高中基本初等函數(shù)（精編版）

1、單調(diào)性（1）函數(shù)的單調(diào)性定義及判定方法函數(shù)的性 質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的單調(diào)性如果對于屬于定義域 i內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值 x1、x2, 當(dāng)x1 x2時，都有f(x 1)f(x 2)，那么就說f(x) 在這個區(qū)間上是 增函數(shù)（1）利用定義（2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性（3）利用函數(shù)圖象（在某個區(qū)間圖象上升為增）（4）利用復(fù)合函數(shù)如果對于屬于定義域 i內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值 x1、x2，當(dāng) x1f(x 2)，那么就說f(x) 在這個區(qū)間上是 減函數(shù)（1）利用定義（2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性（3）利用函數(shù)圖象（在某個區(qū)間圖象下降為減）（4）利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性是與“區(qū)間”緊密相關(guān)的概念

2、，對于一個函數(shù)，它在某區(qū)間上可能有單調(diào)性，也可能沒有單調(diào)性，例如函數(shù)y=x+ ，它在區(qū)間（- ，0上沒有單調(diào)性，而在0，+ ）上是增函數(shù)。有的函數(shù)不具備單調(diào)性，如函數(shù)y= ，它的定義域?yàn)?r，但它不具備單調(diào)性；再如函數(shù)y=x+1，x z，它的定義域不是區(qū)間，也不能說它在定義域上具有單調(diào)性。函數(shù)的單調(diào)性具有可逆性，即在區(qū)間 d 上單調(diào)遞增，則，且，有；反之亦然。復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性： 在公共定義域內(nèi)， 兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù)。對于復(fù)合函數(shù)( )yf g x，令( )ug x，若( )yf u為增，( )ug x為增，

3、則( )yf g x為增；若( )yf u為減，( )ug x為減，則( )yf g x為增；若( )yf u為增，( )ug x為減，則( )yf g x為減；若( )yf u為減，( )ug x為增，則( )yf g x為減最大（?。┲刀x一般地，設(shè)函數(shù)( )yf x的定義域?yàn)閕，如果存在實(shí)數(shù)m滿足：（ 1）對于任意的xi，都有( )f xm；（2）存在0 xi，使得0()f xm那么，我們稱m是函數(shù)( )fx的最大值，記作max( )fxm一般地，設(shè)函數(shù)( )yf x的定義域?yàn)閕，如果存在實(shí)數(shù)m滿足：（1）對于任意的xi，都有( )f xm；（2）存在0 xi，使得0()f xm那么，我

4、們稱m是函數(shù)( )f x的最小值，記作max( )fxm奇偶性函數(shù)的奇偶性定義及判定方法函數(shù)的性 質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的奇偶性如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個 x，都有 f(x)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù)（1）利用定義（要先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱）（2）利用圖象（圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱）如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個 x，都有 f(x)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù)（1）利用定義（要先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱）（2）利用圖象（圖象關(guān)于 y軸對稱）若函數(shù)( )f x為奇函數(shù)，且在0 x處有定義，則(0)0f奇函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相

5、對稱的區(qū)間增減性相反用定義判斷函數(shù)奇偶性的方法冪函數(shù)（1）冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)yx叫做冪函數(shù)，其中x為自變量，是常數(shù)（2）冪函數(shù)的圖象（3）冪函數(shù)的性質(zhì)圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、 二、 三象限，第四象限無圖象 冪函數(shù)是偶函數(shù)時，圖象分布在第一、二象限(圖象關(guān)于y軸對稱 )；是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱)；是非奇非偶函數(shù)時，圖象只分布在第一象限過定點(diǎn)：所有的冪函數(shù)在(0,)都有定義，并且圖象都通過點(diǎn)(1,1)單調(diào)性：如果0，則冪函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在0,)上為增函數(shù)如果0，則冪函數(shù)的圖象在(0,)上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近x軸與y軸奇偶性：當(dāng)為奇數(shù)

6、時，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)圖象特征： 冪函數(shù),(0,)yxx，當(dāng)1時，若01x，其圖象在直線yx下方，若1x，其圖象在直線yx上方，當(dāng)1時，若01x，其圖象在直線yx上方，若1x，其圖象在直線yx下方指數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)定義函數(shù)(0 xyaa且1)a叫做指數(shù)函數(shù)圖象1a01a定義域值域過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)(0,1)，即當(dāng)0 x時，1y奇偶性非奇非偶單調(diào)性在r上是增函數(shù)在r上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況a變化對 圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，a越大圖象越低對數(shù)函數(shù)（1）對數(shù)的定義xayxy(0,1)o1yxayxy(0,1)o1y若(0,1)xan aa且

7、，則x叫做以a為底n的對數(shù)， 記作logaxn，其中a叫做底數(shù)，n叫做真數(shù)負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)對數(shù)式與指數(shù)式的互化：log(0,1,0)xaxnan aan（2）幾個重要的對數(shù)恒等式（3）常用對數(shù)與自然對數(shù)常用對數(shù)：lg n，即10logn；自然對數(shù)：ln n，即logen（其中2.71828e） （4）對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)函數(shù)名稱對數(shù)函數(shù)定義函數(shù)log(0ayx a且1)a叫做對數(shù)函數(shù)圖象定義域值域過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)(1,0)，即當(dāng)1x時，0y奇偶性非奇非偶單調(diào)性在(0,)上是增函數(shù)在(0,)上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況xyo(1,0)1xlogayxxyo(1,0)1xlogayxa變化對 圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，a越大圖象越靠高反函數(shù)設(shè)函數(shù)( )yf x的定義域?yàn)閍，值域?yàn)閏，從式子( )yf x中解出x，得式子( )xy如果對于y在c中的任何一個值，通過式子( )xy，x在a中都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么式子( )xy表示x是y的函數(shù)，函數(shù)( )xy叫做函數(shù)( )yf x的反函數(shù)，記作1( )xfy，習(xí)慣上改寫成1( )yfx（7）反函數(shù)的求法確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；從原函數(shù)式( )yf x中反解出1( )xfy；將1( )xfy改寫成1( )yfx，并注明反函數(shù)的定義域反函數(shù)