[理學(xué)]高數(shù)(1)ppt課件

1、四、二次曲面四、二次曲面一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面 三、柱面三、柱面曲面及其方程 求到兩定點(diǎn)A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等間隔的點(diǎn)的222)3()2() 1(zyx07262zyx化簡得即闡明闡明: : 動點(diǎn)軌跡為線段動點(diǎn)軌跡為線段 AB AB 的垂直平分面的垂直平分面. .引例引例: :顯然在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程, 不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程.222)4() 1()2(zyx解解: :設(shè)軌跡上的動點(diǎn)為設(shè)軌跡上的動點(diǎn)為, ),(zyxM,BMAM 則軌跡方程. 0),(zyxFSzyxo假設(shè)曲面 S 與方程 F( x, y, z )

2、 = 0 有下述關(guān)系:(1) 曲面 S 上的恣意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程;那么 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形.兩個根本問題兩個根本問題 : :(1) 知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時,(2) 不在曲面 S 上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程,求曲面方程.(2) 知方程時 , 研討它所表示的幾何外形( 必要時需作圖 ). 故所求方程為),(zyxM),(0000zyxM方程. 特別,當(dāng)M0在原點(diǎn)時,球面方程為解解: 設(shè)軌跡上動點(diǎn)為設(shè)軌跡上動點(diǎn)為RMM0即依題意間隔為 R 的軌跡xyzoM0M222yxRz表示上(下)球面 .R

3、zzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx042222yxzyx解解: : 配方得配方得5, )0, 2, 1(0M此方程表示:闡明闡明: : 如下方式的三元二次方程 ( A 0 )都可經(jīng)過配方研討它的圖形.其圖形能夠是的曲面. 表示怎樣半徑為的球面.0)(222GFzEyDxzyxA球心為 一個球面, 或點(diǎn) , 或虛軌跡.5)2() 1(222zyx定義定義2. 2. 一條平面曲線一條平面曲線 繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所構(gòu)成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸軸 . .例如例如 :曲線曲線 C 00),(xzyf

4、Cy zo繞繞 z軸軸曲線曲線 C 00),(xzyfxCy zo繞繞 z軸軸曲線曲線 C 00),(xzyf旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面 SCSMN), 0(11zy zz 1zPMPy |11y1zy zo繞繞 z軸軸.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z)x S曲線曲線 C 00),(xzyf旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面 SxCSMN), 0(11zyzz 1zPMPy |11y1z0),( 22 zyxfS：.繞繞 z軸軸.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z)f (y1, z1)=0f (y1, z1)=0y zo S0),(:zyfCoyxz

5、0),(22zxyf的圓錐面方程. 解解: : 在在yozyoz面上直線面上直線L L 的方程的方程為為cotyz 繞z 軸旋轉(zhuǎn)時,圓錐面的方程為cot22yxz)(2222yxazcota令xyz兩邊平方L), 0(zyMxy12222czax分別繞 x軸和 z 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程. 解解: :繞繞 x x 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)122222czyax繞 z 軸旋轉(zhuǎn)122222czayx這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為zx zbyax 雙曲線雙曲線0y繞繞 x 軸一周軸一周x zbyax 雙曲線雙曲線0zy繞繞 x 軸一周軸一周x0zy 得得雙雙葉葉旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)雙雙曲曲

6、面面122222 bzyax. zbyax 雙曲線雙曲線繞繞 x 軸一周軸一周axyo上題雙曲線上題雙曲線繞繞 y 軸一周軸一周 012222 zbyax axyoz上題雙曲線上題雙曲線繞繞 y 軸一周軸一周 012222 zbyax a.xyoz 得單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面得單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面122222 byazx.上題雙曲線上題雙曲線繞繞 y 軸一周軸一周 012222 zbyax 0 0 2222 =z=byax兩條相交直線兩條相交直線繞繞 x 軸一周軸一周x yo 0 0 2222 =z=byax兩條相交直線兩條相交直線繞繞 x 軸一周軸一周x yozx yoz 0 0 2222 =z=byax兩

7、條相交直線兩條相交直線繞繞 x 軸一周軸一周得旋轉(zhuǎn)錐面得旋轉(zhuǎn)錐面022222 bzyax.yoz 02 xazy拋物線拋物線繞繞 z 軸一周軸一周yoxz 02 xazy拋物線拋物線繞繞 z 軸一周軸一周yayxz22 .oxz生活中見過這個曲面嗎？生活中見過這個曲面嗎？ 02 xazy拋物線拋物線繞繞 z 軸一周軸一周得旋轉(zhuǎn)拋物面得旋轉(zhuǎn)拋物面yxorR)0()222 rRryRx（ 圓圓繞繞 y軸軸 旋轉(zhuǎn)所成曲面旋轉(zhuǎn)所成曲面z繞繞 y軸軸 旋轉(zhuǎn)所成曲面旋轉(zhuǎn)所成曲面yxo)0()222 rRryRx（ 圓圓z繞繞 y軸軸 旋轉(zhuǎn)所成曲面旋轉(zhuǎn)所成曲面22222)(ryRzx 環(huán)面方程環(huán)面方程.生活

8、中見過這個曲面嗎？生活中見過這個曲面嗎？yxo)(4)( 222222222zxRrRzyx 或或.)0()222 rRryRx（ 圓圓xyz引例引例. . 分析方程分析方程表示怎樣的曲面 .的坐標(biāo)也滿足方程222Ryx解解: :在在 xoy xoy 面上，面上，表示圓C, 222Ryx222Ryx沿曲線C平行于 z 軸的一切直線所構(gòu)成的曲面稱為圓故在空間222Ryx過此點(diǎn)作柱面柱面. .對恣意 z ,平行 z 軸的直線 l ,表示圓柱面oC在圓C上任取一點(diǎn) , )0 ,(1yxMlM1M),(zyxM點(diǎn)其上一切點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,xyzxyzol平行定直線并沿定曲線 C 挪動的直線 l 構(gòu)

9、成的軌跡叫做柱面. 表示拋物柱面,母線平行于 z 軸;準(zhǔn)線為xoy 面上的拋物線. z 軸的橢圓柱面.xy2212222byaxz 軸的平面.0 yx表示母線平行于 C(且 z 軸在平面上)表示母線平行于C 叫做準(zhǔn)線, l 叫做母線.xyzooxzy2l柱面,柱面,平行于 x 軸;平行于 y 軸;平行于 z 軸;準(zhǔn)線 xoz 面上的曲線 l3.母線柱面,準(zhǔn)線 xoy 面上的曲線 l1.母線準(zhǔn)線 yoz 面上的曲線 l2. 母線表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3lxyz1lxzy0母線母線F( x,y )=0z = 0準(zhǔn)線準(zhǔn)線 (不含z)M(x,y,z)N

10、 (x, y, 0)S曲面曲面S上每一點(diǎn)都滿足方程；上每一點(diǎn)都滿足方程；曲面曲面S外的每一點(diǎn)都不滿足方程外的每一點(diǎn)都不滿足方程點(diǎn)點(diǎn)N滿足方程，故點(diǎn)滿足方程，故點(diǎn)M滿足方程滿足方程母線母線準(zhǔn)線準(zhǔn)線(不含不含x)F( y, z )=0 x = 0 xzy012222 byaxabzxyozxy = 0y12222 bzaxopxy22 zxyo三元二次方程 適中選取直角坐標(biāo)系可得它們的規(guī)范方程,下面僅 就幾種常見規(guī)范型的特點(diǎn)進(jìn)展引見 .研討二次曲面特性的根本方法: 截痕法 其根本類型有: 橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次

11、項系數(shù)不全為 0 )zyx),(1222222為正數(shù)cbaczbyax(1)范圍：czbyax,(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓,012222zbyax,012222xczby 012222yczax1222222czbyax與)(11czzz的交線為橢圓：1zz (4) 當(dāng) ab 時為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣)(11byyy的截痕）（axxx11及也為橢圓.當(dāng)abc 時為球面.(3) 截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(為正數(shù))z1 222222 czbyax截痕法截痕法用用z = hz = h截曲面截曲面用用y = my = m截曲面截曲面用用x = nx = n截曲面

12、截曲面abcyx zozqypx2222(1) 橢圓拋物面( p , q 同號)(2) 雙曲拋物面鞍形曲面zqypx2222zyx特別,當(dāng) p = q 時為繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.( p , q 同號)zyxxzy0截痕法截痕法用用z = az = a截曲面截曲面用用y = by = b截曲面截曲面用用x = cx = c截曲面截曲面zqypx22222 xzy0截痕法截痕法用用z = az = a截曲面截曲面用用y = by = b截曲面截曲面用用x = cx = c截曲面截曲面zqypx22222 用用z = az = a截曲面截曲面用用y = 0y = 0截曲面截曲面用用x = bx =

13、 b截曲面截曲面xzy0zqypx 2222截痕法截痕法 截痕法截痕法xzy0用用z = az = a截曲面截曲面用用y = 0y = 0截曲面截曲面用用x = bx = b截曲面截曲面zqypx 2222截痕法截痕法xzy0用用z = az = a截曲面截曲面用用y = 0y = 0截曲面截曲面用用x = bx = b截曲面截曲面zqypx 2222(1)(1)單葉雙曲面單葉雙曲面by 1) 1上的截痕為平面1zz 橢圓.時, 截痕為22122221byczax(實軸平行于x 軸；虛軸平行于z 軸1yy zxy),(1222222為正數(shù)cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情況:雙曲線:

14、虛軸平行于x 軸by 1)2時, 截痕為0czax)(bby或by 1)3時, 截痕為22122221byczax(實軸平行于z 軸;1yy zxyzxy相交直線: 雙曲線: 0),(1222222為正數(shù)cbaczbyax上的截痕為平面1yy 雙曲線上的截痕為平面1xx 上的截痕為平面)(11czzz橢圓留意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別: 雙曲線zxyo222222czbyax單葉雙曲面11雙葉雙曲面),(22222為正數(shù)bazbyax上的截痕為在平面tz 橢圓在平面 x0 或 y0 上的截痕為過原點(diǎn)的兩直線 .zxyo1)()(2222t byt axtz ,可以證明, 橢圓上任一點(diǎn)與原點(diǎn)的連線均在曲面上.(橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng) x 或 y 方向的伸縮變換得到)xyz1. 空間曲面空間曲面三元方程0),(zyxF 球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋轉(zhuǎn)曲面如, 曲線00),(xzyf繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)曲面:0),(22zyxf 柱面如,曲面0),(yxF表示母線平行 z 軸的柱面.又如,橢圓柱面, 雙曲柱面, 拋物柱面等 .三元二次方程),(同號qp