大學物理知識總結(jié)習題答案(第四章)靜電場

1、第四章 靜電場第四章 靜電場本章提要1電荷的基本性質(zhì)兩種電荷，量子性，電荷首恒，相對論不變性。2庫侖定律兩個靜止的點電荷之間的作用力其中3電場強度 為靜止電荷。由得4場強的計算（1）場強疊加原理電場中某一點的電場強度等于各個點電荷單獨存在時在該點產(chǎn)生的電場強度的矢量和。（2）高斯定理電通量：在電場強度為e的某點附近取一個面元，規(guī)定，為與之間的夾角，通過的電場強度通量定義為取積分可得電場中有限大的曲面的電通量高斯定理：在真空中，通過任一封閉曲面的電通量等于該封閉曲面內(nèi)的所有電荷電量的代數(shù)和除以，與封閉曲面外的電荷無關。即5典型靜電場（1）均勻帶電球面（球面內(nèi)） （球面外）（2）均勻帶電球體 （球

2、體內(nèi)） （球體外）（3）均勻帶電無限長直線場強方向垂直于帶電直線，大小為（4）均勻帶電無限大平面場強方向垂直于帶電平面，大小為6電偶極矩電偶極子在電場中受到的力矩思考題4-1 兩式有什么區(qū)別與聯(lián)系。答：公式是關于電場強度的定義式，適合求任何情況下的電場。而公式是由庫侖定理代入定義式推導而來，只適于求點電荷的電場強度。4-2一均勻帶電球形橡皮氣球，在氣球被吹大的過程中，下列各場點的場強將如何變化？（1） 氣球內(nèi)部（2） 氣球外部（3） 氣球表面答：取球面高斯面，由可知（1）內(nèi)部無電荷，而面積不為零，所以e內(nèi)= 0。（2）e外=與氣球吹大無關。（3）e表=隨氣球吹大而變小。4-3 下列幾種說法是否

3、正確，為什么？（1） 高斯面上電場強度處處為零時，高斯面內(nèi)必定沒有電荷。（2） 高斯面內(nèi)凈電荷數(shù)為零時，高斯面上各點的電場強度必為零。（3） 穿過高斯面的電通量為零時，高斯面上各點的電場強度必為零。（4） 高斯面上各點的電場強度為零時，穿過高斯面的電通量一定為零。答：（1）錯因為依高斯定理，e = 0 只說明高斯面內(nèi)凈電荷數(shù)（所有電荷的代數(shù)和）為零。（2）錯高斯面內(nèi)凈電荷數(shù)為零，只說明整個高斯面的的累積為零。并不一定電場強度處處為零。（3）錯穿過高斯面的電通量為零時，只說明整個高斯面的的累積為零。并不一定電場強度處處為零。（4）對e = 0，則整個高斯面的的累積為零。所以電通量=0。4-4 試

4、利用電場強度與電勢的關系式分析下列問題：（1） 在電勢不變的空間內(nèi)，電場強度是否為零？（2） 在電勢為零處，電場強度是否一定為零？（3） 在電場強度為零處，電勢是否一定為零？答：（1）是由可知，當電勢處處相等時，el=0實際例子：靜電平衡的導體內(nèi)。（2）否電勢為零處電勢梯度不一定為零，所以el也不一定為零。實際例子：電偶極子連線中點處。（3）否如果el等于零，則電勢梯度為零，但電勢不一定為零。實際例子：兩個相同電荷連線中點處。4-5 如圖4-1所示，將兩個完全相同的電容器串聯(lián)起來，在與電源保持連接時，將一電介質(zhì)板摩擦插入電容器c2的兩板間，試定性地描述c1、c2上的電量、電容、電壓、及電場強度

5、的變化。c1c2圖4-1答：插入電介質(zhì)板后，c2的增大，致使整個電路電容1/c=1/c1+1/c2增大，而總電壓u又沒變，所以每個電容器所儲存的電量q1 = q2增加。由于無摩擦，這種增加的電量全部由電源提供。c1=0s/d不變，而儲存的電量增加時，u1= q1/c增大，故u2減小。由u = ed可知e2減小。u1增大而兩極板距離d不變，故e1增大。4-6 一空氣電容器充電后切斷電源，然后灌入煤油，問電容器的能量有何變化？如果在灌煤油時電容器一直與電源相連，能量又如何變化？答：電容器灌入煤油后，電容量增大，但極板上的電量沒有改變，由可知電容器的能量we會減少。減少的那部分能量，由煤油分子在靜電

6、場極化過程中轉(zhuǎn)化成煤油的內(nèi)能。如果灌煤油時，電容器一直與電源相連，由能量公式可知，c增大而u不變時，電容器的能量we增大。這時電源向電容器充電，將電源的化學能轉(zhuǎn)化為電容器的內(nèi)能。練習題4-1 由相距較近的等量異號電荷組成的體系稱電偶極子，生物細胞膜及土壤顆粒表面的雙電層可視為許多電偶極子的集合。因此，電偶極子是一個十分重要的物理模型。圖4-2所示的電荷體系稱電四極子，它由兩個電偶極子組合而成，其中的和均為已知，對圖4-2中的點(平行于正方形的一邊)，證明當時llll+ q+ qp- q- qox圖 4-2 其中，p=ql 稱電偶極矩。解：將左邊和右邊的電偶極子在p點產(chǎn)生的場強分別稱為e左和e右

7、，則：點處的合場強為原題證畢。4-2 一個均勻帶電的細棒長為，帶電總量為，證明，在棒的垂直平分線上離棒為處的電場強度為解：棒的線電荷密度為。如圖4-3，對稱地取距中點為x處的電荷 。其和的水平方向的分量相互抵消，p點的場強為和沿豎直向上分量之和：xpdxdxdede合de0la圖 4-3棒在p處的場強為將代入上式，并考慮x由0積分到時，由0變化到，后對e積分可得： 4-3 一個半徑為r的帶電圓盤，電荷面密度為，求：（1）圓盤軸線上距盤心為x處的任一點的電場強度；（2）當r時，p點的電場強度為多少?（3）當時，p點的電場強度又為多少?解：（1）取半徑為rr+dr的圓環(huán)，如圖4-4所示，因其上電荷

8、對p點的產(chǎn)生的場強垂直分量相互抵消，所以其對p點場強為圖4-4pxrs整個圓盤的電荷在p點的產(chǎn)生的場強為（2）當時，可將帶電圓盤看作無限大帶電平面，因此p點電場強度為（3）當時，可將帶電圓盤看作點電荷，因此p點電場強度為：4-4 大多數(shù)生物細胞的細胞膜可以用兩個分別帶有電荷的同心球殼系統(tǒng)來模擬。在本題圖4-5中，設半徑為和的球殼上分別帶有電荷和，求：r1r2q1q2iiiiii圖4-5（1）i、ii 、iii三個區(qū)域中的場強；（2）若 =各區(qū)域的電場強度又為多少？畫出此時的電場強度分布曲線 (即 關系曲線)。從這個結(jié)果，你可以對細胞膜的電場強度分布有個概略的了解。解：（1）i：以r1r1為半徑

9、作球面高斯面，因面內(nèi)無電荷，依可得：e1= 0ii：以為半徑作球面高斯面，面內(nèi)的電荷為q1，依可得：iii：以為半徑作球面高斯面，面內(nèi)的電荷為q1+q2，同理可得：0 rr2r1e圖4-6 e r關系曲線e3 =（2）根據(jù)上部分結(jié)果可得i： e1= 0 ii： iii：e3= 0根據(jù)已知條件畫出關系曲線如圖4-6所示4-5 實驗表明，在靠近地面處有相當強的大氣電場，電場強度方向垂直地面向下，大小約為；在離地面1.5 km高的地方，電場強度方向也是垂直地面向下的，大小約為。（1）計算從地面到此高度的大氣中電荷的平均體密度；（2）若地球上的電荷全部分布在地球表面，求地球表面的電荷面密度；（3）已知

10、地球的半徑為，地球表面的總電量為多少?解：（1）由已知可得，離地面高度為1.5km的大氣電場，地面的大氣電場為。h = 1.5kme2圖4-7從1.5高處至地面作圓柱體高斯面，依題意得：得故（2）靠近地球表面作球面高斯面（3）4-6 隨著溫度的升高，一般物質(zhì)依次表現(xiàn)為固態(tài)、液態(tài)和氣態(tài)。當溫度繼續(xù)升高時，氣體中的大量分子將由于激烈碰撞而離解為電子和正離子。這種主要由帶電離子組成的狀態(tài)為物質(zhì)的第四態(tài)，處于該態(tài)的物質(zhì)稱等離子體。如果氣體放電時形成的等離子體圓柱內(nèi)的體電荷分布有如下關系其中，為電荷體密度，為圓柱軸線上的值，a為常量，求電場強度分布。解：以半徑r長度l作圓柱高斯面，如圖4-8所示，則：r

11、l圖4-84-7 測定土壤顆粒所帶電量的方法之一是沉降法。在該法中，使土壤顆粒在已知黏滯系數(shù)h 的液體中沉降，測出其收尾速度(即最后的穩(wěn)定速度) 。然后，再通過極間電壓施加一個如圖所示的靜電場(假定土壤顆粒帶正電荷)，調(diào)節(jié)使顆粒達到新的收尾速度，這時有下列關系成立：其中，r為土粒的半徑，q為土粒所帶電量。請證明這個關系。解：對進入電場前后的帶電土壤顆粒（后簡稱q）進行受力分析可得：q進入電場前： q進入電場達v2后： 聯(lián)立得：原題證畢4-8 為了將混合在一起的帶負電荷的石英顆粒和帶正電荷的磷酸鹽顆粒分開，可以使之沿重力方向垂直通過一個電場區(qū)域來達到。如果電場強度，顆粒帶電率為，假設顆粒進入電場

12、區(qū)域的初速度為零，欲將石英顆粒和磷酸鹽顆粒分離100 mm以上，問顆粒通過電場區(qū)域的距離至少應為多少?該題說明了在農(nóng)業(yè)上很有實用價值的靜電分選技術的原理。解：正、負帶電顆粒受水平方向的電場力和豎直方向的重力，在電場中運動軌跡如圖4-9所示。分別對帶正、負電荷的顆粒進行受力分析：正電荷：mgqeqemg-+lh圖4-9負電荷：水平位移為：豎直位移為：聯(lián)立兩式得帶電顆粒通過電場距離為4-9 水分子的電偶極矩為，如果這個電偶極矩是由一對點電荷±e引起的(e為電子電量)，那么，它們的距離是多少?如果電偶極矩的取向與強度為電場方向一致，要使這個電偶極矩倒轉(zhuǎn)成與電場相反的方向需要多少能量(用ev

13、表示)? 解：（1）依題意得：p = ql則（2）若使電偶極矩倒轉(zhuǎn)需要能量為a，則4-10 一個細胞的膜電勢差為50mv，膜厚度為。若假定膜中場強為勻強電場，問電場強度為多大?當一個鉀離子()通過該膜時需作多少功?解：依題意得： 若令一個鉀離子()通過該膜時需做功a，則4-11 動物的一些神經(jīng)纖維可視為半徑、長0.1的圓柱體，其內(nèi)部的電勢要比周圍流體的電勢低0.09v，有一層薄膜將神經(jīng)纖維和這些流體隔開。存在于薄膜上的泵(一種運輸?shù)奶胤N蛋白)可以將輸送出纖維。若已知每平方厘米薄膜每秒鐘可送出的，問 (1) 每小時有多少庫侖的電荷被送出纖維? (2) 每小時必須反抗電場力作多少功?解：（1）由已

14、知得：圓柱體半徑，圓柱體長度，阿伏伽德羅常數(shù)，基本電荷。因此，每小時被送出纖維的電荷量為：（2）每小時反抗電場力做功aa = qu = 6.54×10-3×0.09 = 5.89×10-4( j )4-12 計算練習4-4中、區(qū)域中的電勢。解：（1）由題4-4可得i、ii、iii區(qū)域中的電場分布，則區(qū)域i電勢：解得同理可得區(qū)域ii電勢分布：區(qū)域iii電勢分布（2）若，則區(qū)域i電勢：區(qū)域ii電勢：區(qū)域iii電勢：圖4-10qpxr4-13 一個半徑為的均勻帶電細圓環(huán)，所帶總電量為，求圓環(huán)軸線上距圓心為處的電勢。解：環(huán)上線電荷密度為 ，在環(huán)上取電荷元，如圖4-10所示

15、，其電場在p點的電勢為對整個環(huán)進行積分得：導線（）金屬圓筒（）玻璃圖4-114-14 核技術應用中常用的蓋革米勒(gm)計數(shù)管，其外形結(jié)構如圖4-11所示，它實質(zhì)上是一個用玻璃圓筒密封的共軸圓柱形電容器。設導線(正極)的半徑為，金屬圓筒(負極)的半徑為，正、負極之間為真空。當兩極加上電壓時，求導線附近的電場強度和金屬圓筒內(nèi)表面附近的電場強度。解：設正極的線電荷密度為，作半徑為長度為的圓柱高斯面，據(jù)高斯定理得距軸心為處的場強為：兩極間的電壓為聯(lián)立式得故正極附近的場強為圓筒表面的場強為 r1r2圖4-124-15 同軸電纜是由兩個很長且彼此絕緣的同軸金屬圓柱體構成，如圖4-12所示。設內(nèi)圓柱體的電

16、勢為，半徑為，外圓柱體的電勢為，外圓柱體的內(nèi)半徑為，兩圓柱體之間為空氣。求兩圓柱體的空隙中離軸為處()的電勢。解：（1）設內(nèi)圓柱體的體電荷密度為。作以為半徑()，長度為l的圓柱高斯面，依高斯定理得距軸心為處場強為兩圓柱間電壓為聯(lián)立式得：則令內(nèi)筒電勢為零，則距軸心為處的電勢為4-16動物體是利用叫做軸突(axon)的神經(jīng)纖維中的電脈沖傳遞信息的。在結(jié)構上軸突由圓筒形細胞膜組成。設圓筒形細胞膜的內(nèi)半徑為，外半徑為，細胞膜的相對介電常量為，求軸突單位長度的電容。 解：由習題4-15公式，可得圓筒形細胞膜內(nèi)外的電壓為：u = l軸突單位長度的電容為：4-17一個球形電容器，內(nèi)外殼半徑分別為和，兩極板間電介質(zhì)的相