[理學(xué)]高數(shù)下G10_3三重積分ppt課件

1、第三節(jié)一、三重積分的概念 二、三重積分的計算二、三重積分的計算三重積分的概念和計算方法 第十章 一、三重積分的概念一、三重積分的概念 類似二重積分處理問題的思想, 采用kkkkv),( ),(kkkkv引例引例: 設(shè)在空間有限閉區(qū)域設(shè)在空間有限閉區(qū)域 內(nèi)分布著某種不均勻的內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì),),(Czyx求分布在 內(nèi)的物質(zhì)的可得nk 10limM“大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和, 求極限求極限處理方法處理方法:質(zhì)量 M .密度函數(shù)為定義定義. 設(shè)設(shè),),( , ),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim10存在,),(zyxfvzyxfd),(稱為體積元素, vd.d

2、ddzyx假設(shè)對 作恣意分割: 恣意取點(diǎn)恣意取點(diǎn)那么稱此極限為函數(shù)在上的三重積分.在直角坐標(biāo)系下常寫作),2,1(nkvk,),(kkkkv以下“乘積和式 極限記作記作由定義可知,引例中物體的質(zhì)量為:vdzyxM,特別假設(shè)在1,zyxf上那么三重積分在數(shù)值上就等于區(qū)域的體積即:VdV性質(zhì)性質(zhì): 三重積分的性質(zhì)與二重積分類似.例如 中值定理中值定理.),(zyxf設(shè)在有界閉域 上延續(xù),那么存在,),(使得vzyxfd),(Vf),(V 為 的體積, 三重積分存在定理:當(dāng)函數(shù)zyxfzyxf,上連續(xù)時在閉區(qū)域在區(qū)域上的三重積分必定存在,此時稱函數(shù).,上是可積的在zyxf二、三重積分的計算二、三重積

3、分的計算1 利用直角坐標(biāo)計算三重積分利用直角坐標(biāo)計算三重積分方法方法2 . 投影法投影法 (“先一后二先一后二)方法方法3. 截面法截面法 (“先二后一先二后一) 方法方法1 . 三次積分法三次積分法 ,0),(zyxf先假設(shè)延續(xù)函數(shù) 并將它看作某物體 經(jīng)過計算該物體的質(zhì)量引出以下各計算最后, 推行到普通可積函數(shù)的積分計算. 的密度函數(shù) , 方法:投影法方法方法1. 三次積分法三次積分法設(shè)區(qū)域:利用投影法結(jié)果 ,bxaxyyxyDyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重積分化成vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxdz

4、xyD),(2yxzz ),(1yxzz 二次積分即得:vzyxfd),(Dyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(dd)(2xyxoyDbax)(1xy其中 為三個坐標(biāo)例例1. 計算三重積分計算三重積分,dddzyxx12zyx所圍成的閉區(qū)域 .1xyz121解解: :zyxxddd)1(01021d)21 (dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxxyxz210)1(021xy10 x )1(021dxy10d xx481面及平面zxyDDyxdd 方法方法2. 投影法投影法 (“先一后二先一后二 ) Dyxyxzzyxz),(),(),(:21yxzzyxfyxz

5、yxzddd),(),(),(21該物體的質(zhì)量為vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxfDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(ddyxzyxfdd),(細(xì)長柱體微元的質(zhì)量為),(2yxzz ),(1yxzz yxdd微元線密度記作例例2: 計算計算zdydxdzxyIsin是由平面其中200zxzy及拋物面xy 所圍成的區(qū)域.0yzx22解法一解法一:采用先對采用先對z積分,將Izdzxx20sinydyx0 xd20 xd20ydxyxcos0241.面上區(qū)域投影到xoy200:20:xxyDxzyx解法二解法二;采用先對采用先對0yzx222020:0

6、:xxzDxyzxIzdzxx20sinydyx0 xd20 xdx2021zdzxx)(sin20241.面上區(qū)域投影到xozy積分,將例例2: 計算計算是由平面其中zdydxdzxyIsin200zxzy及拋物面xy 所圍成的區(qū)域.2020:2:22yyzDzxyzyIzdy220 xdzxzy22sinydy20241.面上區(qū)域投影到zoyx積分,將解法三解法三;采用先對采用先對例例2: 計算計算zdydxdzxyIsin是由平面其中200zxzy及拋物面xy 所圍成的區(qū)域.0yzx22普通在解題時,首先應(yīng)該根據(jù)區(qū)域的詳細(xì)情況,思索它對那個坐標(biāo)面投影比較方便,從而決議采用先對那個變量積分

7、的積分的次序.此題用解法三費(fèi)事.ab方法方法3. 截面法截面法 (“先二后一先二后一)bzaDyxz),(:為底, d z 為高的柱形薄片質(zhì)量為zD以xyz該物體的質(zhì)量為vzyxfd),(baZDyxzyxfdd),(ZDbayxzyxfzdd),(dzdzzDzDyxzyxfdd),(zzyxfd),(面密度zd記作xyz例例3. 計算三重積分計算三重積分,ddd2zyxz. 1:222222czbyax其中解解: :zyxzddd2czczbaz0222d)1(2czc2222221:czbyaxDzzDyxddczz02d23154cbaabc用用“先二后一先二后一 zDz220:20:

8、2xyxzDyyIydy20 xdy22zdzxx)(sin20241解法四解法四: 假設(shè)留意到變假設(shè)留意到變量量y的取值介于兩個常數(shù),0y2y之間,且在y處用平行于坐標(biāo)面zox的平面去截:,則有其截面域yDzdxdzxyDsinydy20先二后一0yzx22例例2: 計算計算是由平面其中zdydxdzxyIsin200zxzy及拋物面xy 所圍成的區(qū)域.小結(jié)小結(jié): 三重積分的計算方法三重積分的計算方法方法方法2. “先一后二先一后二方法方法3. “先二后一先二后一方法方法1. “三次積分三次積分),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(ZDbayxzyxfzd

9、d),(d),(),()()(2121d),(ddyxzyxzxyxybazzyxfyx詳細(xì)計算時應(yīng)根據(jù)vzyxfd),(vzyxfd),(三種方法(包含12種方式)各有特點(diǎn),被積函數(shù)及積分域的特點(diǎn)靈敏選擇. oxyz2. 利用柱坐標(biāo)計算三重積分利用柱坐標(biāo)計算三重積分 ,R),(3zyxM設(shè),代替用極坐標(biāo)將yx),z（則就稱為點(diǎn)M 的柱坐標(biāo).z200sinyzz cosx直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:常數(shù)坐標(biāo)面分別為圓柱面常數(shù)半平面常數(shù)z平面oz),(zyxM)0 ,(yx如下圖, 在柱面坐標(biāo)系中體積元素為zzdddzvdddd因此zyxzyxfddd),(),(zF其中),sin,cos(),(

10、zfzF適用范圍適用范圍:1) 積分域外表用柱面坐標(biāo)表示時方程簡單 ;2) 被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時變量相互分別.zdddxyzodd積分域由拋物面、圓柱面、球面所圍成。被積函數(shù)表達(dá)式中含有2222,zxyx等因子。其中為由例例1. 計算三重積分計算三重積分zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所圍解解: 在柱面坐標(biāo)系下在柱面坐標(biāo)系下:cos202ddcos342032acos2020az 0及平面2axyzozvdddd20dazz0dzzddd2原式298a柱面cos2成半圓柱體.例例2: 求由圓柱面求由圓柱面2040:40:yxDyz401622zyzyx及平面所圍

11、成的物體的質(zhì)量. 物體的密度為22. ,.x y zxy解解:vdyxMD22zdddD20d402dsin40zd204043sin4134d20sin643256d3512x0yzo oxyz例例3. 計算三重積分計算三重積分解解: 在柱面坐標(biāo)系下在柱面坐標(biāo)系下h:hz42dhdh2022)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0( hhz所圍成 .與平面其中由拋物面42zvdddd原式 =o oxyz例例3. 計算三重積分計算三重積分解解: 用先二后一用先二后一h:hzI0dzdzh02)1ln(024)41ln()

12、41(4hhhhz 0Z202d120d,1ddd22yxzyxIzyx422)0( hhz所圍成 .與平面其中由拋物面zvddddzyxDZ4:22zD例例4. 計算計算,ddd)sin5(2222zyxyxxyxI其中.4, 1),(2122圍成由zzyxz解解:zyxxIddd2利用對稱性zyxyxddd)(2122yxyxzzDdd)(d212241zrrz2032041ddd21214zxoy1zDzyxyxyxdddsin522203. 利用球坐標(biāo)計算三重積分利用球坐標(biāo)計算三重積分 ,R),(3zyxM設(shè)),(z其柱坐標(biāo)為就稱為點(diǎn)M 的球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系,ZOMMox

13、yzzr),(r則0200rcossinrx sinsinry cosrz 坐標(biāo)面分別為常數(shù)r球面常數(shù)半平面常數(shù)錐面, rOM 令),(rMsinrcosrz xyzo如下圖, 在球面坐標(biāo)系中體積元素為ddrrdrdv d因此有zyxzyxfddd),(),(rF其中)cos,sinsin,cossin(),(rrrfrF適用范圍適用范圍:1) 積分域外表用球面坐標(biāo)表示時方程簡單;2) 被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時變量相互分別.dddsin2rrd積分域是由球面、錐面所圍成。被積函數(shù)中含有222zyx的因子。dddsind2rrv drdsinr例例1.求曲面求曲面)0()(32222azazyx

14、所圍立體體積.解解: 由曲面方程可知由曲面方程可知, 立體位于立體位于xoy面上部面上部,cos0:3ar 利用對稱性, 所求立體體積為vVdrrad3cos02dcossin32203a331a3cosar ,202020dsin20d4yoz面對稱, 并與xoy面相切, 故在球坐標(biāo)系下所圍立體為且關(guān)于 xoz dddsind2rrv yzxar例例2. 計算三重積分計算三重積分,)(222zdydxdzyx22yxz為錐面2222Rzyx解解: 在球面坐標(biāo)系下在球面坐標(biāo)系下:zyxzyxddd)(222所圍立體.40Rr 020其中 與球面dddsind2rrv Rrr04d)22(515

15、R40dsin20dxyzo4Rr 主講教師主講教師: 王升瑞王升瑞高等數(shù)學(xué) 第十七講例例3：計算：計算vdyxzI22所圍成。平面和是由錐面其中122zyxz解法一：采用球坐標(biāo)計算解法一：采用球坐標(biāo)計算ddrdrrrIsinsincos2152cos10:r402020dsin22ryxcossinrx sinsinry 40cos1042cossinrdrdxyzo例例3：計算：計算vdyxzI22所圍成。平面和是由錐面其中122zyxz解法二：采用三次定積分計算解法二：采用三次定積分計算2010:1:yxDz101220zdzddddzdzI2152xyzoyxDydxdyxI22122

16、yxzdzyxDydxdyxyx22221212021drdrrr1021152解法三：采用先一后二計算解法三：采用先一后二計算1:22zyx1:22 yxDyx例例3：計算：計算vdyxzI22所圍成。平面和是由錐面其中122zyxzxyzo解法四：采用先二后一在解法四：采用先二后一在處用垂直于z軸的平面去截,222:zyxDZ得到截面域zDydxdyx2210zdzI10zdz20dzrdr02152例例3：計算：計算vdyxzI22所圍成。平面和是由錐面其中122zyxzxyzozD(01)zzzoxy2例例4. 設(shè)設(shè)由錐面由錐面22yxz和球面4222zyx所圍成 , 計算.d)(2v

17、zyxI提示提示:4利用對稱性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)222(222用球坐標(biāo) rr d420dsin4020d22532例例5. 計算計算,ddd12zyxxyI所圍成. 其中 由1,1,12222yzxzxy分析：假設(shè)用分析：假設(shè)用“先二后一先二后一, 那么有那么有zxxyyIyDdd1d201zxxyyyDdd1d210計算較繁! 采用“三次積分較好.1zxy1o1:4528 1122yzx1020:rDzx1zxy1o12122001cosIdrrd r211 rydy解解:例例5. 計算計算,ddd12zyxxyI所圍成. 其中 由1,1,12222yzxzxy:

18、4528 1122yzx2211xzx11x1zxy1o1xxId1211zxxd2211yyzxd1122思索思索: 假設(shè)被積函數(shù)為假設(shè)被積函數(shù)為 f ( y ) 時時, 如何計算簡便如何計算簡便? 解法二解法二:例例5. 計算計算,ddd12zyxxyI所圍成. 其中 由1,1,12222yzxzxy例例6. 計算計算Idzezyyzy10)1 (2)1 (dzeydydxIzyyxx2)1 (101010)1 (解解: 積分域?yàn)槠矫娣e分域?yàn)槠矫?x + y + z =1 與三個坐標(biāo)面所圍四與三個坐標(biāo)面所圍四e41交換積分順序， 得zx1y11zyD練習(xí)練習(xí)計算dzzzdydxIyx00101sin P368 題題6 面體 ,dxzy10dydzeyzyDzy2)1 ()1 (10)1 (dyy例例6. 按按yzx,的先后順序改換以下積分次序:yxxzdzyxfydxd01010),() 1 (2201010),()2(yxzdzyxfxdyd 解解: 假設(shè)積分域圖形難畫時假設(shè)積分域圖形難畫時, 可逐次可逐次固定一個積分變量固定一個積分變量, 變換另兩個變量的變換另兩個變量的積分次序積分次序.(1)xoy1 yx原式=yxzdzyxf0),(yxdyd1010 xozyyxz10ydyzd0yxdzyxf10),(10yd1yzdyyzxdzyxf1),(y11D2D2201