與圓有關(guān)的陰影部分面積

1、與圓有關(guān)的陰影部分面積求圖形陰影部分面積，是中考試題的重要內(nèi)容之一 . 這些 題目除了著重考查基礎(chǔ)知識之外，還十分重視對數(shù)學(xué)方法的考 查，對數(shù)學(xué)思想的理解和應(yīng)用，現(xiàn)對各類解法加以歸類說明 .一、利用扇形的面積公式例1如圖1, 一個(gè)圓心角為90°的扇形，半徑 OA=2那么 圖中陰影部分的面積為 .（結(jié)果保留 n ）【分析】扇形AOB勺面積減去厶AOB的面積就是陰影部分的 面積 .解：S 扇形=90 n R2360=90 n X 4360= n ,SA AOB=12X 2X 2=2,貝U S陰影=S扇形-SAAOB=t -2.二、作差法例 2 如圖 2,在邊長為 2 的正三角形中, 將其

2、內(nèi)切圓和三個(gè) 角切圓（與角兩邊及三角形內(nèi)切圓都相切的圓）的內(nèi)部挖去,貝 此三角形剩下部分（陰影部分）的面積為 .【分析】 ABC的面積減去四個(gè)圓的面積就是陰影部分的面積.解：如圖2,連接OB OD設(shè)小圓的圓心為P,OP與00的 切點(diǎn)為G過G作兩圓的公切線 EF,交AB于E,交BC于F,則/ BEFN BFE=90 -30° =60° 所以 BEF是等邊三角形.在 Rt OBD中，OD=BD?tan30 =1X 33=33 ， OB=2?OD=233， BG=OB-OG=33；由于OP是等邊 BEF的內(nèi)切圓，所以點(diǎn) P是厶BEF的內(nèi)心，也是重心，故 PG=13BG=39；二

3、SOO=n X(33 )2二13 n , SOP=n X(39 )2二127 n ; S陰影=SABG SOO - 3SOP=3 -13 n -19 n =3-49 n .三、圖形變換法例3如圖3,三角形ABC是邊長為1的正三角形，AB與AC 所對的圓心角均為 120°，則圖中陰影部分的面積為.【分析】A點(diǎn)處的陰影部分平均分成兩個(gè)弓形，將這兩個(gè)弓形移至 OBC的空白處，可得陰影部分的面積為 OBC的面積.解：如圖3,設(shè)AB與AC相交于點(diǎn)O,連接OA OB OC線段OA將陰影的上方部分分成兩個(gè)弓形，將這兩個(gè)弓形分別按順時(shí)針及逆時(shí)針方向繞點(diǎn) O旋轉(zhuǎn)120。后，陰影部分便合并成 OBC它的

4、面積等于 ABC面積的三分之一，.S陰影部分=13 X 34 X 12二312.四、割補(bǔ)法例4如圖4, AB是半圓O的直徑，且 AB=8點(diǎn)C為半圓上 的一點(diǎn).將此半圓沿BC所在的直線折疊，若圓弧 BC恰好過圓心 O,則圖中陰影部分的面積是.(結(jié)果保留n )【分析】將弓形0B補(bǔ)到弓形0C處，陰影部分的面積為扇形OAC勺面積.解：過點(diǎn)0作ODL BC于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E,連接0C貝V 點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，由折疊的性質(zhì)可得點(diǎn) 0為BOC的中點(diǎn)，.S 弓形BO=S弓形C0在 Rt B0D中, OD=DE=12OE=2 0B=4/ OBD=30，二/ AOC=60 ,S 陰影=S扇形 AOC=60冗 X

5、42360=8 n 3.【點(diǎn)評】本題考查了扇形面積的計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是作 出輔助線，判斷點(diǎn) 0是BOC的中點(diǎn)，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為 扇形的面積 . 割補(bǔ)法可以將不規(guī)貝圖形割補(bǔ)成規(guī)貝圖形，進(jìn)而轉(zhuǎn) 化為熟悉的圖形面積求解 .五、等積法例5如圖5,以AD為直徑的半圓 O經(jīng)過Rt ABC的斜邊AB 的兩個(gè)端點(diǎn)，交直角邊 AC于點(diǎn)E.B、E是半圓弧的三等分點(diǎn)，弧 BE的長為2 n 3，則圖中陰影部分的面積為（）.A. n 9 B.3 n 9C.33-3 n 2 D.33-2 n 2解：連接 BD， BE， BO， EO， B, E是半圓弧的三等分點(diǎn)，/ EOAh EOBh BOD=60，/ BAC=30 ,60 n X R180=2 n 3，解得：R=2, AB=AD?cos30 =23,BC=12AB=3 ，AC=AB2-BC2=3， SAABC=12X BCX AC=12 X 3 X 3=332, BOEDA ABE 同底等高， BOEDA ABE面?e 相等，S 陰影=SAABC-S 扇形 BOE=332-2 n 3.【點(diǎn)評】 本題主要考查了扇形