[理學]X08-1_2_3一階微分方程ppt課件

1、第八章第八章 微分方程組微分方程組8-1 8-1 微分方程組微分方程組解解)(xyy 設所求曲線為設所求曲線為xdxdy2 xdxy22,1 yx時時其中其中,2Cxy 即即, 1 C求得求得.12 xy所求曲線方程為所求曲線方程為一、問題的提出一、問題的提出yo2yxCx例例2 設某種物質(zhì)沿設某種物質(zhì)沿ox軸均勻分布在區(qū)間軸均勻分布在區(qū)間0,1上分布密上分布密度度 ,求分布函數(shù)求分布函數(shù)S(x)( )xdSdx常微分方程常微分方程 凡含有未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程叫微分方程凡含有未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程叫微分方程. .例例, 0)(2 xdxdtxt,32xeyyy , yxxz 二、微分

2、方程的定義二、微分方程的定義偏微分方程偏微分方程.微分方程的階微分方程的階: : 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導數(shù)的階數(shù)高階導數(shù)的階數(shù). ., 0),( yyxF一階微分方程一階微分方程高階高階(n)(n)微分方程微分方程, 0),()( nyyyxF分類分類1:1:例例 1 1、022 yxyyx是是_ _ _ _ _ _ _階階微微分分方方程程；2 2、022 cQdtdQRdtQdL是是_ _ _ _ _ _ _階階微微分分方方程程；3 3、 23sin)( dd是是_ _ _ _ _ _ _階階微微分分方方程程；分類分類2: 2: 單個微分方程與微分方程

3、組單個微分方程與微分方程組. . ,2,23zydxdzzydxdy(2)(2)特解特解: : 確定了通解中恣意常數(shù)以后的解確定了通解中恣意常數(shù)以后的解. .微分方程的解微分方程的解: : 代入微分方程使方程恒等的函數(shù)代入微分方程使方程恒等的函數(shù)微分方程的解微分方程的解(1)(1)普通解通解普通解通解: : 含有相互獨立恣意常數(shù)的含有相互獨立恣意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)一樣的微分方程的解。個數(shù)與微分方程的階數(shù)一樣的微分方程的解。不獨一，求解方法求不定積分不獨一，求解方法求不定積分2,y 212yxC xC通解其解是過定點的一條積分曲線其解是過定點的一條積分曲線; 00),(yyyxfyxx一

4、階一階:二階二階: 0000,),(yyyyyyxfyxxxx初始條件初始條件: : 用來確定恣意常數(shù)的條件用來確定恣意常數(shù)的條件. .解的圖象解的圖象: : 微分方程的積分曲線微分方程的積分曲線. .通解的圖象通解的圖象: : 積分曲線族積分曲線族. .解解,cossin21ktkCktkCdtdx ,sincos221222ktCkktCkdtxd 22d xxdt將和 的表達式代入原方程恒等. 0)sincos()sincos(212212 ktCktCkktCktCk.sincos21是是原原方方程程的的解解故故ktCktCx , 0,00 ttdtdxAx. 0,21 CAC所求特解

5、為所求特解為.cosktAx P(x,y)QOxxytan2yxy=y(x)02,2xyyyxy已已知知函函數(shù)數(shù)1 xbeaeyxx, ,其其中中ba ,為為任任意意常常 數(shù)數(shù), ,試試求求函函數(shù)數(shù)所所滿滿足足的的微微分分方方程程 . . 解：解：例例3：, 1xxbeaey1 xybeaeyxxxyy 1為所求的微分方程。為所求的微分方程。1 xyy解解)(,tssst 米米秒秒鐘鐘行行駛駛設設制制動動后后4 . 022 dtsd,20, 0,0 dtdsvst時時14 . 0Ctdtdsv 2122 . 0CtCts 0,2021 CC,202 . 02tts ),(504 . 020秒秒

6、 t).(5005020502 . 02米米 s開場制動到列車完全停住共需開場制動到列車完全停住共需列車在這段時間內(nèi)行駛了列車在這段時間內(nèi)行駛了通解通解特解特解0.4200dsvtdt 8-2 8-2 一階微分方程的解一階微分方程的解法法1 1、可分別變量的一階微分方程、可分別變量的一階微分方程dxxfdyyg)()( 的方程稱為可分別變量的微分方程的方程稱為可分別變量的微分方程. .5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 設函數(shù)設函數(shù))(yg和和)(xf是連續(xù)的是連續(xù)的, dxxfdyyg)()(設設函函數(shù)數(shù))(yG和和)(xF是是依依次次為為)(yg和和)(xf的的原原函函數(shù)

7、數(shù),CxFyG )()(為微分方程的普通解通解為微分方程的普通解通解.分別變量法分別變量法形如形如解法：解法：例例1 1 求解微分方程求解微分方程.2的通解的通解xydxdy 解解分別變量分別變量,2xdxydy 兩端積分兩端積分,2 xdxydy12lnCxy .2為為所所求求通通解解xCey 例例2 2 求解微分方程求解微分方程2.1dyxydxx的通解解解,12xxdxydy 兩端積分兩端積分,12 xxdxydyCxyln)1ln(21ln2 .12為所求通解為所求通解xcy 例例3：求解微分方程：求解微分方程.2cos2cosyxyxdxdy 解：解：, 02cos2cos yxyx

8、dxdy, 02sin2sin2 yxdxdy,2sin2sin2 dxxydy2cot2csclnyy ,2cos2Cx 2sin2sin2coscoscctgxxxdxcsclncsc例例 4 4 衰衰變變問問題題:衰衰變變速速度度與與未未衰衰變變原原子子含含量量M成成正正比比,已已知知00MMt ,求求衰衰變變過過程程中中鈾鈾含含量量)(tM隨隨時時間間t變變化化的的規(guī)規(guī)律律. 解解,dtdM衰變速度衰變速度由題設條件由題設條件)0(衰衰變變系系數(shù)數(shù) MdtdMdtMdM , dtMdM00MMt 代入代入,lnlnCtM ,tCeM 即即00CeM 得得,C teMM 0衰變規(guī)律衰變規(guī)

9、律例例5： 船從河岸邊船從河岸邊O點出發(fā)駛向?qū)Π叮贋辄c出發(fā)駛向?qū)Π?，船速為a船船行方向一直與河岸垂直，河寬為行方向一直與河岸垂直，河寬為h，河中任一點處，河中任一點處水流速與該點到兩岸的間隔乘積成正比，求船的水流速與該點到兩岸的間隔乘積成正比，求船的航線航線解：設小船的航行道路為y=y(x),),(,ayhkydtdydtdxvvvyxayhkydydx)( dyyhkyadx)( ,)32(32Cyyhkax代入初始條件代入初始條件y(0)=0,得得C=0，那么所求航線為：那么所求航線為：)32(32yyhakx例例6 設設曲曲線線)(xfy 過過原原點點及及點點)3 , 2(，且且)(

10、xf為為單單調(diào)調(diào)函函數(shù)數(shù)，并并具具有有連連續(xù)續(xù)導導數(shù)數(shù)，今今在在曲曲線線上上任任取取一一點點作作兩兩坐坐標標軸軸的的平平行行線線，其其中中一一條條平平行行線線與與x軸軸和和曲曲線線)(xfy 圍圍成成的的面面積積是是另另一一條條平平行行線線與與y軸軸和和曲曲線線)(xfy 圍圍成成的的面面積積的的兩兩倍倍，求求曲曲線線方方程程.xyo)(xfy 1S2S),(yx解解1S2Sxyo)(xfy ),(yx122SS xdxxfS02)( xdxxfxySxyS021)()( 2)(00 xxdxxfxydxxf,2)(30 xydxxfx 兩邊同時對兩邊同時對 求導求導xyyx 2解得解得,2c

11、xy 因因為為曲曲線線)(xfy 過過點點)3 ,2(29 c,292xy 因因為為)(xf為為單單調(diào)調(diào)函函數(shù)數(shù)所以所求曲線為所以所求曲線為.223xy 解解例例7 7 某車間體積為某車間體積為12000立方米立方米, 開場時空氣中開場時空氣中含有含有 的的 , 為了降低車間內(nèi)空氣中為了降低車間內(nèi)空氣中 的含量的含量, 用一臺風量為每秒用一臺風量為每秒2000立方米的鼓風機立方米的鼓風機通入含通入含 的的 的新穎空氣的新穎空氣, 同時以同樣的同時以同樣的風量將混合均勻的空氣排出風量將混合均勻的空氣排出, 問鼓風機開動問鼓風機開動6分分鐘后鐘后, 車間內(nèi)車間內(nèi) 的百分比降低到多少的百分比降低到多

12、少?2CO%1 . 02CO2CO2CO%03. 0設鼓風機開動后設鼓風機開動后 時辰時辰 的含量為的含量為2CO)%(txt,dttt 在在 內(nèi)內(nèi),2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量,03. 02000 dt),(2000txdt 2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量2CO的改動量的改動量 03. 0200012000 dtdx),(2000txdt ),03. 0(61 xdtdx,03. 061tCex , 1 . 0|0 tx,07. 0 C,07. 003. 061tex ,056. 007. 003. 0|16 ext6分鐘后分鐘后, 車間內(nèi)車間內(nèi) 的百分比降低到

13、的百分比降低到%.056. 02CO2 2、一階齊次方程、一階齊次方程)(xyfdxdy 形如形如的微分方程稱為齊次方程的微分方程稱為齊次方程. .2.解法解法,xyu 作變量代換作變量代換,xuy 即即代入原式代入原式,dxduxudxdy ),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即可分別變量的方程可分別變量的方程1.1.定義定義xdxuufdu)(或?qū)懗升R次方程可以經(jīng)過變量代換化成可分別變量的方程齊次方程可以經(jīng)過變量代換化成可分別變量的方程例例 1 1 求解微分方程求解微分方程. 0cos)cos( dyxyxdxxyyx，令令xyu ,cosxdxudu ,lnsinCxu .

14、lnsinCxxy 微分方程的解為微分方程的解為解解,dxduxudxdy cos.cosyyxdyxydxxxcos1.cosyyxxyx1cosduuxudxu例例2方程方程2202 ( )( )( )xy tty tdtxy x求求y=y(x)?解解方程兩邊同時對方程兩邊同時對x 求導求導:222,yxyyxy22,xyxyy 21,yyyxx 21,yduuuxuuxdx211dxduxuarcsinln |yxCx2222yxyxxyydxdy ,1222 xyxyxyxy,xyu 令令.2222xyydyyxyxdx 例例 3 3 求解微分方程求解微分方程解解2212uuuudxd

15、uxu,1231223222uuuuuuuuuudxduxxdxduuuuuu)2)(1(12,dxduxudxdy ,lnlnln21)2ln(23)1ln(Cxuuu .)2(123Cxuuu 微分方程的解為微分方程的解為.)2()(32xyCyxy ,1122)121(21xdxduuuuu ,代回將xyu 例例 4 4 有旋轉(zhuǎn)曲面外形的凹鏡，假假設由旋轉(zhuǎn)軸上一點有旋轉(zhuǎn)曲面外形的凹鏡，假假設由旋轉(zhuǎn)軸上一點O O發(fā)出的一切光線經(jīng)此凹鏡反射后都與旋轉(zhuǎn)軸平行求曲線方發(fā)出的一切光線經(jīng)此凹鏡反射后都與旋轉(zhuǎn)軸平行求曲線方程程解：解：MP/AP = y22yyxxy1)(2yxyxdydx2,1xdu

16、dyuyyu令2222ln |dxxxaCxa2ln |1| ln |lnuuyC2( )1xxCyyy221(12)ycxCxyOPMA普通的可化為可分別變量的微分方程普通的可化為可分別變量的微分方程經(jīng)過變量代換將微分方程化為可分別變量的微分方程方式。經(jīng)過變量代換將微分方程化為可分別變量的微分方程方式。例例 求以下方程通解求以下方程通解15yxyxdxdy令令 x-y-u1;dydxxy解解,uyx 令令, 1 dxdudxdy則則代入原式代入原式,11udxdu 分別變量法得分別變量法得,)1ln(Cxuu ,代回代回將將yxu 所求通解為所求通解為,)1ln(Cyxy 11 yeCxy或

17、或另解另解. yxdydx 方程變形為方程變形為2() .dyxydx解解,uyx 令令1 dxdudxdy代入原方程代入原方程21udxdu ,arctanCxu 解解得得得得代代回回, yxu ,)arctan(Cxyx 原方程的通解為原方程的通解為.)tan(xCxy )()(xQyxPdxdy 一階線性微分方程一階線性微分方程的規(guī)范方式的規(guī)范方式:Q(X)=0 Q(X)=0 方程稱為方程稱為 齊次的齊次的.Q(X)Q(X) 0 0 方程稱為方程稱為非齊次的非齊次的.3 3、一階線性微分方程、一階線性微分方程例如例如,sin2ttxdtdx . 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy

18、 ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 定理定理8-1齊次方程的通解為齊次方程的通解為.)( dxxPCey一階線性齊次微分方程的解法一階線性齊次微分方程的解法(運用分別變量法運用分別變量法) 線性齊次方程 的解法： 1可分別變量： 2) 公式： .)( dxxPCey例例 求求 y+ y / (1+x)=0 滿足初始條件滿足初始條件y(1)=1的特解。的特解。,)(dxxPydy . 0)( yxPdxdy 線性非齊次方程的解法線性非齊次方程的解法線性非齊次方程的解線性齊次方程的解之間的關系：線性非齊次方程的解線性齊次方程的解之間的關系：).()(xQyxPdxdy ,)()(d

19、xxPyxQydy 兩邊積分兩邊積分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ為為設設 ,)()(ln dxxPxvy.)()( dxxPxveey即即相比，就是將：相比，就是將：)(xuC dxxpexu)()(.)( dxxPCey常數(shù)變易常數(shù)變易(位法位法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法 dxxPexuy)()(,)()()()()( dxxPdxxPexPxuexuy.)( dxxPCey齊次方程的通解齊次方程的通解變易成變易成y,y代入線性非齊次方程得代入線性非齊次方程得,)()()(CdxexQxudxxP ),

20、()()(xQexudxxP 一階線性非齊次微分方程的通解為一階線性非齊次微分方程的通解為: dxxPdxxPeCdxexQy)()()().()(xQyxPdxdy 一階線性非齊次微分方程的通解為一階線性非齊次微分方程的通解為: dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(對應齊次對應齊次方程通解方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解).()(xQyxPdxdy 求解方法：注:1) 非齊次方程通解 = 對應齊次方程通解 + 非齊次方程一特解 2常數(shù)變易; 3) 公式例1 求以下方程通解 1) x y +y =sinx 解： 常數(shù)變易法

21、y +y/x =0 y= Ce Pxdx= C/x 設 y=C(x)/x 代入方程 C(x)/x + C(x)/x2 = sinx/x = C(x)=sinx C(x)= -cosx+C = 通解： y = (- cosx+C)/x dxxPdxxPeCdxexQy)()()().()(xQyxPdxdy .sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解法法2 2公式法公式法 dxxPdxxPeCdxexQy)()()(例例2：求通解：求通解0

22、2)6(2ydxdyxy分析：分析： 假設把假設把x看成自變量，把看成自變量，把y看成因變量，上式不看成因變量，上式不是一階線性方程；是一階線性方程；反之，如把反之，如把y看成自變量，把看成自變量，把x看成因變量看成因變量,上式成為：上式成為：,23262yxyyyxdydx是一階非齊次線性方程是一階非齊次線性方程3212xCyy332dydyyyyxedyC e例例3 3 如下圖，平行與如下圖，平行與 軸的動直線被曲軸的動直線被曲 線線 與與 截下的線段截下的線段PQPQ之長數(shù)值上等于陰影部分的面積之長數(shù)值上等于陰影部分的面積, , 求曲線求曲線 . .y)(xfy )0(3 xxy)(xf

23、 xyxydx03,兩邊求導得兩邊求導得,32xyy 解解xyoxPQ3xy )(xfy dxexCeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲線為所求曲線為).222(32 xxeyxP335P335例例6.6.設有銜接設有銜接O O和和A A1 1，1 1的延續(xù)曲線的延續(xù)曲線y=f(x)y=f(x)，P(x,y)P(x,y)為曲線上動點，假設直線為曲線上動點，假設直線OPOP與曲線與曲線y=f(x)y=f(x)圍面圍面的圖形面積為的圖形面積為x2x2，求，求y=f(x)y=f(x)設曲線方程為設曲線方程為y=f(x),按題意有：按題意有：,)(21)(2

24、0 xxxfdttfx兩邊求導，得：兩邊求導，得：,2)(21)(21)(xxf xxfxf, 4xydxdy初始條件初始條件y(1)=1, xyoP(x,y)伯努利伯努利(Bernoulli)方程的規(guī)范方式方程的規(guī)范方式nyxQyxPdxdy)()( )1 , 0( n方程為線性微分方程方程為線性微分方程. 方程為非線性微分方程為非線性微分方程方程.4、伯努利方程、伯努利方程時時，當當1 , 0 n時時，當當1 , 0 n解法解法: : 需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程. .,1 nyz 令令，則則dxdyyndxdzn )1(),()(1xQyxPdxdyynn

25、 ),()1()()1(xQnzxPndxdz 求出通解后，將求出通解后，將 代回，代回，nyz 1，得，得兩端除以兩端除以ny. )1)()()1()()1(1 CdxenxQezydxxPndxxPnn這是一個一階線性非齊次微分方程，已能求解。這是一個一階線性非齊次微分方程，已能求解。nyxQyxPdxdy)()( 例例1 1 解微分方程解微分方程: :2222;xyyxyxe解解,2112 yxexyyx,2)1(1yyz 令令21(1)(1),2xdzn xznxedx222Cdxexeezxdxxxdx 所求通解為所求通解為).2(222Cxeyx 伯努利方程伯努利方程 n= -1.

26、42的通解的通解求方程求方程yxyxdxdy ,zy1n=令221 41,22dzzxdxx,22 Cxxz解解得得.224 Cxxy即即解解例例 222212dxdxxxzex edxC5.湊微分法湊微分法(P339)221()2xyC例如例如, 0 ydyxdx221 ()02dxy0),(),( dyyxQdxyxP( , )( , )( , )0du x yP x y dx Q x y dy左端湊為某函數(shù)的全微分左端湊為某函數(shù)的全微分xdxydy( , )u x yC一般解:湊微分法22ydxxdyxdxydy22()()d xyd xy22()xyxyC一般解 8-3 8-3 可降為

27、一階的二階微可降為一階的二階微分方程的解法分方程的解法)()1)(xfyn 解法解法: Cdxxfyyynnn )(1,)1()1()(次次積積分分視視nnnCxCxCdxdxxfyn 2211)(次次共積分共積分例例xxy sin)4(),()2yxfy 解法解法: ( )( ),dp xyp xydx令則這是關于這是關于p的一階微分方程的一階微分方程, 假設能求出假設能求出211),(),(cdxcxycxp 則則降低了方程的階數(shù)降低了方程的階數(shù)( , )dpf x pdx代入原方程( )dp xydx 則例1 求方程 xy+y=1通解。 解： y=P(x)，y=p(x) xp+p=1 ,

28、 -ln(1-p)=lnx+lnC1 = p=1- C1/x 通解： y =x-C1lnx+C2 21.2 ()0(0)1(0)2yx yyy 求方程滿足，的特解。yP 解：設解：設Py 則則022 xPP方方程程變變?yōu)闉閏xyP 21212 xcxxdxxy 22ln221212122ln221 xx例例2),()3yyfy 解法解法: dp dyydy dx 是是所所求求通通解解則則211),(1),(cxdycycyp 降低了方程的階數(shù)降低了方程的階數(shù)),(ypy 設設( , )dppf y pdy代入原方程dppdy.02的的通通解解求求方方程程 yyy解解,dydPpy 則則),(ypy 設設代入原方程得代入原方程得 , 02 PdydPPy, 0)( PdydPyP即即，由由0 PdydPy,1yCP 可得可得.12xCeCy 原方程通解為原方程通解為,1yCdxdy 例例1.212yyy 求通解求通解例例2解解.x方方程程不不顯顯含含,dydPPyPy 令令代入方程，得代入方程，得,212yPdydPP ,112yCP 解解得得，, 11 yCP, 11 yCdxdy即即故方程的通解為故方程的通解為.12211CxyCC 不顯含不顯含x,y，用不顯含，用不顯含y的方法簡單。的方法簡單。 例例 y+(y)2=0