第2章非線性方程的數(shù)值解法

1、第二章第二章 非線性方程的數(shù)值解法非線性方程的數(shù)值解法非線性方程非線性方程:f(x)=0包括：代數(shù)方程（多項(xiàng)式）、超越方程（三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)）。求解方法：直接求解法、間接求解法；直接求解法一般為解析法，能夠得到精確解，如二次方程求根公式等。簡(jiǎn)單但不一定總有效。間接求解法一般較復(fù)雜，可以利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算，其結(jié)果為近似解，但誤差可以控制。非線性方程求解的基本問(wèn)題：非線性方程求解的基本問(wèn)題：根的個(gè)數(shù)；根的位置根的個(gè)數(shù)；根的位置。求解方程的根，一般有兩種情形：求解方程的根，一般有兩種情形：求出在給定范圍內(nèi)的某個(gè)根求出在給定范圍內(nèi)的某個(gè)根求出方程的全部根，而根的數(shù)目和位置事先不知道求出方程

2、的全部根，而根的數(shù)目和位置事先不知道求解方程的根，需要解決的問(wèn)題：求解方程的根，需要解決的問(wèn)題：根的存在性，根的個(gè)數(shù)根的存在性，根的個(gè)數(shù)根的隔離根的隔離根的精細(xì)化根的精細(xì)化求非線性方程根的一些常用方法：求非線性方程根的一些常用方法：區(qū)間搜索法（逐步搜索法、區(qū)間搜索法（逐步搜索法、 二分法）二分法）迭代法迭代法牛頓法牛頓法弦截法弦截法2.1區(qū)間搜索法區(qū)間搜索法預(yù)備知識(shí)：預(yù)備知識(shí)：方程的根：?jiǎn)胃?、重根。方程的根：?jiǎn)胃?、重根?根的存在性定理：根的存在性定理：定理：定理：若若 f 在在a, b上連續(xù)，且上連續(xù)，且 f (a) f (b) 0打打 印印結(jié)結(jié) 束束否否是是繼續(xù)掃描繼續(xù)掃描 例例1 1：考

3、察方程：考察方程32( )1138.841.770f xxxxx0 1 2 3 4 5 6f(x)的符號(hào)的符號(hào)- - + + - - +計(jì)算速度慢，一般用于確定根的位置計(jì)算速度慢，一般用于確定根的位置二分法的步驟：二分法的步驟： 二分法二分法abx0 x1a1x*b12.1.3 二分法二分法思路思路：二分法的基本思想二分法的基本思想 就是逐步就是逐步對(duì)分對(duì)分區(qū)間區(qū)間,經(jīng)過(guò)對(duì)根的搜經(jīng)過(guò)對(duì)根的搜索，將有根區(qū)間的長(zhǎng)度縮小到充分小，從而求出滿足精度的索，將有根區(qū)間的長(zhǎng)度縮小到充分小，從而求出滿足精度的根根 的近似值。的近似值。 執(zhí)行步驟執(zhí)行步驟1計(jì)算計(jì)算f (x)在有解區(qū)間在有解區(qū)間a, b端點(diǎn)處的值

4、端點(diǎn)處的值，f (a)，f (b)。2計(jì)算計(jì)算f (x)在區(qū)間中點(diǎn)處的值在區(qū)間中點(diǎn)處的值f (x1)。3判斷若判斷若f (x1) = 0，則則x1即是根，否則檢驗(yàn)即是根，否則檢驗(yàn)：（1）若若f (x1)與與f (a)異號(hào)異號(hào)，則知解位于區(qū)間則知解位于區(qū)間a, x1， b1=x1, a1=a;（2）若若f (x1)與與f (a)同號(hào)同號(hào)，則知解位于區(qū)間則知解位于區(qū)間x1, b， a1=x1, b1=b。反復(fù)執(zhí)行步驟反復(fù)執(zhí)行步驟2、3，便可得到一系列有根區(qū)間便可得到一系列有根區(qū)間：(a, b), (a1, b1), , (ak, bk), 4、當(dāng)當(dāng)11kkab時(shí)時(shí))(211kkkbax5、則、則即

5、為根的近似即為根的近似簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單; 對(duì)對(duì)f (x) 要求不高要求不高(只要連續(xù)即可只要連續(xù)即可) ； 事先可以估計(jì)出迭代次數(shù)。事先可以估計(jì)出迭代次數(shù)。無(wú)法求復(fù)根及偶重根無(wú)法求復(fù)根及偶重根 收斂慢收斂慢 已知含根區(qū)間。已知含根區(qū)間。 kkkbax 21,210 xxx*x誤差誤差 分析分析： ababxxkkkk 1*2121 kxx* kkkbax 21*x二分法二分法用二分法求根，最好先給出用二分法求根，最好先給出 f (x) 草圖以確定根的大草圖以確定根的大概位置?；蛴盟阉鞒绦颍瑢⒏盼恢?。或用搜索程序，將a, b分為若干小區(qū)間，對(duì)每一分為若干小區(qū)間，對(duì)每一個(gè)滿足個(gè)滿足 f (ak)f (bk

6、) 0f (a) f (b)=0f (a) =0打印打印b, k打印打印a, k結(jié)束結(jié)束是是是是是是否否否否否否m=(a+b)/2|a-b|0打印打印m, ka=mb=m結(jié)束結(jié)束k=K+1是是是是否否否否輸入輸入 ,bak = 0應(yīng)用： 例、設(shè) ，求x=?解： 所以，x=2.1015625 01. 0,3 , 2, 523baxxxfkabxab02-3+2.5+112-2.5+2.25+0.522-2.25+2.125+0.2532-2.125+2.0625-0.12542.0625-2.125+2.09375-0.062552.09375-2.125+2.109375+0.0312562.

7、093752.1093752.10156250.01562502. 02.2 2.2 迭代法（不動(dòng)點(diǎn)迭代法）迭代法（不動(dòng)點(diǎn)迭代法）2.2.1 2.2.1 迭代原理迭代原理2.2.2 2.2.2 迭代的收斂性迭代的收斂性2.2.3 2.2.3 迭代的收斂速度迭代的收斂速度2.2.4 2.2.4 迭代的加速（不講）迭代的加速（不講）2.2 迭代法（不動(dòng)點(diǎn)迭代）迭代法（不動(dòng)點(diǎn)迭代）f (x) = 0 x = (x)等價(jià)變換等價(jià)變換f (x) 的根的根 (x) 的不動(dòng)點(diǎn)的不動(dòng)點(diǎn)思思路路從一個(gè)初值從一個(gè)初值 x0 出發(fā)出發(fā), ,計(jì)算計(jì)算 x1 = (x0), x2 = (x1), , xk+1 = (x

8、k), 若若 收斂，即存在收斂，即存在 x* 使得使得 ，只要，只要 連續(xù)，則連續(xù)，則 ，也就是也就是 x* = (x* )，即，即x* 是是 的根，也就是的根，也就是f 的根。的根。若若 xk發(fā)散，則迭代發(fā)散，則迭代 法失敗。法失敗。kx*limxxkk kkkkxx limlim12.2.1迭代法原理：迭代法原理：5553033xxxxxx 迭代法迭代法：是一種逐次逼近的方法。是一種逐次逼近的方法。它是它是用某個(gè)用某個(gè)固定公式反復(fù)校正根的近似值，使之逐步精確，最后固定公式反復(fù)校正根的近似值，使之逐步精確，最后得到滿足精度要求的結(jié)果。得到滿足精度要求的結(jié)果。 xk+1 = (xk) 稱為稱為

9、迭代格式，迭代格式， (x) 稱為稱為迭代函數(shù)迭代函數(shù)x x0 0 稱為稱為迭代初值迭代初值, , 數(shù)列數(shù)列 稱為稱為迭代序列迭代序列 kx 迭代法迭代法思想思想：將隱式方程將隱式方程 的求根問(wèn)題歸的求根問(wèn)題歸結(jié)為計(jì)算一組顯式結(jié)為計(jì)算一組顯式xk+1 = (xk) ，也就是說(shuō)，迭代過(guò)程是，也就是說(shuō)，迭代過(guò)程是一個(gè)逐步顯式化的過(guò)程。一個(gè)逐步顯式化的過(guò)程。x = (x)1、例題：求在1附近的根。解：方法1由題意可得到下面求解迭代方式：計(jì)算結(jié)果如下所示：035 xx10 x3 , 2 , 1351kxxkk55303xxxxkkx01234511.31951.33991.34121.34131.34

10、13411.3413*102x終止條件1kkxxkxx 取0 x, 2 , 1,1kxxkk初值 xxxf 0結(jié)論結(jié)論：求方法201231-2-35-52521878kkx失敗35 xx迭代方式10 x351kkxx計(jì)算結(jié)果：簡(jiǎn) 單 迭 代 法 的 幾 何 意 義 ： 把 求 方 程( )0f x 的根的問(wèn)題， 轉(zhuǎn)化為求( )yxyx兩曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的根*x。 2.2.2 迭代法的收斂性迭代法的收斂性xyy = xxyy = xxyy = xxyy = xx*x*x*x*y= (x)y= (x)y= (x)y= (x)x0p0 x1p1 x0p0 x1p1 x0p0 x1

11、p1x0p0 x1p1簡(jiǎn)單迭代法簡(jiǎn)單迭代法0k1-1k1k-1收斂定理收斂定理 考慮方程考慮方程 x =(x), (x)在在a, b上連續(xù)上連續(xù), 若若( I ) 對(duì)所有對(duì)所有 x a, b ，有，有 (x) a, b；( II ) 存在存在 0 L 1 ，使所有使所有 x a, b 有有| (x) | L 1 。則：則：1）方程）方程x = (x)在在a, b上的解上的解x*存在且唯一。存在且唯一。 2）任?。┤稳?x0 a, b，由迭代過(guò)程，由迭代過(guò)程 xk+1 = (xk) 收斂于收斂于x*簡(jiǎn)單迭代法簡(jiǎn)單迭代法推論推論 驗(yàn)后誤差估計(jì)：驗(yàn)后誤差估計(jì)：|1|*|1 kkkxxLLxx|1|*

12、|01xxLLxxkk 誤差估計(jì)式：誤差估計(jì)式：驗(yàn)前誤差估計(jì)：驗(yàn)前誤差估計(jì)：證明：證明： (x) 在在a, b上有根？上有根？令令xxx )()( bxa )( ,0)()( aaa 0)()( bbb )(x 有根有根 根唯一？根唯一？反證：若不然，設(shè)還有反證：若不然，設(shè)還有 ，則，則)(xx ),*( )()(*)(xxxx xx*在在和和之間。之間。 *xx0)(1)( xx* 而而xx*1| )(| 當(dāng)當(dāng)k 時(shí)，時(shí)， xk 收斂到收斂到 x* ？ |*|kxx|*| )(| )(*)(|11 kkxxxx 0|*|.|*|01 xxLxxLkk 3 簡(jiǎn)單迭代法簡(jiǎn)單迭代法 xx 有根有根

13、L1| )1 (1 kkkxxLxxL?|1|*|1 kkkxxLLxx|)|*(| |*|111 kkkkkkkkxxxxLxxxxLxxLxx ?|1|*|01xxLLxxkk | | )(| )()(|2121211 kkkkkkkkxxLxxxxxx 可用可用 來(lái)來(lái)控制收斂精度控制收斂精度|1 kkxxL 越越 收斂越快收斂越快小小定理?xiàng)l件非必要條件，對(duì)某些問(wèn)題在區(qū)間定理?xiàng)l件非必要條件，對(duì)某些問(wèn)題在區(qū)間a, b上上不不滿足滿足| (x) | L 1 ，迭代也收斂。，迭代也收斂。 實(shí)際應(yīng)用中還是用此定理判斷收斂性，當(dāng)不滿足收實(shí)際應(yīng)用中還是用此定理判斷收斂性，當(dāng)不滿足收斂條件時(shí)，改變迭代公

14、式使之滿足。斂條件時(shí)，改變迭代公式使之滿足。3 簡(jiǎn)單迭代法簡(jiǎn)單迭代法|1 .|1|1|*|012121xxLLxxLLxxLLxxkkkkkk 例題n例：例： 證明函數(shù) 在區(qū)間1，2上滿足迭代收斂條件。n證明：31)x(x上嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)。是區(qū)間所以因?yàn)?)(2 , 1 0) 1(31)x(32baxxx例題 2 , 1 1431|) 1(31| )(|332xLxx又23)2(12) 1 (33，而）。滿足條件（，所以即1)(2 , 1 )2(),1 (x）。滿足條件（所以2)(x滿滿足足收收斂斂原原理理。在在故故2 , 1 1)x(3 x 例題n若取迭代函數(shù) ， 不滿足收斂定理，故不能肯定

15、 收斂到方程的根。 1)x(3 x2 , 1 3|3| )(|2xxx因?yàn)?.1 , 0)(1nxxnn迭代法局部收斂性迭代法局部收斂性1 *x bax, bax, *:xx kkxx 1 0 x kkxx 1*x*x*x*x 1* x *:xx 1 Lx *xxxx *xx x *xxxxLxx kkxx 1 0 x x xx *x 1* x kkxx 1由于在實(shí)際應(yīng)用中根由于在實(shí)際應(yīng)用中根 x* 事先不知道，故條件事先不知道，故條件 | (x* )| 1無(wú)法驗(yàn)證。但已知根的初值無(wú)法驗(yàn)證。但已知根的初值x0在根在根 x*鄰域，又根據(jù)鄰域，又根據(jù) (x)的的連續(xù)性，則可采用連續(xù)性，則可采用 |

16、 (x0 )| 1 來(lái)代替來(lái)代替| (x* )| 1，判斷迭代的收斂性。，判斷迭代的收斂性。 *x kkxx 1 xx *xxekk 1 pp 0 ccceepkkk 1limkxp10 , 1 cp2 p1 pc*x kkxx 1p xp 0, 0*1* xxxxpp *xQ: 如何實(shí)際確定收斂階？如何實(shí)際確定收斂階？2.3 2.3 牛頓迭代法牛頓迭代法2.3.1 2.3.1 迭代公式的建立迭代公式的建立2.3.2 2.3.2 牛頓迭代法的收斂情況牛頓迭代法的收斂情況2.3.3 2.3.3 牛頓迭代法的修正法牛頓迭代法的修正法2.3 牛頓法牛頓法原理：原理：將非線性方程線性化將非線性方程線性

17、化 Taylor 展開展開取取 x0 x*，將將 f (x)在在 x0 做一階做一階Taylor展開展開:20000)(! 2)()()()(xxfxxxfxfxf ， 在在 x0 和和 x* 之間。之間。將將 (x* x0)2 看成高階小量，則有：看成高階小量，則有：)*)()(*)(0000 xxxfxfxf )()(*000 xfxfxx 線性線性xyx*x0 x1)()(1kkkkxfxfxx 迭代公式迭代公式： )()(xfxfxx 迭代函數(shù)迭代函數(shù)：牛頓切線法牛頓切線法2.3.2牛頓切線法的收斂情況牛頓切線法的收斂情況 定理定理 （局部收斂性局部收斂性）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在包含在包含

18、的某鄰的某鄰域內(nèi)有域內(nèi)有 階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，階連續(xù)導(dǎo)數(shù)， 是方程是方程 的的單根單根，則當(dāng)初值則當(dāng)初值 充分接近充分接近 時(shí)，牛頓切線法收斂，且至?xí)r，牛頓切線法收斂，且至少為二階收斂。并有少為二階收斂。并有*xk12kkxx*f ( x*)lim( xx*)2 f ( x*) xf 2 p*x 0 xf0 x*x這里這里單根單根意味著：意味著：f ( x*)0 牛頓切線法牛頓切線法2.3.2牛頓迭代法的收斂情況牛頓迭代法的收斂情況 定理定理設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 滿足滿足 且且 在在 鄰域連續(xù)，則牛頓迭代法在鄰域連續(xù)，則牛頓迭代法在 收斂，且至少為二收斂，且至少為二階收斂。并有階收斂。并有f ( x*)0,

19、f ( x )0, *)(2*)(*)(*lim21xfxfxxxxkkk xf*xf ( x )*x牛頓切線法牛頓切線法證明：證明：牛頓法牛頓法 事實(shí)上是一種特殊的不動(dòng)點(diǎn)迭代事實(shí)上是一種特殊的不動(dòng)點(diǎn)迭代 其中其中 ，則，則)()()(xfxfxx 10*)(*)(*)(*)(2xfxfxfx 收斂收斂由由 Taylor 展開：展開：2)*(!2)()*)()(*)(0kkkkkxxfxxxfxfxf 2)*()(! 2)()()(*kkkkkkxxxffxfxfxx 1 kx)(2)(*)(*21kkkkxffxxxx 只要只要f (x*) 0在在單根單根 附近收斂快附近收斂快 k 12kk

20、xx*f ( x*)lim( xx*)2 f ( x*) 牛頓切線法牛頓切線法牛頓法收斂性依賴于牛頓法收斂性依賴于x0 的選取。的選取。x*x0 x0 x0具有具有局部恒收斂性局部恒收斂性，收斂性依賴于，收斂性依賴于初值初值 的選取。的選取。收斂性好收斂性好（至少平方收斂）（至少平方收斂）每次計(jì)算要計(jì)算導(dǎo)數(shù)，每次計(jì)算要計(jì)算導(dǎo)數(shù)，效率不高效率不高牛頓法特點(diǎn)：牛頓法特點(diǎn)：例題例題例1: 用Newton法求 的近似解。（取8位有效數(shù)字）。解：由根存在定理。0cos)(xxxf內(nèi)有根。在)2, 0(0cosxx迭代公式得及由Newtonxxfsin1)(,.1 , 0sin1cos1nxxxxxnnn

21、nn例題085133739. 0739085133. 0739085133. 0739085178. 0;73936133. 044*43210 xxxxxxx故取得取Newton迭代法算法迭代法算法。輸出）轉(zhuǎn)（做輸入1101001001000:)4(;2) 3;)2;/) 1|while(3);();()2(;,) 1 (xendwhilexxffxxfxffxffx牛頓切線法改進(jìn)牛頓切線法改進(jìn)牛頓法的改進(jìn)與推廣牛頓法的改進(jìn)與推廣 改進(jìn)一：改進(jìn)一：重根時(shí)的收斂速度及改進(jìn)：重根時(shí)的收斂速度及改進(jìn)：Q1: 若若 ，牛頓法牛頓法是否仍收斂？是否仍收斂？0*)( xf設(shè)設(shè) x* 是是 f 的的 m

22、重根，則：重根，則： 且且 。( )(*)( )mf xxxq x0*)( xq因?yàn)橐驗(yàn)榕ｎD法事實(shí)上是一種特殊的不動(dòng)點(diǎn)迭代，牛頓法事實(shí)上是一種特殊的不動(dòng)點(diǎn)迭代，其中其中 ，則，則)()()(xfxfxx 22f ( x*)f ( x*) f ( x*)|( x*)|1f ( x*) 111m A1: 有局部收斂性，收斂慢（有局部收斂性，收斂慢（線性收斂線性收斂）。）。Q2: 如何加速重根的收斂？如何加速重根的收斂？)()( )(xfxfxx A2: 修正修正迭代格式（迭代格式（平方收斂平方收斂）m m證明過(guò)程證明過(guò)程見書見書p43 改進(jìn)二：改進(jìn)二： 牛頓牛頓下山法下山法擴(kuò)大初值范圍的修正牛頓法

23、擴(kuò)大初值范圍的修正牛頓法： 原理原理：若由若由 xk 得到的得到的 xk+1 不能使不能使 | f | 減小，則在減小，則在 xk 和和 xk+1 之間找一個(gè)更好的點(diǎn)之間找一個(gè)更好的點(diǎn) ，使得，使得 。1 kx)()(1kkxfxf xkxk+1,)1(1kkxx 1, 0 )()()1 ()()(1kkkkkkkkxfxfxxxfxfxx 通過(guò)適當(dāng)選取的通過(guò)適當(dāng)選取的 保證函數(shù)值能單調(diào)下降保證函數(shù)值能單調(diào)下降牛頓切線法改進(jìn)牛頓切線法改進(jìn)下山法：下山法：迭代過(guò)程中保證函數(shù)值單調(diào)下降，即迭代過(guò)程中保證函數(shù)值單調(diào)下降，即)()(1kkxfxf 牛頓下山法：牛頓下山法：將牛頓法與下山法結(jié)合使用的算法

24、將牛頓法與下山法結(jié)合使用的算法 下山因子下山因子牛頓牛頓下山法幾點(diǎn)討論下山法幾點(diǎn)討論實(shí)用中從實(shí)用中從 = 1開始反復(fù)將開始反復(fù)將 減半計(jì)算。一旦單調(diào)下降則稱減半計(jì)算。一旦單調(diào)下降則稱“下山成功下山成功”。反之則稱。反之則稱“下山失敗下山失敗”，需另選初值，需另選初值x0計(jì)算。計(jì)算。牛頓切線法改進(jìn)牛頓切線法改進(jìn)當(dāng)當(dāng) 1時(shí)。牛頓下山法只有線性收斂速度，但對(duì)初值的選時(shí)。牛頓下山法只有線性收斂速度，但對(duì)初值的選取卻可放的很寬。常用牛頓下山法選取初值。取卻可放的很寬。常用牛頓下山法選取初值。實(shí)用中常用牛頓下山法選取初值。為加快收斂速度，轉(zhuǎn)入牛實(shí)用中常用牛頓下山法選取初值。為加快收斂速度，轉(zhuǎn)入牛頓法來(lái)求解

25、根的精確值。頓法來(lái)求解根的精確值。牛頓法每一步要計(jì)算牛頓法每一步要計(jì)算 f 和和 f ，相當(dāng)于，相當(dāng)于2個(gè)函數(shù)值，且有些個(gè)函數(shù)值，且有些導(dǎo)數(shù)難求。為了避開導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，用導(dǎo)數(shù)難求。為了避開導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，用差商差商代替代替導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)。x0切線切線 割線割線 切線斜率切線斜率 割線斜率割線斜率00)()()(xxxfxfxfkkk 2.4 2.4 弦截法弦截法x2x100)()(xxxfxfkk )()()()(001xxxfxfxfxxkkkkk kkkkxfxfxx1 用用割線斜率割線斜率（差商）替換（差商）替換切線斜率切線斜率，代入牛頓法迭代公式：，代入牛頓法迭代公式：上式中，固定弦的一個(gè)端點(diǎn)（

26、上式中，固定弦的一個(gè)端點(diǎn)（x x0 0, ,f f( (x0) )），而另一端點(diǎn)變動(dòng)，），而另一端點(diǎn)變動(dòng)，稱為稱為單點(diǎn)弦法。單點(diǎn)弦法。2.4.1 2.4.1 單點(diǎn)弦法單點(diǎn)弦法：?jiǎn)吸c(diǎn)弦法幾何意義：?jiǎn)吸c(diǎn)弦法幾何意義：x0 x1)()()()()(001011xxxxxfxfxfxfx2x3x4xf(x)*0*00*0f ( x )f ( x )( x )1( xx )1f ( x )f ( x )f ( x )xx 因?yàn)橐驗(yàn)閒(xf(x* *) ) = 0 = 0，故求導(dǎo)數(shù)得，故求導(dǎo)數(shù)得所以所以0 0 (x(x* *) ) 1 1，所以，所以單點(diǎn)弦法單點(diǎn)弦法僅為僅為線性收斂線性收斂。單點(diǎn)弦法收斂速

27、度單點(diǎn)弦法收斂速度：00f ( x )( x )x( xx )f ( x )f ( x ) 迭代函數(shù)迭代函數(shù)：*0*0f ( x )f ( x )xx *x當(dāng)初值當(dāng)初值x x0 0充分接近充分接近 時(shí)時(shí)很接近很接近f f(x(x* *) )2.4.2 2.4.2 雙點(diǎn)弦法雙點(diǎn)弦法：為了加快收斂速度為了加快收斂速度，弦的兩個(gè)端點(diǎn)都在變動(dòng)，稱為弦的兩個(gè)端點(diǎn)都在變動(dòng)，稱為雙點(diǎn)弦法雙點(diǎn)弦法或稱或稱快速弦截法。快速弦截法。迭代時(shí)需要迭代時(shí)需要2個(gè)初值個(gè)初值 xk 和和 xk1。 111 kkkkkkkxxxfxfxfxx雙點(diǎn)弦法迭代公式雙點(diǎn)弦法迭代公式：快速弦截法的幾何意義：快速弦截法的幾何意義：x0

28、x1)()()()()(11kkkkkkxxxxxfxfxfxfx2x3x4xf(x)雙點(diǎn)弦法收斂速度雙點(diǎn)弦法收斂速度： 雙點(diǎn)弦截法的收斂性與牛頓迭代法一樣，即在雙點(diǎn)弦截法的收斂性與牛頓迭代法一樣，即在根的某個(gè)鄰域內(nèi)，根的某個(gè)鄰域內(nèi)，f(xf(x) )有直至二階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且有直至二階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f f(x(x* *) ) 0 0，具有局部收斂性，同時(shí)在鄰域任取初，具有局部收斂性，同時(shí)在鄰域任取初值值x0 x0、x1x1，迭代均收斂。，迭代均收斂。 可以證明，雙點(diǎn)弦截法具有超線性斂速度，可以證明，雙點(diǎn)弦截法具有超線性斂速度，收斂的階為：收斂的階為： 1151.6182 用用Newton法和弦

29、截法解下面方程的根，并比較法和弦截法解下面方程的根，并比較0133xx13)(3xxxf設(shè)33)(2xxf由由Newton法法由弦截法由弦截法)()()()(111kkkkkkkxxxfxfxfxx)()(1kkkkxfxfxx331323kkkkxxxxx0=0.5;x1=0.4;x2 = 0.3430962343x3 = 0.3473897274x4 = 0.3472965093x5 = 0.3472963553x6 = 0.3472963553Newton法法由弦截法由弦截法要達(dá)到精度要達(dá)到精度10-8 弦截法迭代弦截法迭代5次次Newton迭代法迭代迭代法迭代4次次x0 =0.5;x1

30、 =0.3333333333x2 =0.3472222222x3 =0.3472963532x4 =0.3472963553 解非線性方程組通常有兩類方法：一類屬于線性化方法，即將非解非線性方程組通常有兩類方法：一類屬于線性化方法，即將非線性方程組用一組線性方程來(lái)近似，由此構(gòu)造一種迭代格式，用線性方程組用一組線性方程來(lái)近似，由此構(gòu)造一種迭代格式，用逐次逼近真實(shí)解，這類方法有逐次逼近真實(shí)解，這類方法有牛頓法牛頓法及各種改進(jìn)方法；另一類屬及各種改進(jìn)方法；另一類屬于求函數(shù)極小值的方法，即由這些非線性函數(shù)構(gòu)造一個(gè)模函數(shù)，于求函數(shù)極小值的方法，即由這些非線性函數(shù)構(gòu)造一個(gè)模函數(shù)，例如構(gòu)造例如構(gòu)造11221

31、212( , , ) 0( , , ) 0( , , ) 0nnnnf x xxf x xxf x xx212121(,)(,)nninixxxfxxx非線性方程組的一般形式為非線性方程組的一般形式為：于是解非線性方程組歸結(jié)為求于是解非線性方程組歸結(jié)為求的極小值點(diǎn)，此極小值點(diǎn)即非的極小值點(diǎn)，此極小值點(diǎn)即非線性方程組的一組解，這類方法有線性方程組的一組解，這類方法有梯度法梯度法（最速下降法）。其（最速下降法）。其中，牛頓法是解非線性代數(shù)方程組最常見的方法。中，牛頓法是解非線性代數(shù)方程組最常見的方法。2.5 2.5 解非線性方程組的牛頓法解非線性方程組的牛頓法牛頓法求解原理牛頓法求解原理 ： 11111022001102001222221102200210200122110220010200122()()()(,)0()()()(,)0()()()(,)nnnnnnnnnnnnnfffxxxxxxf xxxxxxfffxxxxxxf xxxxxxfffxxxxxxf xxxxxx0111111212nnnnnnnxffffxxxfffxxxxf 或?qū)懗苫驅(qū)懗蓪懗蓪懗删仃囆问綖榫仃囆问綖镴X=F 其中其中J為雅可比矩陣，為雅可比矩陣， xi=xi0-xI