曾謹(jǐn)言量子力學(xué)第4章

1、4.14.1 力學(xué)量隨時(shí)間的演化力學(xué)量隨時(shí)間的演化 4.2 4.2 波包的運(yùn)動(dòng)，波包的運(yùn)動(dòng)，EhrenfestEhrenfest定理定理4.3 Schrdinger 4.3 Schrdinger 圖像與圖像與HeisenbergHeisenberg圖像圖像 4.4 4.4 * 守恒量與對(duì)稱(chēng)性的關(guān)系守恒量與對(duì)稱(chēng)性的關(guān)系4.5 4.5 全同粒子體系與波函數(shù)的交換對(duì)稱(chēng)性全同粒子體系與波函數(shù)的交換對(duì)稱(chēng)性第第4 章章 力學(xué)量隨時(shí)間的演化與對(duì)稱(chēng)性力學(xué)量隨時(shí)間的演化與對(duì)稱(chēng)性4.1 力學(xué)量隨時(shí)間的演化力學(xué)量隨時(shí)間的演化4.1.1 守恒量守恒量1. 經(jīng)典物理中的守恒量經(jīng)典物理中的守恒量動(dòng)量守恒：動(dòng)量守恒： 質(zhì)點(diǎn)

2、受的合外力為零質(zhì)點(diǎn)受的合外力為零機(jī)械能守恒：外力和內(nèi)非保守力不做功機(jī)械能守恒：外力和內(nèi)非保守力不做功角動(dòng)量守恒：質(zhì)點(diǎn)所受到的合外力矩為零角動(dòng)量守恒：質(zhì)點(diǎn)所受到的合外力矩為零2. 量子力學(xué)中的守恒量量子力學(xué)中的守恒量( )( ),( )A ttAt守恒量：守恒量：在任意態(tài)下力學(xué)量的在任意態(tài)下力學(xué)量的平均值平均值不隨時(shí)間變化不隨時(shí)間變化 守恒量：守恒量：力學(xué)量的值不隨時(shí)間變化力學(xué)量的值不隨時(shí)間變化在任意量子態(tài)在任意量子態(tài)下，力學(xué)量下，力學(xué)量A的平均值為的平均值為守恒的條件？守恒的條件？d( ),d ,ii11 ,( ,),ii1 ( , , ),iAA tAAttttHHAAAtAHAAHtAA

3、H1 ,iAA Httd1( ) ,diA tA Ht ,0A H d( ) 0dA tt若力學(xué)量不顯含時(shí)間，即若力學(xué)量不顯含時(shí)間，即0At則則若若iHtNotekkkkkkAAEH,)(,()( ,)( )(ttatatkkkkk可見(jiàn)：可見(jiàn)：若力學(xué)量若力學(xué)量A與體系的哈密頓量對(duì)易，則與體系的哈密頓量對(duì)易，則A為為守恒量。守恒量。選包括選包括H和和A在內(nèi)的一組力學(xué)量完全集，則在內(nèi)的一組力學(xué)量完全集，則體系的任意量子態(tài)可表示為體系的任意量子態(tài)可表示為3. 守恒量的性質(zhì)守恒量的性質(zhì)在在態(tài)下，測(cè)力學(xué)量態(tài)下，測(cè)力學(xué)量A的的Ak的概率為的概率為2)(tak則該概率隨時(shí)間的變化為則該概率隨時(shí)間的變化為2d

4、d( ) dd( ) ,(,( )( ) ,(,( )i1 ( ( ),)(,( )i ( ( ),ikkkkkkkkkkkaa tatttttHtttHtEt 復(fù)共軛項(xiàng)復(fù)共軛項(xiàng)復(fù)共軛項(xiàng)復(fù)共軛項(xiàng)2)0復(fù)共軛項(xiàng)結(jié)論：結(jié)論： 如果力學(xué)量如果力學(xué)量A不含時(shí)間，若不含時(shí)間，若A, H=0(即為守恒量即為守恒量)，則則無(wú)論體系處于什么狀態(tài)，無(wú)論體系處于什么狀態(tài)，A的平均值和測(cè)值概率均不隨時(shí)間變化。的平均值和測(cè)值概率均不隨時(shí)間變化。4. 經(jīng)典與量子力學(xué)中的守恒量間的關(guān)系經(jīng)典與量子力學(xué)中的守恒量間的關(guān)系5. 守恒量與定態(tài)守恒量與定態(tài) (1) 定態(tài)是體系的一種特殊狀態(tài)，即能量本征態(tài)，而守恒量則定態(tài)是體系的一種

5、特殊狀態(tài)，即能量本征態(tài)，而守恒量則 是一種特殊的力學(xué)量，與體系的是一種特殊的力學(xué)量，與體系的Hamilton量對(duì)易。量對(duì)易。 (2) 在在定態(tài)定態(tài)下一切下一切力學(xué)量的平均值力學(xué)量的平均值和和測(cè)值概率測(cè)值概率都不隨時(shí)間改變；都不隨時(shí)間改變； 而而守恒量守恒量則在則在一切狀態(tài)下的平均值一切狀態(tài)下的平均值和和測(cè)值概率測(cè)值概率都不隨時(shí)間都不隨時(shí)間 改變改變(1) 與經(jīng)典力學(xué)中的守恒量不同，量子力學(xué)中的守恒量不一定取與經(jīng)典力學(xué)中的守恒量不同，量子力學(xué)中的守恒量不一定取 確定的數(shù)值確定的數(shù)值. 若初始時(shí)刻體系處于守恒量若初始時(shí)刻體系處于守恒量A的本征態(tài)，則體系的本征態(tài)，則體系 將保持在該本征態(tài)。此態(tài)對(duì)應(yīng)的

6、量子數(shù)將伴隨終生，因此守將保持在該本征態(tài)。此態(tài)對(duì)應(yīng)的量子數(shù)將伴隨終生，因此守 恒量的本征態(tài)對(duì)應(yīng)的量子數(shù)稱(chēng)為恒量的本征態(tài)對(duì)應(yīng)的量子數(shù)稱(chēng)為好量子數(shù)。好量子數(shù)。(2) 量子體系的各守恒量并不一定都可以同時(shí)取確定值。量子體系的各守恒量并不一定都可以同時(shí)取確定值。例題例題1 判斷下列說(shuō)法的正誤判斷下列說(shuō)法的正誤(1)在非定態(tài)下，力學(xué)量的平均值隨時(shí)間變化在非定態(tài)下，力學(xué)量的平均值隨時(shí)間變化(錯(cuò)錯(cuò))(2) 設(shè)體系處在定態(tài)，則不含時(shí)力學(xué)量測(cè)值的概率不隨時(shí)間變化設(shè)體系處在定態(tài)，則不含時(shí)力學(xué)量測(cè)值的概率不隨時(shí)間變化(對(duì)對(duì))(3)設(shè)哈密頓量為守恒量，則體系處在定態(tài)設(shè)哈密頓量為守恒量，則體系處在定態(tài)（錯(cuò)）（錯(cuò)）(4)

7、 中心力場(chǎng)中的粒子處于定態(tài)，則角動(dòng)量取確定的數(shù)值中心力場(chǎng)中的粒子處于定態(tài)，則角動(dòng)量取確定的數(shù)值（錯(cuò)）（錯(cuò)）(5) 自由粒子處于定態(tài)，則動(dòng)量取確定值自由粒子處于定態(tài)，則動(dòng)量取確定值（錯(cuò)）（錯(cuò)）（能級(jí)是二重簡(jiǎn)并的）（能級(jí)是二重簡(jiǎn)并的）(6)一維粒子的能量本征態(tài)無(wú)簡(jiǎn)并一維粒子的能量本征態(tài)無(wú)簡(jiǎn)并（錯(cuò)）（錯(cuò)）（一維束縛態(tài)粒子的能量本征態(tài)無(wú)簡(jiǎn)并）一維束縛態(tài)粒子的能量本征態(tài)無(wú)簡(jiǎn)并）證明：證明： 對(duì)于屬于能量對(duì)于屬于能量E的任何兩個(gè)束縛態(tài)波函數(shù)有的任何兩個(gè)束縛態(tài)波函數(shù)有1221則則2211/兩邊同時(shí)積分得兩邊同時(shí)積分得21C4.1.2 能級(jí)簡(jiǎn)并與守恒量的關(guān)系能級(jí)簡(jiǎn)并與守恒量的關(guān)系定理定理 設(shè)體系有兩個(gè)彼此不對(duì)

8、易的守恒量設(shè)體系有兩個(gè)彼此不對(duì)易的守恒量F和和G，即，即 F,H=0,G,H=0,F,G0, 則體系能級(jí)一般是簡(jiǎn)并的則體系能級(jí)一般是簡(jiǎn)并的。證明：證明： F, H=0,則則F, H有共同的本征函數(shù)有共同的本征函數(shù) FFEH ,又因?yàn)橛忠驗(yàn)?G, H=0, 則則GEEGHGGH即即G也是也是H的本征函數(shù)，對(duì)應(yīng)的本征值也是的本征函數(shù)，對(duì)應(yīng)的本征值也是E,即體系的能級(jí)是簡(jiǎn)并的。即體系的能級(jí)是簡(jiǎn)并的。推論：推論： 如果體系有一守恒量如果體系有一守恒量F，而體系的某條能級(jí)并不，而體系的某條能級(jí)并不 簡(jiǎn)并，即對(duì)應(yīng)某個(gè)能量本征值簡(jiǎn)并，即對(duì)應(yīng)某個(gè)能量本征值E只有一個(gè)本征態(tài)只有一個(gè)本征態(tài) E，則，則E必為必為F

9、 的本征態(tài)。的本征態(tài)。EEEEFEEFHFFH證明：證明：設(shè)設(shè)E是一能量本征態(tài)。因是一能量本征態(tài)。因F是守恒量，則是守恒量，則F, H=0 即即FE也是一個(gè)能量本征態(tài)，對(duì)應(yīng)的本征值也是也是一個(gè)能量本征態(tài)，對(duì)應(yīng)的本征值也是E. 根據(jù)假定能級(jí)不簡(jiǎn)并，則必有根據(jù)假定能級(jí)不簡(jiǎn)并，則必有EEFF即即E也是也是F的本征態(tài)，對(duì)應(yīng)的本征值是的本征態(tài)，對(duì)應(yīng)的本征值是F .例如：例如： 一維諧振子勢(shì)中粒子的能級(jí)并不簡(jiǎn)并，空間反射算符一維諧振子勢(shì)中粒子的能級(jí)并不簡(jiǎn)并，空間反射算符P為為 守恒量，守恒量， P,H=0, 則能量本征態(tài)必為則能量本征態(tài)必為P的本征態(tài)，即有確的本征態(tài)，即有確 定的宇稱(chēng)。事實(shí)上，也確是如此，

10、定的宇稱(chēng)。事實(shí)上，也確是如此，)() 1()()(xxxPnnnn結(jié)論：結(jié)論： 體系的守恒量總是與體系的某種對(duì)稱(chēng)性相聯(lián)系，而能級(jí)體系的守恒量總是與體系的某種對(duì)稱(chēng)性相聯(lián)系，而能級(jí) 簡(jiǎn)并也往往與體系的某種對(duì)稱(chēng)性相聯(lián)系。在一般情況下，簡(jiǎn)并也往往與體系的某種對(duì)稱(chēng)性相聯(lián)系。在一般情況下， 當(dāng)能級(jí)出現(xiàn)簡(jiǎn)并時(shí)，可以根據(jù)體系的對(duì)稱(chēng)性，找出其守當(dāng)能級(jí)出現(xiàn)簡(jiǎn)并時(shí)，可以根據(jù)體系的對(duì)稱(chēng)性，找出其守 恒量。恒量。2/ 2( )HpmV r22d1 i , , ( )d2 ir pr p Hr p pr p V rtmprVm 21prVm2TrV位力定理：位力定理： 設(shè)粒子處于勢(shì)場(chǎng)設(shè)粒子處于勢(shì)場(chǎng)V(r)，其哈密頓為，其

11、哈密頓為rp的平均值隨時(shí)間的變化為的平均值隨時(shí)間的變化為對(duì)定態(tài)有對(duì)定態(tài)有d 0dr pt 則則證明：證明： , ( ) , ( ) , ( ) , ( )( )( )( )( i)( i)( i)i( )xyzr p V rxp V ryp V rzp V rV rV rV rxyzxyzrV r 22222222 ,2i2i2i2ixxyyzzxyzrp pxppyppzpppppp 思考題：思考題： rp并不是厄米算符，應(yīng)進(jìn)行厄米化并不是厄米算符，應(yīng)進(jìn)行厄米化1 ()2r pr pp r 這是否會(huì)影響位力定理得證明。這是否會(huì)影響位力定理得證明。答：答：從位力定理的證明可以看出，將從位力定理

12、的證明可以看出，將rp厄米化后并不能影響厄米化后并不能影響 到定理的證明。到定理的證明。例題例題1 設(shè)設(shè)V(x,y,z)是是x,y,z的的n次齊次函數(shù)，即次齊次函數(shù)，即),(),(zyxVcczcycxVn證明證明2nVT如諧振子如諧振子221( ), 22V xmxnVT庫(kù)侖勢(shì)庫(kù)侖勢(shì), 1 ,1)(nrrV2VT 勢(shì)勢(shì)1()( ), 1, 2axxnVTa 證明：證明： ),(),(zyxVcczcycxVn兩邊對(duì)兩邊對(duì)c求導(dǎo)數(shù)得求導(dǎo)數(shù)得),()()()(1zyxVncczVzcyVycxVxn令令c =1得得nVVr則由位力定理得則由位力定理得2TrVnV例題例題2 求一維諧振子在態(tài)求一維

13、諧振子在態(tài)n下的動(dòng)能和勢(shì)能的平均值下的動(dòng)能和勢(shì)能的平均值解：解： 一維諧振子的能量本征值為一維諧振子的能量本征值為21nEn由位力定理知由位力定理知: :VT 則則21nVTHEn所以所以2121nVT2( ) (1)2pHV rmd1 , (2)did1 ,( )( ) (3)diprr Htmpp HV rF rt 1. 波包的運(yùn)動(dòng)與經(jīng)典粒子運(yùn)動(dòng)的關(guān)系波包的運(yùn)動(dòng)與經(jīng)典粒子運(yùn)動(dòng)的關(guān)系設(shè)質(zhì)量為設(shè)質(zhì)量為m的粒子在勢(shì)場(chǎng)的粒子在勢(shì)場(chǎng)V(r)中運(yùn)動(dòng)，用波包中運(yùn)動(dòng)，用波包(r,t)描述，顯然描述，顯然(r,t)必為非定態(tài)，因此處于定態(tài)的粒子的概率密度是不隨時(shí)間必為非定態(tài)，因此處于定態(tài)的粒子的概率密度是不

14、隨時(shí)間變化的：變化的：與經(jīng)典粒子運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的量子態(tài)為非定態(tài)與經(jīng)典粒子運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的量子態(tài)為非定態(tài)設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)的設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)的Hamilton 為為則粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量的平均值隨時(shí)間的變化為則粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量的平均值隨時(shí)間的變化為4.2 波包運(yùn)動(dòng)，波包運(yùn)動(dòng)， Ehrenfest(埃倫埃倫費(fèi)斯特費(fèi)斯特)定理定理)(dd)(dd ,dd22rVtrmrVtpmptr22d( ) (5)drmF rtrrr經(jīng)典粒子運(yùn)動(dòng)的正則方程是經(jīng)典粒子運(yùn)動(dòng)的正則方程是(2)兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，并將兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，并將(3)代入代入得到得到此之謂此之謂Ehrenfest方程，方程， 形式與經(jīng)典的形式與經(jīng)典的Newton方程類(lèi)似，

15、但只有當(dāng)方程類(lèi)似，但只有當(dāng)r)()(rFrF時(shí)，波包中心時(shí)，波包中心 的運(yùn)動(dòng)規(guī)律才與經(jīng)典粒子相同。的運(yùn)動(dòng)規(guī)律才與經(jīng)典粒子相同。(3)波包的擴(kuò)散不太大。波包的擴(kuò)散不太大。(1) 波包很窄，其大小與粒子的大小相當(dāng)；波包很窄，其大小與粒子的大小相當(dāng)；2. 用波包描述粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)波包的要求：用波包描述粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)波包的要求：(2) 勢(shì)場(chǎng)勢(shì)場(chǎng)V(r)在空間的變化很緩慢，使得波包中心在空間的變化很緩慢，使得波包中心 處的勢(shì)場(chǎng)處的勢(shì)場(chǎng) 與粒子感受到的勢(shì)場(chǎng)很接近；與粒子感受到的勢(shì)場(chǎng)很接近；)(rV33222)(21)()(ccccccxxVxxVxxVxV在波包中心在波包中心xxc附近對(duì)附近對(duì) 作作Taylo

16、r 展開(kāi)，展開(kāi)，如：如： 一維波包的運(yùn)動(dòng)一維波包的運(yùn)動(dòng)(x)/Vx令令=x-xc，則有則有323()()1d( , )( , )2ccccV xV xVVxx tx txxxxL利用利用0得得可見(jiàn)只有當(dāng)可見(jiàn)只有當(dāng)323()()12ccccV xV xxx時(shí)才有時(shí)才有)()()(cccxFxxVxVxF此時(shí)方程此時(shí)方程(5)與經(jīng)典的與經(jīng)典的Newton方程在形式上完全相同。方程在形式上完全相同。如在勢(shì)場(chǎng)如在勢(shì)場(chǎng)2221( ), ( )2V xabxcx or V xmx中中33( )0V xx條件自動(dòng)滿(mǎn)足，因此在這類(lèi)勢(shì)場(chǎng)中窄波包的運(yùn)動(dòng)，就與經(jīng)典粒子條件自動(dòng)滿(mǎn)足，因此在這類(lèi)勢(shì)場(chǎng)中窄波包的運(yùn)動(dòng)，就與

17、經(jīng)典粒子的軌道運(yùn)動(dòng)相似。的軌道運(yùn)動(dòng)相似。例例 粒子對(duì)原子的散射粒子對(duì)原子的散射原子的半徑原子的半徑cm108a天然天然放射性元素放出放射性元素放出粒子的能量粒子的能量MeV5E則其動(dòng)量為則其動(dòng)量為114scmg102mEp在對(duì)原子的散射過(guò)程中，在對(duì)原子的散射過(guò)程中，粒子穿越原子的時(shí)間約為粒子穿越原子的時(shí)間約為pamvat經(jīng)典經(jīng)典 or or 量子描述？量子描述？xa在該時(shí)間間隔內(nèi)波包的擴(kuò)散為在該時(shí)間間隔內(nèi)波包的擴(kuò)散為apppammptvx如果要求在如果要求在粒子穿越原子的過(guò)程中可近似用軌道來(lái)描述，就要求粒子穿越原子的過(guò)程中可近似用軌道來(lái)描述，就要求ax 1pp利用不確定性關(guān)系可得利用不確定性關(guān)

18、系可得119scmg10/axp顯然滿(mǎn)足條件顯然滿(mǎn)足條件1pp即即粒子對(duì)原子的散射可用軌道運(yùn)動(dòng)近似描述粒子對(duì)原子的散射可用軌道運(yùn)動(dòng)近似描述。如果討論電子對(duì)原子的散射，電子的質(zhì)量很小，對(duì)于能量為如果討論電子對(duì)原子的散射，電子的質(zhì)量很小，對(duì)于能量為100eV的電子有的電子有119scmg10542eeeEmp則則epp 因此用軌道運(yùn)動(dòng)來(lái)描述電子是不恰當(dāng)?shù)?。因此用軌道運(yùn)動(dòng)來(lái)描述電子是不恰當(dāng)?shù)摹?.3 4.3 Schringer圖像圖像( (繪景繪景) )和和Heisenberg圖像（繪景）圖像（繪景）) 1 ( )(),()(tAttA)2( )()(itHtt)3( ,i1)(ddHAtAt)5(

19、 1)0 , 0()4( ),0()0 ,()(UtUt1. Schrdinger 圖像圖像力學(xué)量不隨時(shí)間變化，而波函數(shù)隨時(shí)間變化力學(xué)量不隨時(shí)間變化，而波函數(shù)隨時(shí)間變化。力學(xué)量的平均值力學(xué)量的平均值波函數(shù)隨時(shí)間演化方程波函數(shù)隨時(shí)間演化方程-Schrdinger 方程方程力學(xué)量平均值隨時(shí)間的變化力學(xué)量平均值隨時(shí)間的變化波函數(shù)隨時(shí)間演化可寫(xiě)成波函數(shù)隨時(shí)間演化可寫(xiě)成)0()0 ,()0()0 ,(itUHtUt)6( )0 ,()0 ,(itUHtUt)0 ,(tU)7( )0 ,(/itHetU稱(chēng)為稱(chēng)為時(shí)間演化算符。時(shí)間演化算符。(4) 代入代入(2)得到得到則則積分得積分得)8( 1)0 ,()

20、0 ,()0 ,()0 ,(tUtUtUtU可以證明：可以證明：)0 ,(tU是幺正算符。是幺正算符。)9( )0(),0()(),(tt)10( )0()(),0( )0()0 ,()0 ,(),0( )0()0 ,(),0()0 ,()(tAtUAtUtUAtUtA)11( )0 ,()0 ,()(tUAtUtAHeishenberg 圖像圖像波函數(shù)不變，算符隨時(shí)間變化波函數(shù)不變，算符隨時(shí)間變化算符的演化方程算符的演化方程-Heisenberg 方程方程)(i1 )0 ,(dd)0 ,()0 ,()0 ,(dd)(ddUHAUUAHUtUtAtUtUAtUttAt利用利用U的幺正性，的幺正

21、性，及U+HU=H)()(i1 )(i1)(ddHtAtAHUHUUAUUAUUHUtAt則則d1( ) ( ), (12)diA tA t Ht上式稱(chēng)為上式稱(chēng)為Heisenberg方程方程。例題例題1 自由粒子自由粒子2/ 2Hpm ,0p Hp為守恒量，則為守恒量，則 p(t)=p(0)=pi/2i/i/i/d11 ( ) ( ), ,/ 2 dii HtHtHtHtr tr tHer pm etppeemm ( )(0)pr trtm則則例題例題2 一維諧振子一維諧振子2221/ 22Hpmmxi/i/i/i/( ), ( )HtHtHtHtx texep tepei/i/i/i/2d1

22、( ) ,( )/did1( ) ,( )diHtHtHtHtx tex H ep tmtp tep H emx tt 222d1 d( )( )( )ddx tp tx ttm t 12( )cossinx tctct12d( )( )cossindp tmx tm ctm ctt 而而則則其解為其解為則則122(0), (0), /xcxpm cpcp m( )cossin( )cossinpx txttmp tptm xt利用初始條件利用初始條件則可得出則可得出4.4 4.4 守恒量與對(duì)稱(chēng)性的關(guān)系守恒量與對(duì)稱(chēng)性的關(guān)系1. 經(jīng)典力學(xué)的守恒量與對(duì)稱(chēng)性的關(guān)系經(jīng)典力學(xué)的守恒量與對(duì)稱(chēng)性的關(guān)系機(jī)械能

23、對(duì)空間平移不變性（空間均勻性）機(jī)械能對(duì)空間平移不變性（空間均勻性）動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒機(jī)械能對(duì)空間轉(zhuǎn)動(dòng)不變性（空間各向同性）機(jī)械能對(duì)空間轉(zhuǎn)動(dòng)不變性（空間各向同性）角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒機(jī)械能對(duì)時(shí)間平移不變性（時(shí)間均勻性）機(jī)械能對(duì)時(shí)間平移不變性（時(shí)間均勻性）能量守恒能量守恒1918年年 德國(guó)數(shù)學(xué)家德國(guó)數(shù)學(xué)家 A. E. Noether : 從自然界的每一對(duì)稱(chēng)性可從自然界的每一對(duì)稱(chēng)性可得到一守恒律；反之，每一守恒律均揭示蘊(yùn)含其中的一種對(duì)稱(chēng)性。得到一守恒律；反之，每一守恒律均揭示蘊(yùn)含其中的一種對(duì)稱(chēng)性。2. 量子力學(xué)中的對(duì)稱(chēng)性量子力學(xué)中的對(duì)稱(chēng)性(1) 對(duì)稱(chēng)變換與對(duì)稱(chēng)性群對(duì)稱(chēng)變換與對(duì)稱(chēng)性群) 1 ( iHtQ

24、Ht iHQQt iHQQt1i體系的狀態(tài)滿(mǎn)足薛定諤方程體系的狀態(tài)滿(mǎn)足薛定諤方程若存在變換若存在變換Q ,在此變換下有在此變換下有體系對(duì)變換不變性的要求體系對(duì)變換不變性的要求即即用用Q-1運(yùn)算得運(yùn)算得HQQHHHQQ ,1與方程與方程(1)比較得比較得或?qū)懗苫驅(qū)懗?4( 0,HQ這就是體系這就是體系（Hamilton）在變換）在變換Q下的不變性的數(shù)學(xué)表述。下的不變性的數(shù)學(xué)表述。凡滿(mǎn)足式凡滿(mǎn)足式(4)的變換稱(chēng)為的變換稱(chēng)為體系的對(duì)稱(chēng)變換體系的對(duì)稱(chēng)變換。 物理學(xué)中的體系的對(duì)稱(chēng)物理學(xué)中的體系的對(duì)稱(chēng)變換總構(gòu)成一個(gè)群，稱(chēng)為變換總構(gòu)成一個(gè)群，稱(chēng)為體系的對(duì)稱(chēng)性群。體系的對(duì)稱(chēng)性群。(2) 對(duì)稱(chēng)性變換與守恒量對(duì)稱(chēng)

25、性變換與守恒量在對(duì)稱(chēng)變換下考慮概率守恒有在對(duì)稱(chēng)變換下考慮概率守恒有),(),(),(),(QQQQ則則Q應(yīng)該是幺正算符，即應(yīng)該是幺正算符，即IQQQQFIQi對(duì)于連續(xù)變換，可考慮無(wú)窮小變換對(duì)于連續(xù)變換，可考慮無(wú)窮小變換0 0+ +，令，令I(lǐng)OFFIFIFIQQ)()(i)i)(i(2FF(3)空間平移不變性與動(dòng)量守恒空間平移不變性與動(dòng)量守恒設(shè)體系沿設(shè)體系沿x軸方向作一無(wú)窮小平移軸方向作一無(wú)窮小平移xxxx即即F是厄米算符，稱(chēng)為是厄米算符，稱(chēng)為變換變換Q的無(wú)窮小算符。的無(wú)窮小算符?？啥x與可定義與 Q變換相變換相聯(lián)系的可觀測(cè)量，體系在聯(lián)系的可觀測(cè)量，體系在Q變換下的不變性導(dǎo)致變換下的不變性導(dǎo)致0

26、,HF即即F是一守恒量。是一守恒量。對(duì)稱(chēng)變換對(duì)稱(chēng)變換守恒量守恒量DxxxxD)()(xx)()(xxxD描述體系狀態(tài)波函數(shù)的變化為描述體系狀態(tài)波函數(shù)的變化為顯然顯然即即)(exp )()()(xxxxxxxxxD作變換作變換xxx則上式可化為則上式可化為/iexpexp)(xpxxxxDxpx i則平移則平移x的算符可表示為的算符可表示為Note: 是與平移變換相應(yīng)的無(wú)窮小算符。是與平移變換相應(yīng)的無(wú)窮小算符。/exp)(prrDip推廣：推廣：對(duì)于三維空間中的無(wú)窮小平移對(duì)于三維空間中的無(wú)窮小平移rrrr則則其中其中設(shè)體系具有平移不變性，即設(shè)體系具有平移不變性，即 D, H=0對(duì)于無(wú)窮小平移對(duì)于

27、無(wú)窮小平移/i1prD則可推出則可推出0,Hp動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒是與三維平移變換對(duì)應(yīng)的無(wú)窮小算符。是與三維平移變換對(duì)應(yīng)的無(wú)窮小算符。(4) 空間旋轉(zhuǎn)不變性與角動(dòng)量守恒空間旋轉(zhuǎn)不變性與角動(dòng)量守恒設(shè)體系繞設(shè)體系繞z軸旋轉(zhuǎn)一無(wú)窮小角度軸旋轉(zhuǎn)一無(wú)窮小角度 ，波函數(shù)的變化是波函數(shù)的變化是R)()(對(duì)標(biāo)量波函數(shù)有對(duì)標(biāo)量波函數(shù)有即即)()(R)(exp )()()(R作變換作變換則則/iexpexp)(zlR則繞則繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) 的算符是的算符是 izl注：注：rrrrOnrrrrrnrr現(xiàn)考慮三維空間中繞某方向現(xiàn)考慮三維空間中繞某方向n的無(wú)窮小旋轉(zhuǎn)的無(wú)窮小旋轉(zhuǎn))()( ,rrR)()(rrrR在上述變換下

28、標(biāo)量函數(shù)的變化是在上述變換下標(biāo)量函數(shù)的變化是即即)()(exp )()()( )()()(rrnrrnrrnrrrrR作變換作變換rrr則則/iexp/ )(iexp /)(iexp)(exp)(lnprnprnrnnR對(duì)于無(wú)窮小旋轉(zhuǎn)對(duì)于無(wú)窮小旋轉(zhuǎn)n則則prl其中其中如果體系具有空間旋轉(zhuǎn)不變性，如果體系具有空間旋轉(zhuǎn)不變性，R, H=0,注：三個(gè)矢量的混合積注：三個(gè)矢量的混合積BACACBCBA)()()(對(duì)于無(wú)窮小旋轉(zhuǎn)對(duì)于無(wú)窮小旋轉(zhuǎn)/i1lnR則有則有0,Hl即角動(dòng)量守恒即角動(dòng)量守恒(5) 時(shí)間均勻性與能量守恒時(shí)間均勻性與能量守恒(6) 空間反射對(duì)稱(chēng)性與宇稱(chēng)守恒空間反射對(duì)稱(chēng)性與宇稱(chēng)守恒(7)

29、同位旋空間旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性與同位旋守恒同位旋空間旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性與同位旋守恒4.5 全同粒子體系及其波函數(shù)全同粒子體系及其波函數(shù)4.5.1 全同粒子體系的交換對(duì)稱(chēng)性全同粒子體系的交換對(duì)稱(chēng)性 1. 全同粒子全同粒子：說(shuō)明：說(shuō)明： (1) 粒子的全同性與粒子態(tài)的量子化有本質(zhì)的聯(lián)系，粒子的全同性與粒子態(tài)的量子化有本質(zhì)的聯(lián)系， 沒(méi)有態(tài)的量子化就談不上全同性。沒(méi)有態(tài)的量子化就談不上全同性。 (2) 經(jīng)典力學(xué)中原則上不存在全同粒子?；?，全同粒子經(jīng)典力學(xué)中原則上不存在全同粒子?；?，全同粒子 可以區(qū)分?？梢詤^(qū)分。質(zhì)量、電荷、自旋等內(nèi)稟屬性完全相同的粒子。質(zhì)量、電荷、自旋等內(nèi)稟屬性完全相同的粒子。所有的電子是全同粒子、所有

30、的質(zhì)子是全同粒子、所有的電子是全同粒子、所有的質(zhì)子是全同粒子、所有的光子也是全同粒子。所有的光子也是全同粒子。2. 全同性原理：全同性原理：在相同的物理?xiàng)l件下，全同粒子的行為完全相同，在相同的物理?xiàng)l件下，全同粒子的行為完全相同， 用一個(gè)粒子代換另一個(gè)粒子，不引起物理狀態(tài)的用一個(gè)粒子代換另一個(gè)粒子，不引起物理狀態(tài)的 變化變化, 或，全同粒子不可區(qū)分?；?，全同粒子不可區(qū)分。-量子力學(xué)的基本假設(shè)量子力學(xué)的基本假設(shè)222221212122222ppeeeHmmrrrr(1) 全同粒子體系的任何可觀測(cè)量全同粒子體系的任何可觀測(cè)量(包含哈密頓量）有交換對(duì)稱(chēng)性包含哈密頓量）有交換對(duì)稱(chēng)性氦原子中兩個(gè)電子氦原子

31、中兩個(gè)電子組成的體系組成的體系3. 全同粒子交換對(duì)稱(chēng)性與守恒量全同粒子交換對(duì)稱(chēng)性與守恒量定義交換算符定義交換算符Pij ：其作用是交換兩個(gè)粒子的位置：其作用是交換兩個(gè)粒子的位置),(),(11NijNjiijqqqqqqqqP1111 ( ,) ( ,)( ,)( ,)ijijNijNijNijjiNP H qqqqqqqqH qqqqPqqqq11 (,)(,)ijijNijNijP H qqqqH qqqqP即即,0ijP H ),( ),(),(111NjiNijNjiijqqqqCqqqqqqqqP22CPCPijij1C ,反對(duì)稱(chēng)波函數(shù)，對(duì)稱(chēng)波函數(shù)ijijPP(2) 全同粒子體系波函

32、數(shù)的交換對(duì)稱(chēng)性全同粒子體系波函數(shù)的交換對(duì)稱(chēng)性即全同粒子體系的波函數(shù)是交換對(duì)稱(chēng)或反對(duì)稱(chēng)的。即全同粒子體系的波函數(shù)是交換對(duì)稱(chēng)或反對(duì)稱(chēng)的。實(shí)驗(yàn)表明：實(shí)驗(yàn)表明： 凡自旋為凡自旋為 整數(shù)倍整數(shù)倍(s=0,1,2,)的粒子的粒子, 波函數(shù)的交換總是對(duì)稱(chēng)的，波函數(shù)的交換總是對(duì)稱(chēng)的，如如介子介子(s=0)、光子光子（s=1）,波色子波色子。凡自旋為凡自旋為 半整數(shù)倍半整數(shù)倍(s=1/2,3/2,)的粒子的粒子, 波函數(shù)的交換總波函數(shù)的交換總是反對(duì)稱(chēng)的，如電子、質(zhì)子、中子等是反對(duì)稱(chēng)的，如電子、質(zhì)子、中子等,費(fèi)米子費(fèi)米子。 由由“基本粒子基本粒子”組成的復(fù)合粒子，如組成的復(fù)合粒子，如粒子，若在討論的問(wèn)題粒子，若在

33、討論的問(wèn)題或過(guò)程中其內(nèi)部狀態(tài)保持不變，則全同粒子的狀態(tài)仍然適用?；蜻^(guò)程中其內(nèi)部狀態(tài)保持不變，則全同粒子的狀態(tài)仍然適用。 由由玻色子玻色子組成的的復(fù)合粒子仍為組成的的復(fù)合粒子仍為玻色子玻色子； 由由偶數(shù)個(gè)費(fèi)米子偶數(shù)個(gè)費(fèi)米子組成的粒子為組成的粒子為玻色子玻色子；有；有奇數(shù)個(gè)費(fèi)米子奇數(shù)個(gè)費(fèi)米子組成的粒子為組成的粒子為費(fèi)米子費(fèi)米子4. 交換效應(yīng)交換效應(yīng)全同性不只是一個(gè)抽象的概念，而它將導(dǎo)致一個(gè)可觀測(cè)的量全同性不只是一個(gè)抽象的概念，而它將導(dǎo)致一個(gè)可觀測(cè)的量子效應(yīng)子效應(yīng)-交換效應(yīng)。微觀世界里的全同粒子，一旦有波包交換效應(yīng)。微觀世界里的全同粒子，一旦有波包重疊而又沒(méi)有守恒的內(nèi)稟量子數(shù)可供鑒別，波動(dòng)性將使它們

34、重疊而又沒(méi)有守恒的內(nèi)稟量子數(shù)可供鑒別，波動(dòng)性將使它們失去個(gè)性和可分辨性，出現(xiàn)交換效應(yīng)。失去個(gè)性和可分辨性，出現(xiàn)交換效應(yīng)。如：如：ab12cd分束器分束器兩個(gè)光子的輸入態(tài)兩個(gè)光子的輸入態(tài)221112bai兩光子的出射態(tài)兩光子的出射態(tài))(21)(2122211112dicdcif若兩個(gè)光子同時(shí)到達(dá)分束器，出射態(tài)中光子的空間模有重疊，若兩個(gè)光子同時(shí)到達(dá)分束器，出射態(tài)中光子的空間模有重疊，必須考慮兩個(gè)光子的交換干涉，出射態(tài)應(yīng)該是交換對(duì)稱(chēng)的。必須考慮兩個(gè)光子的交換干涉，出射態(tài)應(yīng)該是交換對(duì)稱(chēng)的。)()(21)(212121122121122112cddcddccifff在在c, d 兩處放置探測(cè)器，作單光

35、子計(jì)數(shù)符合測(cè)量，以?xún)商幏胖锰綔y(cè)器，作單光子計(jì)數(shù)符合測(cè)量，以1/2的概率得到雙光子極化糾纏態(tài)的概率得到雙光子極化糾纏態(tài))(21212112盡管兩個(gè)光子間不存在可以令光子極化狀態(tài)發(fā)生變化的相互作用，盡管兩個(gè)光子間不存在可以令光子極化狀態(tài)發(fā)生變化的相互作用，但全同性原理的交換作用和符合測(cè)量塌縮可以使光子的極化狀態(tài)但全同性原理的交換作用和符合測(cè)量塌縮可以使光子的極化狀態(tài)發(fā)生變化，兩個(gè)光子已經(jīng)不可分辨。發(fā)生變化，兩個(gè)光子已經(jīng)不可分辨。問(wèn)題：?jiǎn)栴}： 在忽略粒子間相互作用的情況下，如何構(gòu)造具在忽略粒子間相互作用的情況下，如何構(gòu)造具 有交換對(duì)稱(chēng)或反對(duì)稱(chēng)性的波函數(shù)？有交換對(duì)稱(chēng)或反對(duì)稱(chēng)性的波函數(shù)？12()()Hh

36、 qh q( )( )( )kkkh qqq )()(1 21 )()()()(21),(211212212121212121qqPqqqqqqkkkkkkSkk4.5.2 兩個(gè)全同粒子組成的體系兩個(gè)全同粒子組成的體系設(shè)有兩個(gè)全同粒子（忽略相互作用），其設(shè)有兩個(gè)全同粒子（忽略相互作用），其Hamilton量為量為其中其中h為單粒子的為單粒子的Hamilton，h(q )的本征方程為的本征方程為設(shè)兩個(gè)粒子，一個(gè)處于設(shè)兩個(gè)粒子，一個(gè)處于k1態(tài)，另一個(gè)處于態(tài)，另一個(gè)處于 k2態(tài)，則態(tài)，則 k1(q1) k2(q2)與與 k1(q2) k2(q1)對(duì)應(yīng)的能量都是對(duì)應(yīng)的能量都是k1+k2，這種與交換相聯(lián)

37、系的簡(jiǎn)并，稱(chēng)為這種與交換相聯(lián)系的簡(jiǎn)并，稱(chēng)為交換簡(jiǎn)并交換簡(jiǎn)并。但這兩個(gè)波函數(shù)還不具有交換對(duì)稱(chēng)性。但這兩個(gè)波函數(shù)還不具有交換對(duì)稱(chēng)性。對(duì)對(duì)Bose子子, 波函數(shù)交換對(duì)稱(chēng)波函數(shù)交換對(duì)稱(chēng)，則，則(a) 當(dāng)當(dāng)k1k2時(shí)，歸一化的對(duì)稱(chēng)波函數(shù)為時(shí)，歸一化的對(duì)稱(chēng)波函數(shù)為)()()1 (21)()()()(21 )()()()(21),(21122121122121212211212121qqPqqqqqqqqqqkkkkkkkkkkAkk)()(),(2121qqqqkkSkk(b) 當(dāng)當(dāng)k1=k2時(shí)，歸一化的對(duì)稱(chēng)波函數(shù)為時(shí)，歸一化的對(duì)稱(chēng)波函數(shù)為對(duì)對(duì)Femi子，子，波函數(shù)交換反對(duì)稱(chēng)波函數(shù)交換反對(duì)稱(chēng)(a) 當(dāng)當(dāng)k

38、1k2時(shí)，歸一化的反對(duì)稱(chēng)波函數(shù)為時(shí)，歸一化的反對(duì)稱(chēng)波函數(shù)為(b) 當(dāng)當(dāng)k1=k2時(shí)時(shí)0),(21qqAkk即這樣的狀態(tài)不存在，這就是著名的即這樣的狀態(tài)不存在，這就是著名的Pauli不相容原理不相容原理：不允許兩個(gè)全同的不允許兩個(gè)全同的Femi子處于同一單粒子態(tài)。子處于同一單粒子態(tài)。例題例題 設(shè)有兩個(gè)全同的自由粒子都處在動(dòng)量本征態(tài)，下面分三種設(shè)有兩個(gè)全同的自由粒子都處在動(dòng)量本征態(tài)，下面分三種 情況討論它們?cè)诳臻g的相對(duì)距離的概率分布情況討論它們?cè)诳臻g的相對(duì)距離的概率分布(a) 在不計(jì)交換對(duì)稱(chēng)性時(shí)，兩粒子的波函數(shù)可表示為在不計(jì)交換對(duì)稱(chēng)性時(shí)，兩粒子的波函數(shù)可表示為)( i32121)2(1),(rkr

39、kkkerr令令kkKkkkrrRrrr ),(21)(21 ,2121或或kKkkKkrRrrRr2/ ,2/2/ , 2/21rkRKkkerrii21),(相對(duì)運(yùn)動(dòng)部分波函數(shù)為相對(duì)運(yùn)動(dòng)部分波函數(shù)為rkkeri2/3)2(1)(在距離一個(gè)粒子半徑在在距離一個(gè)粒子半徑在(rr+dr)的球殼內(nèi)找到另一個(gè)粒子的概率為的球殼內(nèi)找到另一個(gè)粒子的概率為rrPrrrrrrkd)(4)2(d4d)(d23222(b) 交換交換(r-r)反對(duì)稱(chēng)波函數(shù)，反對(duì)稱(chēng)波函數(shù)， 反對(duì)稱(chēng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)波函數(shù)為反對(duì)稱(chēng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)波函數(shù)為)sin()2(2i)2(1)1 (21)(2/3i2/312rkePrrkAk則則krkrrrkrrrrkrrrrrrrPrAkA2)2sin(1)2(d4dsin)cos(sind)2(d2d)(sin)2(d2d)(dd)(4320220322322223)2/(1)(rP概率密度概率密度(c) 交換對(duì)稱(chēng)波函數(shù)，交換對(duì)稱(chēng)波函數(shù)， 類(lèi)似可求出類(lèi)似可求出即即krkrPA2)2sin(1)2(13krkrPS2)2sin(1)2(13可見(jiàn)：可見(jiàn)：在空間波函數(shù)交換對(duì)稱(chēng)的情況下，兩個(gè)粒子相互靠攏的在空間波函數(shù)交換對(duì)稱(chēng)的情況下，兩個(gè)粒子相互靠攏的概率