平面向量的概念及運算知識總結(jié)

1、平面向量的概念及運算一【課標(biāo)要求】（ 1）平面向量的實際背景及基本概念通過力和力的分析等實例， 了解向量的實際背景， 理解平面向量和向量相等的含義， 理解向量的幾何表示；（ 2）向量的線性運算通過實例，掌握向量加、減法的運算，并理解其幾何意義；通過實例，掌握向量數(shù)乘的運算，并理解其幾何意義，以及兩個向量共線的含義；了解向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義（ 3）平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示了解平面向量的基本定理及其意義；掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；會用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運算；理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件二【命題走向】本講內(nèi)容屬于平面向量的基礎(chǔ)性內(nèi)容， 與平面向量的數(shù)量積比較

2、出題量較小。 以選擇題、填空題考察本章的基本概念和性質(zhì)， 重點考察向量的概念、 向量的幾何表示、 向量的加減法、實數(shù)與向量的積、兩個向量共線的充要條件、向量的坐標(biāo)運算等。此類題難度不大，分值59 分。預(yù)測 20XX 年高考：（ 1）題型可能為 1 道選擇題或 1 道填空題；（ 2）出題的知識點可能為以平面圖形為載體表達(dá)平面向量、借助基向量表達(dá)交點位置或借助向量的坐標(biāo)形式表達(dá)共線等問題。三【要點精講】1向量的概念向量既有大小又有方向的量。向量一般用a,b,c 來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如：AB幾何表示法AB， a ；坐標(biāo)表示法axiy j( x, y) 。向量的大小即向量的

3、模（長度），記作|AB| 即向量的大小，記作a | 。向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小零向量長度為0 的向量，記為0 ，其方向是任意的，0 與任意向量平行零向量a 0 a 0。由于0 的方向是任意的，且規(guī)定0 平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行（共線）的問題中務(wù)必看清楚是否有“非零向量 ”這個條件。（注意與0 的區(qū)別）單位向量模為1 個單位長度的向量，向量a0 為單位向量 a0 1。平行向量（共線向量）方向相同或相反的非零向量。任意一組平行向量都可以移到同一直線上，方向相同或相反的向量，稱為平行向量，記作a b 。由于向量可以進行任意的平移(即自由向量 )，平行向量總可以平移到同一直線上

4、，故平行向量也稱為共線向量。數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的 “共線” 與幾何中的 “共線”、的含義， 要理解好平行向量中的 “平行”與幾何中的“平行”是不一樣的相等向量長度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為a b 。大小相等，方向相同 ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 )x1x2 。y1y22向量的運算（ 1）向量加法求兩個向量和的運算叫做向量的加法設(shè) ABa, BCb ，則 a +b = ABBC = AC 。規(guī)定：（ 1） 0aa0a ；（ 2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律；向量加法的“三角形法

5、則”與“平行四邊形法則”（ 1）用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量。（ 2）三角形法則的特點是 “首尾相接” ，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點當(dāng)兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當(dāng)兩向量是首尾連接時，用三角形法則。向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加：ABBCCDPQQRAR ，但這時必須“首尾相連”。（ 2）向量的減法相反向量：與a 長度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量記作a , 零向量的

6、相反向量仍是零向量。關(guān)于相反向量有：（ i ） ( a) = a ； (ii)a +( a )=(a )+ a =0； (iii) 若 a 、 b 是互為相反向量，則 a =b , b = a , a + b = 0 。向量減法向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 與 b 的差，記作： ab a (b) 求兩個向量差的運算，叫做向量的減法作圖法： ab 可以表示為從 b 的終點指向 a 的終點的向量（a 、 b 有共同起點） 。（ 3）實數(shù)與向量的積實數(shù) 與向量 a 的積是一個向量，記作 a ，它的長度與方向規(guī)定如下：（）aa ；（） 當(dāng)0 時， a 的方向與 a 的方向相同； 當(dāng)0 時，

7、a 的方向與 a 的方向相反；當(dāng)0 時，a0 ，方向是任意的。數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律3兩個向量共線定理：向量 b 與非零向量 a 共線有且只有一個實數(shù)，使得 b = a 。4平面向量的基本定理如果 e1, e2 是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量a ，有且只有一對實數(shù)1 , 2 使： a 1e12e2 其中不共線的向量e1, e2 叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底5平面向量的坐標(biāo)表示（ 1）平面向量的坐標(biāo)表示：在直角坐標(biāo)系中，分別取與x 軸、 y 軸方向相同的兩個單位 向 量 i , j作 為 基 底 由 平 面 向 量 的 基 本 定 理知 ， 該 平

8、面 內(nèi) 的 任 一 向 量 a 可 表 示 成a xi yj，由于 a 與數(shù)對 (x,y)是一一對應(yīng)的， 因此把 (x,y)叫做向量 a 的坐標(biāo)，記作 a =(x,y)，其中 x 叫作 a 在 x 軸上的坐標(biāo)，y 叫做在 y 軸上的坐標(biāo)。規(guī)定：（ 1）相等的向量坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等的向量；（ 2）向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)系。（ 2）平面向量的坐標(biāo)運算：若 ax , y ,bx , y ，則 a bx x , yy ；11221212若 A x1 , y1 , B x2 , y2，則 AB x2x , y2y ；11若 a =(x,

9、y)，則a =(x,y)；若 ax1 , y1 ,bx2 , y2，則 a / bx1 y2x2 y10 。6向量的數(shù)量積（ 1）兩個非零向量的夾角已知非零向量a 與 a，作 OA a ，OB b ，則 AA （ ）叫 a 與 b 的夾角；說明：（ 1）當(dāng) 時， a 與 b 同向；（ 2）當(dāng) 時， a 與 b 反向；（ 3）當(dāng) 時， a 與 b 垂直，記 a b ；2（ 4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的，范圍0 180。（ 2）數(shù)量積的概念已知兩個非零向量a 與b，它們的夾角為，則 a · a ·bcos叫做 a 與b的b =數(shù)量積（或內(nèi)積） 。規(guī)定 0 a

10、0 ；向量的投影：b cos= a b R，稱為向量 b 在 a 方向上的投影。投影的絕對值稱| a |為射影；（ 3）數(shù)量積的幾何意義： a ·b 等于 a 的長度與 b 在 a 方向上的投影的乘積（ 4）向量數(shù)量積的性質(zhì)向量的模與平方的關(guān)系：a aa2| a |2 。乘法公式成立a b a b a 2 b 222ab ；22a b b 222a ba2a 2a b b ；平面向量數(shù)量積的運算律交換律成立： a bba ；對實數(shù)的結(jié)合律成立：aba babR ；分配律成立：a bca cb ccab 。向量的夾角： cos= cosa,bab=x1 x2y1 y2。a bx12y1

11、2x2 2y2 2當(dāng)且僅當(dāng)兩個非零向量a 與 b 同方向時， =00，當(dāng)且僅當(dāng)a 與 b 反方向時 =1800，同時 0 與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題（ 5）兩個向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算已知兩個向量 a(x1, y1 ), b( x2, y2 ) ，則 a ·b = x1x2y1 y2 。6a與b的夾角為900 則稱 a 與b垂直，記作 a b。（ ）垂直：如果兩個非零向量垂直的充要條件：a ba · b Ox1 x2y1 y2 0 ，平面向量數(shù)量積的性質(zhì)。（ 7）平面內(nèi)兩點間的距離公式2x22| a |x 2y2 。設(shè) a ( x, y) ，則 | a |y 或如

12、果表示向量 a 的有向線段的起點和終點的坐標(biāo)分別為( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) ，那么| a | ( x1 x2 ) 2( y1y2 )2(平面內(nèi)兩點間的距離公式 )2向量的應(yīng)用（ 1）向量在幾何中的應(yīng)用；（ 2）向量在物理中的應(yīng)用。五【思維總結(jié)】數(shù)學(xué)教材是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、形成基本技能的“藍(lán)本”, 能力是在知識傳授和學(xué)習(xí)過程中得到培養(yǎng)和發(fā)展的。新課程試卷中平面向量的有些問題與課本的例習(xí)題相同或相似，雖然只是個別小題，但它對學(xué)習(xí)具有指導(dǎo)意義，教學(xué)中重視教材的使用應(yīng)有不可估量的作用。因此，學(xué)習(xí)階段要在掌握教材的基礎(chǔ)上把各個局部知識按照一定的觀點和方法組織成整體，形成知識體系。學(xué)習(xí)本章主要樹立數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的觀點，以數(shù)代形， 以形觀數(shù)， 用代數(shù)的運算處理幾何問題， 特別是處理向量的相關(guān)位置關(guān)系，正確運用共線向量和平面向量的基本定理，計算向量的模、兩點的距離等。