高中基本初等函數(shù)（精編版）

1、單調(diào)性（1） ）函數(shù)的單調(diào)性定義及判定方法函數(shù)的性 質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的單調(diào)性如果對(duì)于屬 于定義域 i 內(nèi)某個(gè)區(qū)間 上的任意兩 個(gè)自變量的值 x 1、x2, 當(dāng) x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是 增 函數(shù)（1） ）利用定義（2） ）利用已知函數(shù)的單調(diào)性（3） ）利用函數(shù)圖象（ 在某個(gè)區(qū)間圖象上升為增）（4） ）利用復(fù)合函數(shù)如果對(duì)于屬 于定義域 i 內(nèi)某個(gè)區(qū)間 上的任意兩 個(gè)自變量的值 x 1、x2，當(dāng) x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是 減 函數(shù)（1） ）利用定義（2） ）利用已知函數(shù)的單

2、調(diào)性（3） ）利用函數(shù)圖象（ 在某個(gè)區(qū)間圖象下降為減）（4） ）利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性是與“區(qū)間”緊密相關(guān)的概念，對(duì)于一個(gè)函數(shù)，它在某區(qū)間上可能有單調(diào)性，也可能沒有單調(diào)性，例如函數(shù)y=x+，它在區(qū)間（ -， 0上沒有單調(diào)性，而在0，+）上是增函數(shù)。有的函數(shù)不具備單調(diào)性，如函數(shù)y=，它的定義域?yàn)?r，但它不具備單調(diào)性；再如函數(shù)y=x+1， xz，它的定義域不是區(qū)間，也不能說它在定義域上具有單調(diào)性。函數(shù)的單調(diào)性具有可逆性，即在區(qū)間 d 上單調(diào)遞增，則， 且，有；反之亦然。復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性： 在公共定義域內(nèi)， 兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)， 兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個(gè)減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個(gè)

3、增函數(shù)為減函數(shù)。對(duì)于復(fù)合函數(shù)yf g ( x) ，令ug (x) ，若yf (u) 為增，ug ( x) 為增，則yf g(x) 為增；若yf (u) 為減，ug( x) 為減，則yf g( x) 為增；若yf (u) 為增，ug( x) 為減，則yf g (x) 為減；若yf (u) 為減，ug (x) 為增，則yf g (x) 為減最大（?。┲刀x一般地，設(shè)函數(shù)yf (x) 的定義域?yàn)?i ，如果存在實(shí)數(shù)m 滿足：（ 1）對(duì)于任意的 xi ，都有f ( x)m ；（2） ）存在 x0i ，使得f (x0 )m 那么，我們稱m 是函數(shù)f ( x)的最大值，記作 f max ( x)m 一般地

4、，設(shè)函數(shù)yf ( x) 的定義域?yàn)?i ，如果存在實(shí)數(shù) m滿足： （ 1）對(duì)于任意的 xi ，都有f (x)m ；（ 2）存在 x0i ，使得f ( x0 )m 那么，我們稱m是函數(shù)f (x) 的最小值，記作fmax ( x)m 函數(shù)的奇偶性定義及判定方法函數(shù)的性 質(zhì)奇偶性定義圖象判定方法函數(shù)的奇偶性如果對(duì)于函數(shù)f(x) 定義域內(nèi)任意一 個(gè) x，都有 f( x)= f(x),那么函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù)（1） ）利用定義（ 要先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）（2） ）利用圖象（ 圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）如果對(duì)于函數(shù) f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè) x，都有 f( x)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù)（1

5、） ）利用定義（要先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）（2） ）利用圖象（ 圖象關(guān)于y軸對(duì)稱）若函數(shù)f (x) 為奇函數(shù)，且在x0 處有定義，則f (0)0 奇函數(shù)在 y 軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y 軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相反用定義判斷函數(shù)奇偶性的方法（1） ）冪函數(shù)的定義冪函數(shù)一般地，函數(shù)yx 叫做冪函數(shù)，其中x 為自變量，是常數(shù)（2） ）冪函數(shù)的圖象（3） ）冪函數(shù)的性質(zhì)圖象分布： 冪函數(shù)圖象分布在第一、 二、三象限，第四象限無圖象 冪函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、二象限(圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱 )；是奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)；是非奇非偶函數(shù)時(shí)，圖象只

6、分布在第一象限過定點(diǎn)：所有的冪函數(shù)在(0,) 都有定義，并且圖象都通過點(diǎn)(1,1)單調(diào)性：如果 0 ，則冪函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在 0, ) 上為增函數(shù)如果 0 ，則冪函數(shù)的圖象在 (0, ) 上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近 x軸與 y 軸奇偶性：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù)圖象特征： 冪函數(shù)yx , x(0,) ，當(dāng)1 時(shí)，若 0x1，其圖象在直線yx 下方，若x1 ，其圖象在直線yx 上方， 當(dāng)1時(shí)，若 0x1，其圖象在直線yx上方，若 x1 ，其圖象在直線yx 下方指數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)定義函數(shù) yxa (a0 且 a1) 叫做指數(shù)函數(shù)a10a1yya

7、 xya xy圖象y1(0,1)y1(0,1)oxox定義域值域過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn) (0,1) ，即當(dāng) x0 時(shí)， y1 奇偶性非奇非偶單調(diào)性在 r 上是增函數(shù)在 r 上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況a 變化對(duì) 圖象的影響在第一象限內(nèi)，a 越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，a越大圖象越低對(duì)數(shù)函數(shù)（1） ）對(duì)數(shù)的定義x若 an (a0, 且a1) ，則 x叫做以 a 為底 n 的對(duì)數(shù)， 記作 xlog an ，其中 a 叫做底數(shù)， n 叫做真數(shù)負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：（2） ）幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式（3） ）常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)xlog ana xn ( a0, a1, n0) 常用對(duì)數(shù)： lg n

8、 ，即log 10 n ；自然對(duì)數(shù)：ln n ，即 log e n （其中 e2.71828）（4） ）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)名稱定義函數(shù) ylog ax(a0 且 a1) 叫做對(duì)數(shù)函數(shù)yx1ylog a xyx1 ylog a x圖象o(1,0)x(1,0)ox定義域值域過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)(1,0) ，即當(dāng) x1時(shí)，y0 奇偶性非奇非偶單調(diào)性在 (0,) 上是增函數(shù)在 (0,) 上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況a變化對(duì) 圖象的影響在第一象限內(nèi)，a 越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，a 越大圖象越靠高設(shè)函數(shù)反函數(shù)yf ( x) 的定義域?yàn)?a ，值域?yàn)?c ，從式子yf ( x) 中解出 x ，得式子x( y) 如果對(duì)于 y 在c 中的任何一個(gè)值，通過式子x( y) ， x在 a 中都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么式子 x( y) 表示 x 是 y 的函數(shù)， 函數(shù) x( y) 叫做函數(shù)yf (x) 的反函數(shù)，記作x f1( y) ，習(xí)慣上改寫成y f 1( x) （ 7）反函數(shù)的求法確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；從原函數(shù)式y(tǒng)f ( x) 中反解出 xf 1 ( y) ；將 xf1 ( y) 改寫成yf1( x) ，并注明反函數(shù)的定義域