2018年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標ⅱ）（含解析版）

1、2018年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1（5分）=（）AiBCD2（5分）已知集合A=（x，y）|x2+y23，xZ，yZ，則A中元素的個數(shù)為（）A9B8C5D43（5分）函數(shù)f（x）=的圖象大致為（）ABCD4（5分）已知向量，滿足|=1，=1，則（2）=（）A4B3C2D05（5分）雙曲線=1（a0，b0）的離心率為，則其漸近線方程為（）Ay=±xBy=±xCy=±xDy=±x6（5分）在ABC中，cos=，BC=1，AC=5，則AB=（）

2、A4BCD27（5分）為計算S=1+，設計了如圖的程序框圖，則在空白框中應填入（）Ai=i+1Bi=i+2Ci=i+3Di=i+48（5分）我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如30=7+23在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是（）ABCD9（5分）在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為（）ABCD10（5分）若f（x）=cosxsinx在a，a是減函數(shù)，則a的最大值是（）ABCD11（5分）已知f（x）是定義域為（，+）的

3、奇函數(shù)，滿足f（1x）=f（1+x），若f（1）=2，則f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=（）A50B0C2D5012（5分）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：=1（ab0）的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，PF1F2為等腰三角形，F(xiàn)1F2P=120°，則C的離心率為（）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13（5分）曲線y=2ln（x+1）在點（0，0）處的切線方程為 14（5分）若x，y滿足約束條件，則z=x+y的最大值為 15（5分）已知sin+cos=1，cos+sin=0，則sin（+）= 16（5分）已知圓錐的頂點為S，母線SA，

4、SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為45°，若SAB的面積為5，則該圓錐的側面積為 三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根要求作答。（一)必考題：共60分。17（12分）記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，已知a1=7，S3=15（1）求an的通項公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值18（12分）如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額y（單位：億元）的折線圖為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型根據(jù)2000年至2016年的

5、數(shù)據(jù)（時間變量t的值依次為1，2，17）建立模型：=30.4+13.5t；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量t的值依次為1，2，7）建立模型：=99+17.5t（1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值；（2）你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由19（12分）設拋物線C：y2=4x的焦點為F，過F且斜率為k（k0）的直線l與C交于A，B兩點，|AB|=8（1）求l的方程；（2）求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程20（12分）如圖，在三棱錐PABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點（1）證明：PO平面ABC；（2）若

6、點M在棱BC上，且二面角MPAC為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值21（12分）已知函數(shù)f（x）=exax2（1）若a=1，證明：當x0時，f（x）1；（2）若f（x）在（0，+）只有一個零點，求a（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。選修4-4：坐標系與參數(shù)方程22（10分）在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）（1）求C和l的直角坐標方程；（2）若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為（1，2），求l的斜率選修4-5：不等式選講23設函數(shù)f（x）=5|x+a|x2|（1）當

7、a=1時，求不等式f（x）0的解集；（2）若f（x）1，求a的取值范圍2018年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1（5分）=（）AiBCD【考點】A5：復數(shù)的運算菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】11：計算題；35：轉化思想；49：綜合法；5N：數(shù)系的擴充和復數(shù)【分析】利用復數(shù)的除法的運算法則化簡求解即可【解答】解：=+故選：D【點評】本題考查復數(shù)的代數(shù)形式的乘除運算，是基本知識的考查2（5分）已知集合A=（x，y）|x2+y23，xZ，yZ，則A中元素的個數(shù)為（）A9B8C5D4

8、【考點】1A：集合中元素個數(shù)的最值菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】32：分類討論；4O：定義法；5J：集合【分析】分別令x=1，0，1，進行求解即可【解答】解：當x=1時，y22，得y=1，0，1，當x=0時，y23，得y=1，0，1，當x=1時，y22，得y=1，0，1，即集合A中元素有9個，故選：A【點評】本題主要考查集合元素個數(shù)的判斷，利用分類討論的思想是解決本題的關鍵3（5分）函數(shù)f（x）=的圖象大致為（）ABCD【考點】3A：函數(shù)的圖象與圖象的變換；6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】33：函數(shù)思想；4R：轉化法；51：函數(shù)的性質及應用【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，利用函數(shù)的定點的

9、符號的特點分別進行判斷即可【解答】解：函數(shù)f（x）=f（x），則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，排除A，當x=1時，f（1）=e0，排除D當x+時，f（x）+，排除C，故選：B【點評】本題主要考查函數(shù)的圖象的識別和判斷，利用函數(shù)圖象的特點分別進行排除是解決本題的關鍵4（5分）已知向量，滿足|=1，=1，則（2）=（）A4B3C2D0【考點】91：向量的概念與向量的模；9O：平面向量數(shù)量積的性質及其運算菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】11：計算題；38：對應思想；4O：定義法；5A：平面向量及應用【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式計算即可【解答】解：向量，滿足|=1，=1，則（2）=2=2+1=3，故選

10、：B【點評】本題考查了向量的數(shù)量積公式，屬于基礎題5（5分）雙曲線=1（a0，b0）的離心率為，則其漸近線方程為（）Ay=±xBy=±xCy=±xDy=±x【考點】KC：雙曲線的性質菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】35：轉化思想；4O：定義法；5D：圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】根據(jù)雙曲線離心率的定義求出a，c的關系，結合雙曲線a，b，c的關系進行求解即可【解答】解：雙曲線的離心率為e=，則=，即雙曲線的漸近線方程為y=±x=±x，故選：A【點評】本題主要考查雙曲線漸近線的求解，結合雙曲線離心率的定義以及漸近線的方程是解決本題的關鍵6（5分

11、）在ABC中，cos=，BC=1，AC=5，則AB=（）A4BCD2【考點】HR：余弦定理菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】11：計算題；35：轉化思想；49：綜合法；58：解三角形【分析】利用二倍角公式求出C的余弦函數(shù)值，利用余弦定理轉化求解即可【解答】解：在ABC中，cos=，cosC=2×=，BC=1，AC=5，則AB=4故選：A【點評】本題考查余弦定理的應用，考查三角形的解法以及計算能力7（5分）為計算S=1+，設計了如圖的程序框圖，則在空白框中應填入（）Ai=i+1Bi=i+2Ci=i+3Di=i+4【考點】E7：循環(huán)結構；EH：繪制程序框圖解決問題菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】38：對應思想

12、；4B：試驗法；5K：算法和程序框圖【分析】模擬程序框圖的運行過程知該程序運行后輸出的S=NT，由此知空白處應填入的條件【解答】解：模擬程序框圖的運行過程知，該程序運行后輸出的是S=NT=（1）+（）+（）；累加步長是2，則在空白處應填入i=i+2故選：B【點評】本題考查了循環(huán)程序的應用問題，是基礎題8（5分）我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如30=7+23在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是（）ABCD【考點】CB：古典概型及其概率計算公式菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】36：整體思想；4O

13、：定義法；5I：概率與統(tǒng)計【分析】利用列舉法先求出不超過30的所有素數(shù)，利用古典概型的概率公式進行計算即可【解答】解：在不超過30的素數(shù)中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10個，從中選2個不同的數(shù)有=45種，和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3種，則對應的概率P=，故選：C【點評】本題主要考查古典概型的概率的計算，求出不超過30的素數(shù)是解決本題的關鍵9（5分）在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為（）ABCD【考點】LM：異面直線及其所成的角菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】11：計算題；3

14、1：數(shù)形結合；41：向量法；5G：空間角【分析】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線AD1與DB1所成角的余弦值【解答】解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，A（1，0，0），D1（0，0，），D（0，0，0），B1（1，1，），=（1，0，），=（1，1，），設異面直線AD1與DB1所成角為，則cos=，異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為故選：C【點評】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎

15、知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎題10（5分）若f（x）=cosxsinx在a，a是減函數(shù)，則a的最大值是（）ABCD【考點】GP：兩角和與差的三角函數(shù)；H5：正弦函數(shù)的單調性菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】33：函數(shù)思想；4R：轉化法；56：三角函數(shù)的求值【分析】利用兩角和差的正弦公式化簡f（x），由，kZ，得，kZ，取k=0，得f（x）的一個減區(qū)間為，結合已知條件即可求出a的最大值【解答】解：f（x）=cosxsinx=（sinxcosx）=，由，kZ，得，kZ，取k=0，得f（x）的一個減區(qū)間為，由f（x）在a，a是減函數(shù)，得，則a的最大值是故選：A【點評】本題考查了兩角和與差的

16、正弦函數(shù)公式的應用，三角函數(shù)的求值，屬于基本知識的考查，是基礎題11（5分）已知f（x）是定義域為（，+）的奇函數(shù)，滿足f（1x）=f（1+x），若f（1）=2，則f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=（）A50B0C2D50【考點】3K：函數(shù)奇偶性的性質與判斷菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】36：整體思想；4O：定義法；51：函數(shù)的性質及應用【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性的關系求出函數(shù)的周期是4，結合函數(shù)的周期性和奇偶性進行轉化求解即可【解答】解：f（x）是奇函數(shù)，且f（1x）=f（1+x），f（1x）=f（1+x）=f（x1），f（0）=0，則f（x+2）=f（x），則f（x+4）=f（x+2）

17、=f（x），即函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，f（1）=2，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（12）=f（1）=f（1）=2，f（4）=f（0）=0，則f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+02+0=0，則f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=12f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故選：C【點評】本題主要考查函數(shù)值的計算，根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性的關系求出函數(shù)的周期性是解決本題的關鍵12（5分）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：=1（ab0）的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，PF1F2為等腰三角形，F(xiàn)1F

18、2P=120°，則C的離心率為（）ABCD【考點】K4：橢圓的性質菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】31：數(shù)形結合；44：數(shù)形結合法；5D：圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】求得直線AP的方程：根據(jù)題意求得P點坐標，代入直線方程，即可求得橢圓的離心率【解答】解：由題意可知：A（a，0），F(xiàn)1（c，0），F(xiàn)2（c，0），直線AP的方程為：y=（x+a），由F1F2P=120°，|PF2|=|F1F2|=2c，則P（2c，c），代入直線AP：c=（2c+a），整理得：a=4c，題意的離心率e=故選：D【點評】本題考查橢圓的性質，直線方程的應用，考查轉化思想，屬于中檔題二、填空題：本題共4小

19、題，每小題5分，共20分。13（5分）曲線y=2ln（x+1）在點（0，0）處的切線方程為y=2x【考點】6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】11：計算題；34：方程思想；49：綜合法；53：導數(shù)的綜合應用【分析】欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數(shù)求出在x=0處的導函數(shù)值，再結合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率從而問題解決【解答】解：y=2ln（x+1），y=，當x=0時，y=2，曲線y=2ln（x+1）在點（0，0）處的切線方程為y=2x故答案為：y=2x【點評】本小題主要考查直線的斜率、導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查運算求

20、解能力屬于基礎題14（5分）若x，y滿足約束條件，則z=x+y的最大值為9【考點】7C：簡單線性規(guī)劃菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】11：計算題；31：數(shù)形結合；35：轉化思想；49：綜合法；5T：不等式【分析】由約束條件作出可行域，數(shù)形結合得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得答案【解答】解：由x，y滿足約束條件作出可行域如圖，化目標函數(shù)z=x+y為y=x+z，由圖可知，當直線y=x+z過A時，z取得最大值，由，解得A（5，4），目標函數(shù)有最大值，為z=9故答案為：9【點評】本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題15（5分）已知sin+cos=1，cos+sin=0，則

21、sin（+）=【考點】GP：兩角和與差的三角函數(shù)菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】33：函數(shù)思想；48：分析法；56：三角函數(shù)的求值【分析】把已知等式兩邊平方化簡可得2+2（sincos+cossin）=1，再利用兩角和差的正弦公式化簡為2sin（+）=1，可得結果【解答】解：sin+cos=1，兩邊平方可得：sin2+2sincos+cos2=1，cos+sin=0，兩邊平方可得：cos2+2cossin+sin2=0，由+得：2+2（sincos+cossin）=1，即2+2sin（+）=1，2sin（+）=1sin（+）=故答案為：【點評】本題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應用，三角函數(shù)的求值，屬

22、于基本知識的考查，是基礎題16（5分）已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為45°，若SAB的面積為5，則該圓錐的側面積為40【考點】MI：直線與平面所成的角菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】11：計算題；35：轉化思想；49：綜合法；5F：空間位置關系與距離【分析】利用已知條件求出圓錐的母線長，利用直線與平面所成角求解底面半徑，然后求解圓錐的側面積【解答】解：圓錐的頂點為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，可得sinASB=SAB的面積為5，可得sinASB=5，即×=5，即SA=4SA與圓錐底面所成角為45°，可得圓錐的底面半徑為：=2

23、則該圓錐的側面積：=40故答案為：40【點評】本題考查圓錐的結構特征，母線與底面所成角，圓錐的截面面積的求法，考查空間想象能力以及計算能力三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根要求作答。（一)必考題：共60分。17（12分）記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，已知a1=7，S3=15（1）求an的通項公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值【考點】84：等差數(shù)列的通項公式；85：等差數(shù)列的前n項和菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】34：方程思想；49：綜合法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】（1）根據(jù)a1=7，S3

24、=15，可得a1=7，3a1+3d=15，求出等差數(shù)列an的公差，然后求出an即可；（2）由a1=7，d=2，an=2n9，得Sn=n28n=（n4）216，由此可求出Sn以及Sn的最小值【解答】解：（1）等差數(shù)列an中，a1=7，S3=15，a1=7，3a1+3d=15，解得a1=7，d=2，an=7+2（n1）=2n9；（2）a1=7，d=2，an=2n9，Sn=n28n=（n4）216，當n=4時，前n項的和Sn取得最小值為16【點評】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了等差數(shù)列的前n項的和公式，屬于中檔題18（12分）如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額y（單位：億

25、元）的折線圖為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量t的值依次為1，2，17）建立模型：=30.4+13.5t；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量t的值依次為1，2，7）建立模型：=99+17.5t（1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值；（2）你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由【考點】BK：線性回歸方程菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】31：數(shù)形結合；4O：定義法；5I：概率與統(tǒng)計【分析】（1）根據(jù)模型計算t=19時的值，根據(jù)模型計算t=9時的值即可；（2）從總體數(shù)據(jù)

26、和2000年到2009年間遞增幅度以及2010年到2016年間遞增的幅度比較，即可得出模型的預測值更可靠些【解答】解：（1）根據(jù)模型：=30.4+13.5t，計算t=19時，=30.4+13.5×19=226.1；利用這個模型，求出該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值是226.1億元；根據(jù)模型：=99+17.5t，計算t=9時，=99+17.5×9=256.5；利用這個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值是256.5億元；（2）模型得到的預測值更可靠；因為從總體數(shù)據(jù)看，該地區(qū)從2000年到2016年的環(huán)境基礎設施投資額是逐年上升的，而從2000年到2

27、009年間遞增的幅度較小些，從2010年到2016年間遞增的幅度較大些，所以，利用模型的預測值更可靠些【點評】本題考查了線性回歸方程的應用問題，是基礎題19（12分）設拋物線C：y2=4x的焦點為F，過F且斜率為k（k0）的直線l與C交于A，B兩點，|AB|=8（1）求l的方程；（2）求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程【考點】KN：直線與拋物線的綜合菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】35：轉化思想；4R：轉化法；5D：圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】（1）方法一：設直線AB的方程，代入拋物線方程，根據(jù)拋物線的焦點弦公式即可求得k的值，即可求得直線l的方程；方法二：根據(jù)拋物線的焦點弦公式|AB|=，求

28、得直線AB的傾斜角，即可求得直線l的斜率，求得直線l的方程；（2）根據(jù)過A，B分別向準線l作垂線，根據(jù)拋物線的定義即可求得半徑，根據(jù)中點坐標公式，即可求得圓心，求得圓的方程【解答】解：（1）方法一：拋物線C：y2=4x的焦點為F（1，0），設直線AB的方程為：y=k（x1），設A（x1，y1），B（x2，y2），則，整理得：k2x22（k2+2）x+k2=0，則x1+x2=，x1x2=1，由|AB|=x1+x2+p=+2=8，解得：k2=1，則k=1，直線l的方程y=x1；方法二：拋物線C：y2=4x的焦點為F（1，0），設直線AB的傾斜角為，由拋物線的弦長公式|AB|=8，解得：sin2=，

29、=，則直線的斜率k=1，直線l的方程y=x1；（2）由（1）可得AB的中點坐標為D（3，2），則直線AB的垂直平分線方程為y2=（x3），即y=x+5，設所求圓的圓心坐標為（x0，y0），則，解得：或，因此，所求圓的方程為（x3）2+（y2）2=16或（x11）2+（y+6）2=144【點評】本題考查拋物線的性質，直線與拋物線的位置關系，拋物線的焦點弦公式，考查圓的標準方程，考查轉換思想思想，屬于中檔題20（12分）如圖，在三棱錐PABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點（1）證明：PO平面ABC；（2）若點M在棱BC上，且二面角MPAC為30°，求PC與

30、平面PAM所成角的正弦值【考點】LW：直線與平面垂直；MI：直線與平面所成的角；MJ：二面角的平面角及求法菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】35：轉化思想；41：向量法；4R：轉化法；5F：空間位置關系與距離；5H：空間向量及應用【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明POAC，POOB即可；（2）根據(jù)二面角的大小求出平面PAM的法向量，利用向量法即可得到結論【解答】（1）證明：連接BO，AB=BC=2，O是AC的中點，BOAC，且BO=2，又PA=PC=PB=AC=4，POAC，PO=2，則PB2=PO2+BO2，則POOB，OBAC=O，PO平面ABC；（2）建立以O坐標原點，OB，OC，OP分別為x

31、，y，z軸的空間直角坐標系如圖：A（0，2，0），P（0，0，2），C（0，2，0），B（2，0，0），=（2，2，0），設=（2，2，0），01則=（2，2，0）（2，2，0）=（22，2+2，0），則平面PAC的法向量為=（1，0，0），設平面MPA的法向量為=（x，y，z），則=（0，2，2），則=2y2z=0，=（22）x+（2+2）y=0令z=1，則y=，x=，即=（，1），二面角MPAC為30°，cos30°=|=，即=，解得=或=3（舍），則平面MPA的法向量=（2，1），=（0，2，2），PC與平面PAM所成角的正弦值sin=|cos，|=|=【點評】本題主

32、要考查空間直線和平面的位置關系的應用以及二面角，線面角的求解，建立坐標系求出點的坐標，利用向量法是解決本題的關鍵21（12分）已知函數(shù)f（x）=exax2（1）若a=1，證明：當x0時，f（x）1；（2）若f（x）在（0，+）只有一個零點，求a【考點】6D：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】35：轉化思想；49：綜合法；53：導數(shù)的綜合應用【分析】（1）通過兩次求導，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值即可證明，（2）方法一、分離參數(shù)可得a=在（0，+）只有一個根，即函數(shù)y=a與G（x）=的圖象在（0，+）只有一個交點結合圖象即可求得a方法二、：當a0時，f（x）=exax20，f（x

33、）在（0，+）沒有零點當a0時，設函數(shù)h（x）=1ax2exf（x）在（0，+）只有一個零點h（x）在（0，+）只有一個零點利用 h（x）=x（x2）ex，可得h（x）在（0，2）遞減，在（2，+）遞增，結合函數(shù)h（x）圖象即可求得a【解答】證明：（1）當a=1時，函數(shù)f（x）=exx2則f（x）=ex2x，令g（x）=ex2x，則g（x）=ex2，令g（x）=0，得x=ln2當x（0，ln2）時，g（x）0，當x（ln2，+）時，g（x）0，g（x）g（ln2）=eln22ln2=22ln20，f（x）在0，+）單調遞增，f（x）f（0）=1，解：（2）方法一、，f（x）在（0，+）只有一個

34、零點方程exax2=0在（0，+）只有一個根，a=在（0，+）只有一個根，即函數(shù)y=a與G（x）=的圖象在（0，+）只有一個交點G，當x（0，2）時，G（x）0，當（2，+）時，G（x）0，G（x）在（0，2）遞減，在（2，+）遞增，當0時，G（x）+，當+時，G（x）+，f（x）在（0，+）只有一個零點時，a=G（2）=方法二：當a0時，f（x）=exax20，f（x）在（0，+）沒有零點當a0時，設函數(shù)h（x）=1ax2exf（x）在（0，+）只有一個零點h（x）在（0，+）只有一個零點 h（x）=x（x2）ex，當x（0，2）時，h（x）0，當x（2，+）時，h（x）0，h（x）在（0，2）遞減，在（2，+）遞增，（x0） 當h（2）0時，即a，由于h（0）=1，當x0時，exx2，可得h（4a）=1=10h（x）在（0，+）有2個零點 當