圓錐曲線的最值

1、平泉中學(xué) 李軍璞【考點搜索【考點搜索】【考點搜索【考點搜索】 1. 圓錐曲線中取值范圍問題通常從圓錐曲線中取值范圍問題通常從兩個途徑思考，一是建立函數(shù)，用求值兩個途徑思考，一是建立函數(shù)，用求值域的方法求范圍；二是建立不等式，通域的方法求范圍；二是建立不等式，通過解不等式求范圍過解不等式求范圍. 2. 注意利用某些代數(shù)式的幾何特征注意利用某些代數(shù)式的幾何特征求范圍問題（如斜率、兩點的距離等）求范圍問題（如斜率、兩點的距離等）.【課前導(dǎo)引【課前導(dǎo)引】 1. 設(shè)設(shè)P(x, y)是曲線是曲線C：x2+y2+4x+3=0上任意一點，則上任意一點，則 的取值范圍是的取值范圍是 ( )yx【課前導(dǎo)引【課前導(dǎo)

2、引】3,3 .A ),3)3,( B. 33,33 C. ),3333,( D. 解析解析 注意數(shù)形結(jié)合，表示點注意數(shù)形結(jié)合，表示點(x, y)與原點連線的斜率與原點連線的斜率. 畫圖可知是畫圖可知是C. 解析解析 注意數(shù)形結(jié)合，表示點注意數(shù)形結(jié)合，表示點(x, y)與原點連線的斜率與原點連線的斜率. 畫圖可知是畫圖可知是C. 答案答案 C ) (2,)0(14),( . 2 2222的的最最大大值值為為則則上上變變化化在在曲曲線線若若動動點點yxbbyxyx )4( 2)40( 44 .A2bbbb44 C.2 bb2 D. )2( 2)20( 44 .B2bbbb) (2,)0(14),(

3、 . 2 2222的的最最大大值值為為則則上上變變化化在在曲曲線線若若動動點點yxbbyxyx )4( 2)40( 44 .A2bbbb44 C.2 bb2 D. )2( 2)20( 44 .B2bbbbA【鏈接高考【鏈接高考】【鏈接高考【鏈接高考】.),( ,)()1( )2( ;)(,),( )1( .),(),2(),( 0000222垂垂直直直直線線處處的的切切線線與與拋拋物物線線在在點點求求證證：為為取取極極小小值值的的正正數(shù)數(shù)中中使使設(shè)設(shè)有有極極小小值值為為何何值值時時求求當(dāng)當(dāng)并并的的函函數(shù)數(shù)表表示示為為關(guān)關(guān)于于將將是是拋拋物物線線上上的的動動點點過過一一定定點點設(shè)設(shè)拋拋物物線線A

4、PyxPxxxfxfxxfxAPyxPaaaAxy 例例1分析分析 本題考查向量的運算、函數(shù)極值，導(dǎo)本題考查向量的運算、函數(shù)極值，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識數(shù)的應(yīng)用等知識. 0)122)( , 0)21(2 :0)( .2)21(24)( .2)21( )()()( ),(),( )1( 223232422422222222 axxaxaxaxxfaxaxxfaaaxxaxaxaxAPxfaxaxayaxAP即即得得令令則則分析分析 本題考查向量的運算、函數(shù)極值，導(dǎo)本題考查向量的運算、函數(shù)極值，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識數(shù)的應(yīng)用等知識.解析解析; 0)( ,22223; 0)( ,222; 0)( ,1,22,2

5、2,222223221 xfaaxaaxfaaxaxfaxaaxaaxaxa時時當(dāng)當(dāng)時時當(dāng)當(dāng)時時當(dāng)當(dāng)此此方方程程有有三三個個根根.)(,22. 0)( ,22422有有極極小小值值時時或或當(dāng)當(dāng)時時當(dāng)當(dāng)xfaaxaxxfaax .)(,22. 0)( ,22422有有極極小小值值時時或或當(dāng)當(dāng)時時當(dāng)當(dāng)xfaaxaxxfaax axaxaxkAPaax 002201020,22:)1( )2( 的的斜斜率率直直線線則則知知由由.),(, 122 )(22,22),(,22220000222221202000222垂垂直直與與直直線線處處的的切切線線拋拋物物線線在在點點切切線線的的斜斜率率處處的的在在

6、點點又又拋拋物物線線APyxPaaaaaaakkaaxkyxPxyaaaaa ;: ) 1 ( .,),0, 0( 1)07( 2222FPPAOPPAPlCFOFOBOAxAFBbabyaxC求證垂足為垂線一、三象限的漸近線的在第作雙曲線過成等比數(shù)列、且滿足軸正半軸上在點右焦點是是右頂點：已知雙曲線屆月考題長郡例例2., )2( 范范圍圍的的取取值值的的離離心心率率求求雙雙曲曲線線、交交于于點點右右兩兩支支分分別別相相的的左左、與與雙雙曲曲線線若若eCEDCl., )2( 范范圍圍的的取取值值的的離離心心率率求求雙雙曲曲線線、交交于于點點右右兩兩支支分分別別相相的的左左、與與雙雙曲曲線線若若

7、eCEDCl:,)()( )1( 解解得得： xabycxbaycxbayl解析解析)., 0().0 ,(,).,(22cabPAcaAOFOBOAcabcaP 成成等等比比數(shù)數(shù)列列、),(),(22cabcbFPcabcaOP .,22FPPAOPPAcabFPPAcabOPPA .,22FPPAOPPAcabFPPAcabOPPA .)()( )2( 2222422222222bacxbaxbbayaxbcxbay .2 . 2.,., 0)(, 0)(2)(22222244242222242122224242242 eeaacababbabbabcaxxbabcacxbaxbab即即即

8、即即即.,),( )2( ;, )1( .23, 0,),3, 0( 恒恒在在一一條條直直線線上上切切線線的的交交點點兩兩點點處處的的、求求證證：拋拋物物線線、于于兩兩點點相相交交的的直直線線與與曲曲線線過過定定點點的的方方程程軌軌跡跡曲曲線線的的求求動動點點軸軸上上移移動動時時在在當(dāng)當(dāng)點點且且滿滿足足上上在在直直線線點點軸軸正正半半軸軸上上在在點點軸軸上上在在點點已已知知點點BRSRSCbaACMxPMQPMPMHPPQMyQxPH 例例3.41,323123,2231.23),(,3, 03),()3 ,(), 0(),0 ,( )1( 222xybbyaaxHQPMyxMbababaaP

9、MHPBQaP 設(shè)設(shè)則則設(shè)設(shè)解析解析.21:411 )(4,.)(4),(414141:),()41,(),41,(),( )2( 22121212111221222121222211xyxyxxaxxbSRAxxxxxyxxxxxxxySRxxxxRxxSbaA 求求導(dǎo)導(dǎo)得得對對上上點點在在即即的的方方程程為為則則直直線線設(shè)設(shè)法一法一.022. 0221,412:,323 24)(21412 24)(2141212122222222111121上上點點在在直直線線故故得得：代代入入并并解解之之得得聯(lián)聯(lián)立立即即即即處處的的切切線線方方程程為為：、拋拋物物線線上上 byaxBbyaxxxyxxx

10、xxxyxxxxyxxxyxxxxyRS),)(41,(),41,(. 0444:41),(:,),( 2122221122xxxxRxxSbakkxxyxyaxkbySRlAbaA 設(shè)設(shè)得得聯(lián)聯(lián)立立消消去去與與的的方方程程為為可可設(shè)設(shè)直直線線意意不不符符與與題題公公共共點點與與拋拋物物線線有有且且僅僅有有一一個個在在時時的的直直線線斜斜率率不不存存當(dāng)當(dāng)過過點點設(shè)設(shè)法二法二.02, 022:,)(4122,24 ,24,)(4421212222112121上上點點在在直直線線故故得得消消去去為為常常數(shù)數(shù)聯(lián)聯(lián)立立并并解解之之得得點點的的切切線線方方程程分分別別為為：、又又過過則則由由韋韋達(dá)達(dá)定定

11、理理： byaxBbyaxkkbakxxykxxxxxxyxxxyRSbakxxkxx例例4為為什什么么？圓圓是是否否共共、那那么么兩兩點點、線線交交于于的的垂垂直直平平分分線線與與雙雙曲曲如如果果線線段段的的方方程程求求直直線線中中點點、上上兩兩點點設(shè)設(shè)雙雙曲曲線線, , )2( ; )1( ).2 , 1(, 12 22DCBADCABABMABBAyx ),1(2, )1( xkyABAB：設(shè)設(shè)斜斜率率存存在在法法一一：顯顯然然例例4為為什什么么？圓圓是是否否共共、那那么么兩兩點點、線線交交于于的的垂垂直直平平分分線線與與雙雙曲曲如如果果線線段段的的方方程程求求直直線線中中點點、上上兩兩

12、點點設(shè)設(shè)雙雙曲曲線線, , )2( ; )1( ).2 , 1(, 12 22DCBADCABABMABBAyx 解析解析. 1012)2(2),(),(,0064)2(2)2(12222122112222 xyABkkkkxxeyxByxAkkxkkxkyxkkxy：直直線線滿滿足足則則設(shè)設(shè)時時當(dāng)當(dāng)?shù)玫茫河捎?12121212121212121222221212211)(2 ,)(21)(:,1212),(),(yyxxxxyyxxyyyyxxxxyxyxyxByxA 兩兩式式相相減減得得則則法法二二：設(shè)設(shè). 012. 1:, 121222 得得：代代入入yxxyABkAB. 012. 1:

13、, 121222 得得：代代入入yxxyABkAB解析解析 法一為韋達(dá)定理法，法二稱為點法一為韋達(dá)定理法，法二稱為點差法，當(dāng)涉及到弦的中點時，常用這兩差法，當(dāng)涉及到弦的中點時，常用這兩種途徑處理種途徑處理. 在利用點差法時，必須檢驗在利用點差法時，必須檢驗條件條件0是否成立是否成立.).4 , 3(),0 , 1(:121, : ., )2( 22BAyxxyMDMCMBMAMCDCDMCDCDABMABOMDCBA 得得由由滿滿足足中中點點因因此此只只需需證證點點中中為為故故圓圓心心為為弦弦又又上上垂垂直直平平分分線線即即在在故故為為弦弦因因共共圓圓于于圓圓、設(shè)設(shè)),6 , 3(63, 32

14、),(),(),(0116123, 3:00430004433222 MxyxxxyxMCDyxDyxCxxyxxyxyCD則則中中點點設(shè)設(shè)得得：由由方方程程又又.102 ,)6 , 3(.,1010221為為半半徑徑的的圓圓上上為為圓圓心心中中點點在在以以、又又 MCDDCBAMDMCMBMAMBMACDMDMC.102 ,)6 , 3(.,1010221為為半半徑徑的的圓圓上上為為圓圓心心中中點點在在以以、又又 MCDDCBAMDMCMBMAMBMACDMDMC解析解析充分分析平面圖形的幾何性質(zhì)可以使解充分分析平面圖形的幾何性質(zhì)可以使解題思路更清晰，在復(fù)習(xí)中必須引起足夠重視題思路更清晰，在

15、復(fù)習(xí)中必須引起足夠重視.,),1,()()(, ,1)0( 1 432122222222kkkkBQAQBPAPRBQAQBPAPBAQPbyaxbabyaxBA的的斜斜率率分分別別為為、設(shè)設(shè)且且有有的的動動點點、兩兩點點雙雙曲曲線線和和橢橢圓圓上上不不同同于于分分別別為為、的的公公共共頂頂點點和和雙雙曲曲線線為為橢橢圓圓、已已知知 例例5.,/),( )2( 242322212222的的值值求求若若均均為為兩兩曲曲線線的的右右焦焦點點個個焦焦點點一一分分別別為為雙雙曲曲線線和和橢橢圓圓的的、設(shè)設(shè)kkkkQFPFFF ; 0 )1(43214321 kkkkkkkk且且求求證證：.,/),(

16、)2( 242322212222的的值值求求若若均均為為兩兩曲曲線線的的右右焦焦點點個個焦焦點點一一分分別別為為雙雙曲曲線線和和橢橢圓圓的的、設(shè)設(shè)kkkkQFPFFF , 1, 1),(),( )1( 2222222212212211 byaxbyaxyxyxQP則則、的的坐坐標(biāo)標(biāo)分分別別為為、設(shè)設(shè)點點解析解析; 0 )1(43214321 kkkkkkkk且且求求證證：,.,224322212221221212111211122222222122221abkkabybayaxykkaxykaxykybaaxybaax 同同理理可可得得：即即,2,2,.2:,22,22224311222211

17、11111214321OQBQAQOPBPAPOyxabxxyxabaxyxaxyaxykkkkkk 則則為為原原點點設(shè)設(shè)同同利利可可得得于于是是. 0:)2()1(,.,:43212211 kkkkyxyxOQOPOQOP得得、由由于于是是共共線線與與故故由由條條件件知知 . 0:)2()1(,.,:43212211 kkkkyxyxOQOPOQOP得得、由由于于是是共共線線與與故故由由條條件件知知 , 1, )2( 22212212222222121 byaxbyaxyyxxOQOP又又.11,. /,21,21, 1,442222212122222222222212221221221ba

18、bayxbabaOFQFQFPFbyaxbyaxP 所所以以故故知知：又又有有在在雙雙曲曲線線上上又又點點. 84422 )()(, 4)(:, 444)(:)1(4321243221242322212434444212144221 kkkkkkkkkkkkkkbaabyxabkk所所以以同同理理可可得得得得由由圓錐曲線背景下的最值與定值圓錐曲線背景下的最值與定值問題問題第二課時 【考點搜索【考點搜索】【考點搜索【考點搜索】 1. 利用參數(shù)求范圍、最值問題；利用參數(shù)求范圍、最值問題； 2. 利用數(shù)形結(jié)合求解范圍、最值問題；利用數(shù)形結(jié)合求解范圍、最值問題； 3. 利用判別式求出范圍；利用判別式求

19、出范圍； 4. 新課程高考則突出了對向量與解析幾新課程高考則突出了對向量與解析幾何結(jié)合考查，如求軌跡、求角度、研究平行何結(jié)合考查，如求軌跡、求角度、研究平行與垂直關(guān)系等與垂直關(guān)系等. 要注意利用這些知識解題要注意利用這些知識解題.【課前導(dǎo)引【課前導(dǎo)引】) (,1001,:134 . 1 2122的的最最大大值值是是則則的的等等差差數(shù)數(shù)列列公公差差大大于于是是且且數(shù)數(shù)列列橢橢圓圓的的右右焦焦點點為為個個不不同同的的點點上上有有橢橢圓圓nFPFPPPnyxnn 201 D. 200 C. 199 B. 198 .A【課前導(dǎo)引【課前導(dǎo)引】解析解析 由于由于a2，c1，故橢圓上的點，故橢圓上的點到右焦

20、點的距離的最大值為到右焦點的距離的最大值為3，最小值，最小值為為1，為使，為使n最大，則最大，則3=1+(n 1)d，但但d.2011001)1(131001 nn，故故解析解析 由于由于a2，c1，故橢圓上的點，故橢圓上的點到右焦點的距離的最大值為到右焦點的距離的最大值為3，最小值，最小值為為1，為使，為使n最大，則最大，則3=1+(n 1)d，但但d答案答案 C .2011001)1(131001 nn，故故85 D. 21 C. 45 B. 85 .A 2. 曲線曲線 y=x4上的點到直線上的點到直線 x 2y 1=0的距離的最小值是的距離的最小值是( ) 85 D. 21 C. 45

21、B. 85 .A 2. 曲線曲線 y=x4上的點到直線上的點到直線 x 2y 1=0的距離的最小值是的距離的最小值是( ) 解析解析 設(shè)直線設(shè)直線L平行于直線平行于直線x=2y+1,且與且與曲線曲線y=x4相切于點相切于點P(x0，y0)，則所求最小，則所求最小值值d，即點，即點P到直線到直線x=2y+1的距離，的距離， .85518121512.161,21.21400003 yxdyxxy解析解析 D.85518121512.161,21.21400003 yxdyxxy【鏈接高考【鏈接高考】【鏈接高考【鏈接高考】.),(, )2( )1( .)1, 3( ,1 , 22為為定定值值證證明

22、明且且為為橢橢圓圓上上任任意意一一點點設(shè)設(shè)求求橢橢圓圓的的離離心心率率；共共線線與與兩兩點點、交交橢橢圓圓于于的的直直線線且且過過橢橢圓圓右右焦焦點點斜斜率率為為軸軸上上在在焦焦點點原原點點已已知知橢橢圓圓的的中中心心為為坐坐標(biāo)標(biāo) ROBOAOMMaOBOABAFxO例例1.,2),(),(. 02)(:, 1,),0 ,(),0( 1 222222212222122112222222222222222babacaxxbacaxxyxByxAbacacxaxbabyaxcxyABcFbabyax 則則令令化化簡簡得得代代入入的的方方程程為為則則直直線線設(shè)設(shè)橢橢圓圓方方程程為為解析解析.36,3

23、6.3,232,23, 0)()2(3, 0)()(3,),1, 3(),(2222222212121221121212121 aceabacbacbacacxxxxcxxcxycxyxxyyaOBOAayyxxOBOA故故離離心心率率即即又又得得共共線線與與由由1 3)3(2)3()3(.3)(3)(,),(,),(),(),(),(.331,3)1(: )2( 2221212222221212222122121212211222222222byyxxyxyxbyyxxyxMyyyxxxyxyxyxyxOMbyxbyaxba 即即在在橢橢圓圓上上由由已已知知得得設(shè)設(shè)可可化化為為所所以以橢橢圓

24、圓知知證證. 1, . 11,33,33. 0329233)(34)(3,83.21,23,23)1(222222222221212222212121212121222222221222221定定值值為為為為定定值值故故得得：代代入入又又知知：由由 byxbyxcccccxxxxcxcxxxyyxxcbabacaxxcbcacxx 例例2 設(shè)有拋物線設(shè)有拋物線 y2=2px(p0), 點點F是是其焦點其焦點, 點點C(a, 0)在正在正x軸上軸上 (異于異于F點點). 點點O為坐標(biāo)系原點為坐標(biāo)系原點. (1) 若過點若過點C的直線與拋物線相交于的直線與拋物線相交于A、B,且恒有且恒有AOB=9

25、0 , 求求a的值的值; (2) 當(dāng)當(dāng)a在什么范圍時在什么范圍時, 對于拋物線上的對于拋物線上的任意一點任意一點M (M與與O不重合不重合), CMF恒為銳恒為銳角？角？ ,)(2, 0)(2 :),(),(),( )1( 2221221222222211kpakxxaxxakxpakxkyxByxAaxkyC 方方程程則則有有將將直直線線方方程程代代入入拋拋物物線線記記的的直直線線為為設(shè)設(shè)過過解析解析).(2, 0)2(, 0,902 )( )(2212122121221221不不存存在在時時也也符符合合當(dāng)當(dāng)故故為為正正數(shù)數(shù)由由于于故故時時當(dāng)當(dāng)故故kpaaapayyxxAOBapaaxaxx

26、xkaxaxkyy 1 )0( 02)23(022)21(0)(2(, 0 ,),(),2(),0 ,(),0 ,2(),()2( 222 xapxpaxpxapxpaxyxaxpMCMFCMFyxaMCyxpMFaCpFyxM故故恒恒為為銳銳角角但但故故由由于于設(shè)設(shè))29,2()2, 0(,2,20 02300292, 0495, 024)493( 012223pppaCFpapapapapppaaappapa的的范范圍圍是是：條條件件的的故故知知滿滿足足應(yīng)應(yīng)舍舍去去重重合合和和時時但但解解得得：時時，則則時時，恒恒成成立立，為為使使 ., )3( ; 6,43 )2( ;1 )1( .,

27、:,)0( 1: 212121212222是是等等腰腰三三角角形形使使得得的的值值確確定定的的方方程程寫寫出出橢橢圓圓的的周周長長為為若若證證明明：設(shè)設(shè)的的對對稱稱點點關(guān)關(guān)于于直直線線是是點點的的一一個個公公共共點點與與橢橢圓圓是是直直線線、軸軸分分別別交交于于點點軸軸、與與直直線線離離心心率率為為、右右焦焦點點為為的的左左、已已知知橢橢圓圓FPFCFPFeABAMlFPClMBAyxaexyleFFbabyaxC 例例3).,(. ., 1, )., 0(),0 ,( , : )1( 22222222abcMbacabycxbyaxaexyaeaBAyxaexylBA 的的坐坐標(biāo)標(biāo)是是所所以

28、以點點這這里里得得由由坐坐標(biāo)標(biāo)分分別別是是的的、所所以以軸軸的的交交點點軸軸、與與分分別別是是直直線線、因因為為法法一一解析解析2221: ).,(),(eaabeaceaaeaabeacABAM 解得解得即即得得由由 .)1( ),(),( ),()., 0( ),0 ,( ,: 000000ayeaxaeayeaxABAMyxMaeaBAyxaexylBA 所以所以得得由由的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是設(shè)設(shè)的坐標(biāo)分別是的坐標(biāo)分別是、所以所以軸的交點軸的交點軸、軸、與與分別是直線分別是直線、因為因為證法二證法二.1 1, 0)1()1(2. 11)1(, 1)()1(, 1,222242222222222

29、0220eeeeeebaaeabyaxM 即即解得解得所以所以即即所以所以在橢圓上在橢圓上因為點因為點. 134. 3 , 1 , 2. 622 , 6.2 ,21e ,43 (2) 2222221 yxcabcacaFMFca橢圓方程為橢圓方程為所以所以得得的周長為的周長為由由時時當(dāng)當(dāng) ,.21,90, : (3) 112112110211dlFcPFFFPFFPFBAFFPFlPF的距離為的距離為到到設(shè)點設(shè)點即即必有必有為等腰三角形為等腰三角形要使要使為鈍角為鈍角解法一解法一 . ,32.321 ,31.11,110)(21212222221為等腰三角形為等腰三角形時時即當(dāng)即當(dāng)于是于是所以所以得得由由FPFeeeeeceecaeacedPF .1)1(2,13.22010),(,90,: 2202200000002112110211eaeyceexacxeyecxyyxPFFPFFPFBAFFPFlPF解得解得則則的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是設(shè)點設(shè)點必有必有為等腰三角形為等腰三角形要使要使為鈍角為鈍角所以所以因為因為解法二解法二. ,32.321 .31.1)1( ,4 ,41)1(21)3(2122222222222222211為等腰三角形為等腰三角形時時即當(dāng)即當(dāng)于是于是從而從而化簡得化簡得兩邊同時除以兩邊同時除以得得由由FPFeeeeeaceaececeFF