（I）小問5分，（II）小問7分.） 設數(shù)列的前項和滿足，其中. （I）求證：是首項為1的等比數(shù)列； （II）若，求證：，并給出等號成立的充要條件.二2012年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（重慶卷）數(shù)學試題（理工農(nóng)醫(yī)類）答案一.選擇題：每小題5分，滿分50分. (1)B

6、(2)A (3)C (4)B (5)A (6)B (7)D (8)D (9)A (10)D二填空題：每小題5分，滿分25分.（11）4 （12） （13） （14） （15）三.解答題：滿分75分（16）（本題13分） 解：（）因，故. 由于曲線在點處的切線垂直于y軸，故該切線斜率為0，即，從而，解得a=-1.（）由（）知令，解得（因不在定義域內(nèi)，舍去）.當時，故在（0,1）上為減函數(shù)；當時，故在上為增函數(shù).故在處取得極小值.（17）（本題13分）解：設Ak，Bk分別表示第k次投籃投中，則 （）記“甲獲勝”為事件C，由互斥事件有一個發(fā)生的概率與相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式知（）的所有可能

7、值為1，2，3.由獨立性知，.綜上知，有分布列123P從而，(次).（18）（本題13分）解：（）因，所以函數(shù)的值域是，.（）因在每個閉區(qū)間上為增函數(shù)，故在每個閉區(qū)間上為增函數(shù).依題意知對某個成立，此時必有k=0，于是解得，故的最大值為.（19）（本題12分）解：（）由AC=BC,D為AB的中點，得CDAB.又CDAA1，故CD面AA1BB1，所以點C到平面AA1BB1的距離為.（）解法一：如答（19）圖1，取D1為AB的中點，連結DD1，則DD1 AA1CC1，又由（）知CDA1ABB1，故CDA1D，CDDD1，所以A1DD1為所求的二面角A1-CD-C1的平面角.因A1D為A1C在面A1

8、ABB1上的射影，又已知AB1A1C，由三垂線定理的逆定理得AB1A1D，從而A1AB1、A1DA都與B1互余，因此A1AB1=A1DA，所以Rt.因此,即，得.從而.所以，在中，（）解法二：如答（19）圖2，過D作DD1 AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，易知DB,DC,DD1兩兩垂直，以D為原點，射線DB,DC,DD1分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標系D-xyz.設直三棱柱的高為h，則，從而，由，有.故.設平面的法向量為，則，即取=1，得.設平面的法向量為，則，即取，得，所以.所以二面角A1-CD-C1的平面的余弦值為.（20）（本題12分）解：（）如答（20）圖，設所求

9、橢圓的標準方程為，右焦點為.因是直角三角形，因此，故為直角，因此，得.結合得，故，所以離心率.在Rt中，故.由題設條件=4得=4，從而=20.因此所求橢圓的標準方程為：（）由（）知，有題意知直線l的傾斜角不為0，故可設直線l的方程為：代入橢圓方程得設，則，是上面方程的兩根，因此又，所以由，得，即，解得.所以滿足條件的直線有兩條，其方程分別為和.（21）（本小題12分）（）證法一：由得即.因，故得.又由題設條件知，兩式相減得，即，由，知，因此.綜上，對所有成立.從而使首項為1，公比為的等比數(shù)列.證法二：用數(shù)學歸納法證明.當n=1時，由，得，即，再由，得，所以結論成立.假設n=k時，結論成立，即，那么.這就是說，當n=k+1時，結論也成立.綜上可得，對任意，.因此是首項為1，公比為的等比數(shù)列.（）證法一：當n=1或2時，顯然，等號成立.設且，由（）知，所以要證的不等式化為，即證：.當時，上面的不等式的等號成立.當時，與同為負；當時，與同為正.因此當時，總有，即.上面不等式對r從1到n-1求和得，由此得.綜上，當時，有，當且僅當n=1,2或時等號成立.證法二：當n=1或2時，顯然，等號成立.當時，等號也成立