2012高考理科數(shù)學(xué)重慶卷試題及答案

1、.陜西省西安市附屬遠(yuǎn)程教育學(xué)校2012年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（重慶卷）數(shù)學(xué)1. 填空題：本大題共10小題，每小題5分，共計(jì)50分.在每小題給出的四個(gè)備選選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的.（1） 在等差數(shù)列中，則的前5項(xiàng)和= （A）7 （B）15 （C）20 （D）25 （2） 不等式的解集為（A） （B） （C） （D） （3） 對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，直線(xiàn)y=kx+1與圓 的位置關(guān)系一定是（A）相離 （B）相切 （C）相交但直線(xiàn)不過(guò)圓心 （D）相交且直線(xiàn)過(guò)圓心（4） 的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為 （A） （B） （C） （D）105（5）設(shè)是議程的兩個(gè)根，則的值為（A）-3 （B）-1 （C） 1 （

2、D）3（6）設(shè)R，向量且，bc,則（A） （B） （C） （D）10（7）已知是定義在R上的偶函數(shù)，且以2為周期，則“為0,1上的增函數(shù)”是“為3，4上的減函數(shù)”的（A）既不充分也不必要的條件 （B）充分而不必要的條件 （C）必要而不充分的條件 （D）充要條件（8）設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如題（8）圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（A）函數(shù)有極大值和極小值 （B）函數(shù)有極大值和極小值 （C）函數(shù)有極大值和極小值 （D）函數(shù)有極大值和極小值（9）設(shè)四面體的六條棱的長(zhǎng)分別為1，1，1，1，和，且長(zhǎng)為的棱與長(zhǎng)為的棱異面，則的取值范圍是（A） （B） （C） （D）（10）設(shè)平面點(diǎn)集

3、，則所表示的平面圖形的面積為（A） （B） （C） （D）二 填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案分別填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上.（11）若，其中為虛數(shù)單位，則 ；（12） .（13）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且則 . （14）過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，若則= .（15）某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門(mén)文化課和其他三門(mén)藝術(shù)課個(gè)1節(jié)，則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為 （用數(shù)字作答）.三 解答題：本大題共6小題，共75 分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.(16) （本小題滿(mǎn)分13分，（）小問(wèn)6分，（）小問(wèn)7分.）設(shè)其中，曲線(xiàn)在點(diǎn)

4、處的切線(xiàn)垂直于軸.（） 求的值；（） 求函數(shù)的極值.（17） （本小題滿(mǎn)分13分，（）小問(wèn)5分，（）小問(wèn)8分.）甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一票.約定甲先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時(shí)投籃結(jié)束.設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響.（） 求甲獲勝的概率；（） 求投籃結(jié)束時(shí)甲的投籃次數(shù)的分布列與期望.18. （本小題滿(mǎn)分13分（）小問(wèn)8分（）小問(wèn)5分）設(shè)，其中（）求函數(shù) 的值域（）若在區(qū)間上為增函數(shù)，求 的最大值.19. （本小題滿(mǎn)分12分（）小問(wèn)4分（）小問(wèn)8分） 如圖，在直三棱柱 中，AB=4，AC=BC=3，D為AB的中點(diǎn)（）求點(diǎn)C到平面

5、的距離;（）若 求二面角 的平面角的余弦值.20. （本小題滿(mǎn)分12分（）小問(wèn)5分（）小問(wèn)7分） 如圖，設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸在x軸上，上頂點(diǎn)為A，左右焦點(diǎn)分別為，線(xiàn)段 的中點(diǎn)分別為，且 是面積為4的直角三角形.（）求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；（）過(guò) 做直線(xiàn)交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，使，求直線(xiàn)的方程.（21）（本小題滿(mǎn)分12分，（I）小問(wèn)5分，（II）小問(wèn)7分.） 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足，其中. （I）求證：是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列； （II）若，求證：，并給出等號(hào)成立的充要條件.二2012年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（重慶卷）數(shù)學(xué)試題（理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)）答案一.選擇題：每小題5分，滿(mǎn)分50分. (1)B

6、(2)A (3)C (4)B (5)A (6)B (7)D (8)D (9)A (10)D二填空題：每小題5分，滿(mǎn)分25分.（11）4 （12） （13） （14） （15）三.解答題：滿(mǎn)分75分（16）（本題13分） 解：（）因，故. 由于曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)垂直于y軸，故該切線(xiàn)斜率為0，即，從而，解得a=-1.（）由（）知令，解得（因不在定義域內(nèi)，舍去）.當(dāng)時(shí)，故在（0,1）上為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，故在上為增函數(shù).故在處取得極小值.（17）（本題13分）解：設(shè)Ak，Bk分別表示第k次投籃投中，則 （）記“甲獲勝”為事件C，由互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率與相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式知（）的所有可能

7、值為1，2，3.由獨(dú)立性知，.綜上知，有分布列123P從而，(次).（18）（本題13分）解：（）因，所以函數(shù)的值域是，.（）因在每個(gè)閉區(qū)間上為增函數(shù)，故在每個(gè)閉區(qū)間上為增函數(shù).依題意知對(duì)某個(gè)成立，此時(shí)必有k=0，于是解得，故的最大值為.（19）（本題12分）解：（）由AC=BC,D為AB的中點(diǎn)，得CDAB.又CDAA1，故CD面AA1BB1，所以點(diǎn)C到平面AA1BB1的距離為.（）解法一：如答（19）圖1，取D1為AB的中點(diǎn)，連結(jié)DD1，則DD1 AA1CC1，又由（）知CDA1ABB1，故CDA1D，CDDD1，所以A1DD1為所求的二面角A1-CD-C1的平面角.因A1D為A1C在面A1

8、ABB1上的射影，又已知AB1A1C，由三垂線(xiàn)定理的逆定理得AB1A1D，從而A1AB1、A1DA都與B1互余，因此A1AB1=A1DA，所以Rt.因此,即，得.從而.所以，在中，（）解法二：如答（19）圖2，過(guò)D作DD1 AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，易知DB,DC,DD1兩兩垂直，以D為原點(diǎn)，射線(xiàn)DB,DC,DD1分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.設(shè)直三棱柱的高為h，則，從而，由，有.故.設(shè)平面的法向量為，則，即取=1，得.設(shè)平面的法向量為，則，即取，得，所以.所以二面角A1-CD-C1的平面的余弦值為.（20）（本題12分）解：（）如答（20）圖，設(shè)所求

9、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，右焦點(diǎn)為.因是直角三角形，因此，故為直角，因此，得.結(jié)合得，故，所以離心率.在Rt中，故.由題設(shè)條件=4得=4，從而=20.因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（）由（）知，有題意知直線(xiàn)l的傾斜角不為0，故可設(shè)直線(xiàn)l的方程為：代入橢圓方程得設(shè)，則，是上面方程的兩根，因此又，所以由，得，即，解得.所以滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)有兩條，其方程分別為和.（21）（本小題12分）（）證法一：由得即.因，故得.又由題設(shè)條件知，兩式相減得，即，由，知，因此.綜上，對(duì)所有成立.從而使首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列.證法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)n=1時(shí)，由，得，即，再由，得，所以結(jié)論成立.假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即，那么.這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立.綜上可得，對(duì)任意，.因此是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列.（）證法一：當(dāng)n=1或2時(shí)，顯然，等號(hào)成立.設(shè)且，由（）知，所以要證的不等式化為，即證：.當(dāng)時(shí)，上面的不等式的等號(hào)成立.當(dāng)時(shí)，與同為負(fù)；當(dāng)時(shí)，與同為正.因此當(dāng)時(shí)，總有，即.上面不等式對(duì)r從1到n-1求和得，由此得.綜上，當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)且僅當(dāng)n=1,2或時(shí)等號(hào)成立.證法二：當(dāng)n=1或2時(shí)，顯然，等號(hào)成立.當(dāng)時(shí)，等號(hào)也成立