2020版高考復(fù)習(xí)第七章數(shù)列

1、1第七章數(shù)列及求和7.1 數(shù)列的概念與簡單表示抓基礎(chǔ)V主學(xué)習(xí)I理教材徳自期1、數(shù)列的定義按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，數(shù)列中的每一項(xiàng)都和它 的序號(hào)有關(guān)，排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（通常也叫做首項(xiàng)）2、數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示， 那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng) 公式.3、數(shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列an的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任何一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一 個(gè)式子來表示，即 an= f（an）（或an = f（an-1 , an -2）等），那么這個(gè)式子叫做數(shù)列 an的遞推公式

2、.4、Sn與an的關(guān)系Si, n= 1,、已知數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn,則an=這個(gè)關(guān)系式對(duì)任意數(shù)列均成立.SI SI-1, n2,5、數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件按項(xiàng)數(shù)分類有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類遞增數(shù)列an+ 1>an其中n N*遞減數(shù)列an+1 Van常數(shù)列an+ 1 = an按其他標(biāo)準(zhǔn)分類有界數(shù)列存在正數(shù) M ,使an M擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng), 1例11、數(shù)列an中，a = 2,且an+1 = qan 1 ,則a5的值為n1 + a 2 , n為偶數(shù),I2、數(shù)列an定義如下：a1= 1 ,當(dāng)n2時(shí)，an

3、= I若an = 4貝卩n的值為_9一,n為奇數(shù)，an 1突破點(diǎn)二數(shù)列的性質(zhì)例2 (數(shù)列的單調(diào)性)1、已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an = 3 ,那么這個(gè)數(shù)列是一遞增(填遞增或遞減)2、設(shè)an = 3n2+15n 18 ,則數(shù)列an中的最大項(xiàng)的值是 0.3、已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an= (n + 2) n,則當(dāng)an取得最大值時(shí)，n等于5或6.方法技巧求數(shù)列最大項(xiàng)或最小項(xiàng)的方法(1)將數(shù)列視為函數(shù)f(x)當(dāng)x N*時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，根據(jù)f(x)的類型作出相應(yīng)的函數(shù)圖象，或利用求函數(shù)最值的方法，求出f(x)的最值，進(jìn)而求出數(shù)列的最大(小)項(xiàng).an an1,an an -1 ,(2) 通過通項(xiàng)公式

4、 an研究數(shù)列的單調(diào)性，利用(n 2)確定最大項(xiàng)，利用(n 2)anan+1an an+1確定最小項(xiàng).(3) 比較法： 若有an+1 an = f(n + 1) f(n)>(或an>0時(shí)，a>1 ),貝U an+ 1>an,即數(shù)列 an是遞增數(shù)列，所以數(shù) 列an的最小項(xiàng)為a1 = f(1); 若有an+1 an = f(n + 1) f(n)<(或an>0時(shí)，a<1 ),貝U an +1<an,即數(shù)列 an是遞減數(shù)列，所以數(shù)列an的最大項(xiàng)為 a1 = f(1).例3 (數(shù)列的周期性)1、已知數(shù)列2 008,2 009,1 , 2 008 ,，若這

5、個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它 的前后兩項(xiàng)之和，則這個(gè)數(shù)列的前2 018項(xiàng)之和S2 018=.解析 由題意可知 an+1 = an+ an+2, a1 = 2 008, a2= 2 009, a3= 1, a4= 2 008, a5= 2 009, a6 =1, a7= 2 008, a8 = 2 009,，° an+ 6 = an,即數(shù)列 an是以 6 為周期的數(shù)列，又 a1+ a2+ a3+ a4+ a5+ a6= 0, S2 018 = 336(a1 + a2+ a3+ a4+ a5+ a6) + (a1+ a2) = 4 017.2、 若數(shù)列an中，a1= 2, a2= 3

6、, an+1= an an-1 (n2),貝U a2 019 =()A. 1B. 2C. 3D. 3解析： 選 A 因?yàn)閍n=an 1 an 2(n 3), 所以an+ 1= anan 1=(an 1 an 2) an 1 = an 2,所以an + 3=an,所以an+ 6= an+3 = an ,所以 an是以6為周期的周期數(shù)列.因?yàn)?2 019= 336 × 6+ 3,所以a2 019 = a3= a2 a1 = 3 2 = 1.故選 A.3、 數(shù)列an滿足a1= 2, a = 也三，其前n項(xiàng)積為Tn,貝U T2 019 = ( C )an+1+ 11a.2B . - 2突破點(diǎn)

7、三利用an與Sl的關(guān)系求通項(xiàng)S1, n = 1, 數(shù)列 an的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系為an =Sn - Sn-1, n 2,通過紐帶:an= Sn Sn-1( 2),根據(jù)題目已知條件，消掉 an或3,再利用特殊形式（累乘或累加）或通過構(gòu)造成等差數(shù)列或者等比數(shù)列求解.例4 1、已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且Sn= n2+ 1 ,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是 .2, n= 1,答案:an=2n 1, n22、已知SI為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且log2(Sn+ 1) = n + 1,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 .所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an =3, n= 1, 2n, n 2.解析 由 log2(Sn+

8、 1) = n+ 1 ,得 Sn+ 1 = 2n*1,當(dāng) n= 1 時(shí)，a1 = S1 = 3;當(dāng) n2 時(shí)，an = SI Sn-1 = 2n,第5頁（共33頁）3、已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和，且對(duì)任意 n N* ,均有an, 3, a!成等差數(shù)列，則 an解析：. an, Sn, a!成等差數(shù)列，. 2Sn= an+ a2. 當(dāng) n = 1 時(shí)，2S1 = 2a1 = a1 + a2.又 a1>0, a1 = 1.當(dāng) n 2 時(shí)，2an = 2(Sn SI-I)= an+ an an -1 a2-1, (an an- 1) (an+ an-1)= 0. (an+ a

9、n- 1)(an- an- 1) (an+ an- 1)= 0, (an+ an-1)( an an- 1 1) = 0, an+ an-1>0, an an-1 = 1 ,an是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列， an= n(n N*).4、已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為 Sn, a1 = 1 , Sn= 2an+1,貝U Sn=()ACn-ID 3 n-1C 2 n1C1 n-1A.2 1B.21C. 31D .21解析：選 B Sn= 2an+ 1 = 2Sn+ 1 2Sn? 3Sn = 2Sn+1? -S- = ?,故數(shù)列 Sn為等比數(shù)列，公比是？，又 & =3 3 1 ,所以

10、SI= 1× 2 n 1= 2 n 1.故選 b.5、已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且a1= 1, Sn =n+ 1 an則 a2 019=(A. 2 018B . 2 019C . 4 036 D. 4 038a11已知Sn求an的3個(gè)步驟解析：選B由題意知n 2時(shí)，an = Sn-Sn- 1 =號(hào)嚴(yán)罟，化為=， = S =1 , an= n.則 a2 019= 2 019.故選 B.方法技巧（1）先利用a1 = S1求出a1;用n 1替換SI中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用a= Sn- Sn- (n 2)便可求出當(dāng)n 2時(shí)an的表達(dá)式;對(duì)n= 1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合 n2時(shí)a

11、n的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式 合寫；如果不符合，則應(yīng)該分n= 1與n2兩段來寫.突破點(diǎn)四 利用遞推關(guān)系求通項(xiàng)例5 1、在數(shù)列an中，a= 2, an + = an+ 3n+2,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.n 12、在數(shù)列an中，a1= 1, an=an- 1(n2),求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.3、在數(shù)列an中a1= 1, an+1 = 3an+ 2,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.2a4、已知數(shù)列an中，a1= 1, an+1 = a十；,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.n 3n + 12 (n 2).解(1)因?yàn)?an+1 an = 3n + 2 ,所以 an an-1= 3n 1(n 2),所以 an=

12、 (an an-1)+ (anT an -2)+ + (a2 a1)+ a1當(dāng)n = 1時(shí)，a1= 2 = 1× (3 × 1 + 1),符合上式，所以 不=務(wù)2+鄉(xiāng)n 1因?yàn)閍n = an- 1(n2),所以n- 2an-1 = an- 2,n 11,a2= a1.1 2n 1 a1 1由累乘法可得an=彰彳肓=匸=n(n 2).又a1=1符合上式,an +1 + 1 因?yàn)閍n+1=3an+2,所以an+1 + 1 = 3(an+ 1),所以=3,所以數(shù)列an+ 1為等比數(shù)列，公比qan+ 1=3,又 a1 + 1 = 2,所以 an + 1 = 2 3n 1,所以 an

13、= 2 3n 1 - 1an+1 =2anan+ 2,a1 =1, an 0 ,丄=丄+1an+1an2,即1an+ 11 1=1，又 a1= 1 ,則an2a1a;是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.=+ (n -1) × an a11 = n + J2 2 2'an =-(n N*).方法技巧n + 1典型的遞推數(shù)列及處理方法1 °形如"an I Pan q ”，利用待定系數(shù)法求解。求數(shù)列an的通項(xiàng)公式的關(guān)鍵是將 an 1 qa* b轉(zhuǎn)化為 an 1 a q(an a)的形式，其中 a 的值可由待定系數(shù)法確定，即 bqan b an 1qan (q 1)

14、a a (q 1).q 12°遞推關(guān)系形如“ an 1Pan qn”，兩邊同除Pn1或待定系數(shù)法求解1、遞推已知數(shù)列 an中，關(guān)系形如“遞推關(guān)系形如"累加法：an I累乘法：an I在數(shù)列an中,A . 31anananan 2P an I q an ”，利用待定系數(shù)法求解Pan 1f(n)f(n)qanan(p,q0）,兩邊同除以anan 1anan(anana n 1an I)(anan 2 )(anan3）(a2 a1 ) a1an 1an 2an 2an 3a3 a2 a1a2 aa1= 1, an+1 = 2an+ 1(n N),貝U a4 的值為(C )B .

15、30C. 15631 1已知數(shù)列an滿足an+1=，右a1=3，貝U a2 019=(1 an2C. 13、數(shù)列1,4,- 9,16, - 25,的一個(gè)通項(xiàng)公式為(BA . an= n2B. an= ( 1)n 2C. an= (- 1)n+1 n2an= ( 1)n (n+ 1)21 1114、若數(shù)列的前4項(xiàng)分別是1-1, 4, - 5,則此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為-1 n+1 A石-1 nB . n+ 1-1 n-1D.-n5、在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 an中，對(duì)任意 m, n N*,都有am+ n= am an若a6= 64,則a9等于（CA. 256B . 510C. 512D . 1 024

16、6、設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an= n2- bn,若數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù) b的取值范圍為（CA . (-,- 1B. (-, 2C. (-, 3) D.-, 9第#頁（共33頁）解析：選C 因?yàn)閿?shù)列 an是單調(diào)遞增數(shù)列，所以an+1 an= 2n+ 1 b>0(n N*),所以 b<2n+ 1(n N*),所以 b<(2n + 1)min = 3,即 b<3.7、已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn= 2- 2n+1,貝U a3= ( D )D.B. 28、已知數(shù)列an,則“ an+ 1>an- 1”是“數(shù)列an為遞增數(shù)列”的（B）A .充分不必要條件B.必要不充分

17、條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件9、設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且a1= 1, Sn+ nan為常數(shù)列，則an等于（B1A. 3n-1B. n2n+ 15 - 2nD .丁解析：選B 由題意知，Sn+ nan = 2,當(dāng)n2時(shí),一 a2 a3 a4(n+ 1)an= (n- 1)an-1,從而二二環(huán)an = 1 2an-13 4n 1 n+ 1,2 2 有an= nTT '當(dāng)n =1時(shí)上式成立'所以an=不匚1.10、已知數(shù)列an，bn,若 b1 =0，an= n，當(dāng) n2 時(shí)，有 bn=bn-1 +an-1 ,則 b501 =霧解析： 由bn=bn + an-1 得b

18、n bn=a-1 ,所以 b2 b= ai, b3 b2=a2,，bnbn-1=an-1,所以 b21 1 1-b1 + b3 b2+bn-bn-1=a1+a2+an-1=1×2+ 2×3+1×n，即 bn-b1=a1 + a2+an-七+2×3+=11+23+÷t= 11=1又b1=°，所以 bn=1所以500 b501=50?11、已知在數(shù)列an中,nan+1 = n+7n(n N),且a1=4,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=解析:an+ 1 =an,n+ 2,an + 1ana2a1a 1aanI=+1 (2)，以上式子累乘得，石=

19、n 3 n 2 1n 1 n n+ 12 8 8 + 1 .因?yàn)閍1 = 4,所以a= + 1 (n2).因?yàn)閍1 = 4滿足上式，所以a= +.12、已知數(shù)列a滿足 a1 = 2, an a = n(n 2,n N*),貝U a =n2+ + 22-第11頁(共33頁)解析：由題意可知，a2 a1 = 2, a3 a2= 3,，an an-1 = n(n 2), 以上式子累加得，a 一 a1 = 2 + 3+ n.n 1 2+ n n2 + + 2因?yàn)?a1= 2 ,所以 a= 2+ (2+ 3+ n) = 2+2=2( 2) 因?yàn)閍1= 2滿足上式，所以a =n2+ n + 2213、若數(shù)

20、列a是正項(xiàng)數(shù)列，且a+.a2+a3+ .a= n2+ ,貝Ua1 + + +=2n2 + 2n.解析：由題意得當(dāng) n2 時(shí)，a= 2+ n (n 1)2 (n 1)= 2n, ° a = 4n2.又 n = 1, 一 a1= 2,二 a1= 4,. a= 4n, a1+ 2+ + a= 1(4 + 4n)= 2n2+2n.14、已知數(shù)列a滿足 a1 = 3, a+1 = 4a+ 3.(1) 寫出該數(shù)列的前4項(xiàng)，并歸納出數(shù)列a的通項(xiàng)公式；a+1 + 1(2) 證明：齊1=4.解：(1)a1 = 3, a2= 15, a3= 63, a4 = 255.因?yàn)?a1 = 41 1, a2 =

21、 42 1, a3 = 43 1, a4 = 44 1,，所以歸納 得 a = 4n 1.(2)證明：因?yàn)閍+1 +1an+1= 4an+ 3,所以 an+ 14a+ 3 +1a+ 14 a+ 1 =4.a+ 115、已知數(shù)列a的通項(xiàng)公式是a= n2+ kn+ 4.若k=- 5,則數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值；對(duì)于n N*,都有an+ >an,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解：由 n2- 5n + 4<0,解得 1<n<4.因?yàn)?n N*,所以 n = 2,3,所以數(shù)列中有兩項(xiàng)是負(fù)數(shù)，即為a2, a3.因?yàn)閍n= n2-5n+ 4 = n 5 2-

22、4,由二次函數(shù)性質(zhì)，得當(dāng) n= 2或n = 3時(shí)，an有最小值，其最小值為 a2 = a3=- 2.(2)由an +>an,知該數(shù)列是一個(gè)遞增數(shù)列，又因?yàn)橥?xiàng)公式 an = n2+ kn+ 4,可以看作是關(guān)于 n的二次函數(shù)，考慮到n N*,所以一|<|,解得k> 3所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(一3,+).216、已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn= n2+ 1 ,數(shù)列bn中，bn=,且其前n項(xiàng)和為Tn ,設(shè)Cn = T2n+ 1-Tn.an+ 1(1)求數(shù)列 bn的通項(xiàng)公式；(2)判斷數(shù)列cn的增減性.23 n = 1， 解：(1) a1= S1 = 2, an= SI-SI-1 = 2

23、n- 1(n 2),' bn=I丄 n 2 .n1 1+ n + 22n+ 11(2)由題意得 Cn +1 CnCn= bn+1 + bn + 2+ + b2n + 1 =+n+ 11_1 1 1 1 -12n + 2+ 2n+ 3一 n + 1 = 2n+ 3一 2n + 2= 2n + 3 2n + 2 <0, Cn +1<Cn,.數(shù)列Cn為遞減數(shù)列.7.2 等差數(shù)列及前n項(xiàng)和抓基冊(cè)自主學(xué)習(xí)雙基自主掰1、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)(1)等差數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差

24、通常用字母d表示。即a?aa3a?a4 a3an an 1an 1 an(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果等差數(shù)列an的首項(xiàng)是31 ,公差是d ,那么由等差數(shù)列的定義得到它的通項(xiàng)公式為ana n 1 d.(3)通項(xiàng)公式的變形： 對(duì)于任意的m N ,在等差數(shù)列中，有 an am n m dana1n 1 danamn m dan amn m(4) 通項(xiàng)公式的應(yīng)用： 可以由首項(xiàng)和公差求出等差數(shù)列中的任一項(xiàng);A叫做a和b的等差中項(xiàng)。其中已知等差數(shù)列的任意兩項(xiàng)，就可以確定等差數(shù)列中的任一項(xiàng)。(5) 等差中項(xiàng)：如果三個(gè)數(shù)a,代b組成等差數(shù)列，那么a b【注意：若A,即A a b A,則a,A,b成等差數(shù)列。

25、】2(6) 等差數(shù)列的判定定義法：an I an d常數(shù)an是等差數(shù)列;通項(xiàng)公式法：耳kn b k、b為常數(shù)an是等差數(shù)列;(相中項(xiàng)法：2an i an an 2 an是等差數(shù)列【注意：此法常適用于未知或不能求出通項(xiàng)公式的情形對(duì)于等差數(shù)列的定義，an an I d n 2,n N 常用于已知或可求出通項(xiàng)公式的情形)】(7) 等差數(shù)列的性質(zhì)對(duì)于任意正整數(shù)n ,都有an i an d (定義式)，即a. i a.anan 1an 1 an 2a2a1對(duì)于任意正整數(shù)n、m n m 都有 an amn m d(通項(xiàng)公式的推廣式)對(duì)于任意正整數(shù)m、n、p、q ,若 m n P q ,貝U amanap

26、aq ；特別地，若 m n2r ,則am an2ar.an成對(duì)于非零常數(shù)b ,若數(shù)列aJ成等差數(shù)列，公差為d ,則ban成公差為bd的等差數(shù)列；且b 公差為d的等差數(shù)列. 若an、bn都是等差數(shù)列，Cn a* bn, dn a* bn ,則Cn'dn都成等差數(shù)列。 若an為公差為d的等差數(shù)列，則Ian、an k、an 2k組成一個(gè)公差為Ikd的等差數(shù)列（即下標(biāo)成等差數(shù) 列的各項(xiàng)成等差數(shù)列）。 在等差數(shù)列an中，aana2an1a3an2.2、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（1）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和定義：一般地，我們稱a a2 a3 . an為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，用Sn表示, 即（3）求和公式：,依據(jù)

27、是在等差數(shù)列a.中,Sn2n n 1Qna d 2A. 12B. 14C. 16D. 18第13頁（共33頁）【注意：以上兩個(gè)公式中都含有 a1和n ；如果已知an和an，則用公式；如果已知 a1> n和d， 則用公式；這兩個(gè)公式中共有5個(gè)基本量，可知三求二；】【擴(kuò)充：若二次函數(shù)常數(shù)項(xiàng)為零，則該二次函數(shù)所表示的數(shù)列，一定是等差數(shù)列；若數(shù)列的二階差相等，則該數(shù)列可用二次函數(shù)表示】（4）對(duì)于Sn的函數(shù)性的理解由公式Sn na1n n 1d可進(jìn)一步變形為2na12n dndd 2一 nda1n,若令A(yù)d22222a1,則 Sn An2 Bn.該式是等差數(shù)列前 n項(xiàng)和公式的另一種表達(dá)形式。當(dāng)A

28、0,即d 0時(shí)，Sn An2 Bn是n的二次函數(shù)，即 n, Sn在y Ax2 BX的圖像上。因此,2當(dāng)d 0時(shí)，數(shù)列S1,S2,S3, Sn的圖像是拋物線y AXBX上的一群離散的點(diǎn)。因此，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)論：當(dāng)d 0時(shí)，Sn有最小值，當(dāng)d 0時(shí)，Sn有最大值。等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和與函數(shù)的關(guān)系，給出了一種判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列的方法：若數(shù)列前n項(xiàng)和Sn An2 Bn C ,那么當(dāng)C 0時(shí)，數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為 A B ,公差為2A的等差數(shù)列；當(dāng)IC 0時(shí)， 數(shù)列不是一個(gè)等差數(shù)列。（5）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì) 等差數(shù)列an中，Sn1S2n Sn1San S2n,也成等差數(shù)列，公差為n勺.

29、等差數(shù)列an中，若Smp,Spm m P ,則Sm P m P . 等差數(shù)列an中，若Sm SP m P ,則Sm P 0等差數(shù)列an中，若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n ,則 S,nnana.1a.、a.1 為中間兩項(xiàng)；S偶S奇nd;an 1若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n1 ,則S2n 1 2n 1 an an為中間項(xiàng)若數(shù)列an與bn均為等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和分別是Sn和Tn ,則ambmEm 1m 1明考向題型突劇析現(xiàn)較曲法I突破點(diǎn)一等差數(shù)列的基本運(yùn)算例1 （通項(xiàng)公式）1、在等差數(shù)列an中，a2= 2, a3= 4,貝V a10= （ D ）2、在等差數(shù)列an中，a2= 5, a6= a4 + 6,貝U a1等于（B ）

30、3、已知遞增的等差數(shù)列an滿足a1= 1, a3= a2 4,則an=a1 = 1a1 = 1,解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由已知得a3= a1+ d2 4,即1+2d= 1 + d2 4,解得a1= 1, 于等差數(shù)列an是遞增的等差數(shù)列，因此d =2.所以 an= a + (n 1)d= 2n 1.4、若m和2n的等差中項(xiàng)為4,2m和n的等差中項(xiàng)為5, 例2 （前n項(xiàng)和）1、已知等差數(shù)列an滿足a2 + a4= 4,則m與n的等差中項(xiàng)是3a3+ a5= 10,則它的前10項(xiàng)和Sio=(A. 138B . 135C. 95D. 23a2 + a44解析：設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d

31、.則a3 + a5 = 10一得 2d = 6, d= 3.a2+ a4= a1+ d+ a1+ 3d = 2a1 + 4d = 2a1+ 4 × 3 = 4, a1 = 4, S10= 10 × ( 4) + 210× 9× 3 = 40+ 135 = 95.故選 C.2、等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S2= 4，S4= 20,則數(shù)列an的公差d等于（B3、設(shè)Sn為等差數(shù)列 an的前n項(xiàng)和,a12= 8,S9= 9,貝U S16 =解析：設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1 ,公差為a12= a1+ 11d = 8,d,由已知，得9d× 8S9= 9

32、a1 +9,解得a1= 3,d = 1.16× 15 Si6 = 16× 3+2× ( I) = 72.4、設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, Sn= 22,a4 = 12,若 am = 30,貝V m=(B . 10C . 11D . 15解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,依題意S11= 11a1 + 11× ；1 1 d= 22,解得a4= a1 + 3d = 12,a1 = 33,d = 7, am = a1 + (m 1)d= 7m 40= 30, m= 10.5、已知等差數(shù)列an為遞增數(shù)列，其前3項(xiàng)的和為一3 ,前3項(xiàng)的積為8.（1）求數(shù)列 an的

33、通項(xiàng)公式；求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.解：（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d, d>0 ,等差數(shù)列an的前3項(xiàng)的和為一3,前3項(xiàng)的積為8,3a1 + 3d= 3,a1= 2, a1 = 4, 或a1 a1 + d a1+ 2d = 8,d= 3d= 3.(2) an= 3n- 7,' a= 3 7 =- 4,n 4 + 3n 7 n 3n 11 SI =2= -2-.突破點(diǎn)二等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用例3 (性質(zhì)應(yīng)用)1、已知等差數(shù)列an中，a7+ a9= 16, a4= 1,則ai2等于(A )A. 15B. 30C. 31D. 64解析：T a7+ a9= 2a8= 16,故a8= 8.

34、在等差數(shù)列 an中，a4, a8, a12成等差數(shù)列，所以 a12= 2a8- a4= 16 1 = 15.2、如果等差數(shù)列 an中，a3+ a4+a5=12,那么a1 + a2 + +a7=( C )A. 14B. 21 C. 28 D. 35解：a3 + a4+ a5= 12, 3a4= 12, a4= 4. a1 + a2+ + a7= (a1 + a7)+ (a2 + a6) + (a3+ a5)+ a4= 7a4= 28.3、在等差數(shù)列an中，若 a1, a2 019為方程 x2 10x + 16= 0 的兩根，則 a2+ a1 010+ a2 018= ( B )A. 10B .

35、15C. 20D. 404、 在等差數(shù)列an中，3(a3+ a5) + 2(a7 + a10 + a13)= 24,則該數(shù)列前13項(xiàng)的和是 26.5、 已知等差數(shù)列 an的公差是正數(shù)，且 a3a7= 12, a4+ a6= 4,求an的通項(xiàng)公式.解析a3+ a7= a4+ a6= 4,又 a3a7= 12 a3、a7是方程 x2+ 4x 12= 0 的兩根a1 + 2d = 6而 d>O, a3= 6, a7= 2.，故 a1 = 10, d= 2, an= 2n 12.6、設(shè)Sn為公差不為零的等差數(shù)列a1 + 6d= 2an的前n項(xiàng)和，若S9= 3a8,則鬲等于（A ）A. 15B .

36、 17C . 19D . 217、設(shè)等差數(shù)列an , bn的前n項(xiàng)和分別為Sn, Tn,若對(duì)任意自然數(shù)n都有SnTn2n 34n 3a9b5+ b7a3的b8+ b4值為【解析】 an , bn為等差數(shù)列,a9+a3b5+ b7b8+ b4a9a3 a9+ a3 a6+2b6 2b62b6b6'.S11= a1+ a11 = 2a6= 2× 11 3 = 19. a= 19 T11 b1+ b11 2b6 4× 11 3 41b641.例4 (等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值問題)1、等差數(shù)列an中，Sn為前n項(xiàng)和，且a1 = 25,S17=S9,請(qǐng)問：數(shù)列前多少項(xiàng)和最大？、丄

37、17× 169× 8解：法一:.a1 = 25, S17= S9, 17a1 + 2 d = 9a1 + -2-d,解得 d= 2.an= 25 2 n 1 0, a1 = 25>0 ,由1n 132, 得1n 12當(dāng)n = 13時(shí)，Sn有最大值.17× 169× 8 a1 = 25, S17= S9, 17a1 +2 d = 9a1 + -2-d,解得 d = 2.an+1 = 25 2n 0,第15頁（共33頁）從而 Sn= 25n+ n n 1 (- 2) =- n2+ 26n= (n 13)2+ 169.故前 13 項(xiàng)之和最大.2、(201

38、8全國卷 )記SI為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a1=- 7, S3= 15.(1)求an的通項(xiàng)公式；求Sn,并求Sn的最小值.解(1)設(shè)an的公差為d,由題意得3a1+ 3d = 15.又a1 = - 7,所以d= 2.所以an的通項(xiàng)公式為 an= 2n 9.n a1 + anOO法一：(二次函數(shù)法)由(1)得 Sn =2 - = n2 8n = (n 4)2 16,所以當(dāng)n = 4時(shí)，Sn取得最小值，最小值為一16.法二：(通項(xiàng)變號(hào)法)由(1)知 an = 2n 9 ,則 Sn=n a1+ an2=n2an 0,8n.由Sn最小?an + 1 0,112 第13頁(共33頁)2n 9 0,

39、79即7 n -,又 n N* ,. n=4,此時(shí) Sn 的最小值為 S4= 16.2n 7 0,22突破點(diǎn)三等差數(shù)列的判定與證明例5 1、已知Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S2= 2, Sb= 6.(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和Sn；(2) 是否存在正整數(shù)n,使Si, Sn +2+ 2n, Sn+3成等差數(shù)列？若存在，求出 n;若不存在，請(qǐng)說明理由.2a1 + d= 2,a1 = 4,解：(1)設(shè)數(shù)列an的公差為 d,貝U3× 2 an= 4 6(n 1) = 10 6n,3a1 + d = 6,d= 6,n n 12SI = na1 +2 d = 7n 3n .(2)由(

40、1)知 Sn+ Sn+3= 7n 3n2+ 7(n + 3) 3(n+ 3)2= 6n2 4n 6,2(Sn+2+ 2n )= 2( 3n2 5n+ 2+ 2n) = 6n2 6n + 4,若存在正整數(shù)n使得Sn, Sn+ 2+ 2n , Sn + 3成等差數(shù)列，則6n2 4n 6= 6n2 6n+ 4,解得 n = 5,存在 n= 5,使 Sn, Sn+2+ 2n, Sn+3成等差數(shù)列.,31*1*2、已知數(shù)列an中，a1= ：, an= 2 (n 2, n N),數(shù)列bn滿足 bn=" (n N ).5an1an 1(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列.求數(shù)列an中的通項(xiàng)公式an.11

41、11解析：(1)證明：因?yàn)?an= 2 (n2, n N*), bn=.所以 n2 時(shí)，bn bn-1=an-1an 1an 1 an 1 11an 11an 1 1an-1an 1 11an- 1 1=1.又 b1 =1a1 1所以數(shù)列bn是以一5為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列712(2)由(I)知，bn= n2，貝U an = 1+ bn= 1 + 2- 73、已知數(shù)列an滿足 a = 1 ,且 nan+i(n+ 1)an= 2n2+ 2n.求a2, a3；證明數(shù)列an是等差數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式.解(1)由已知，得 a2 2ai = 4,貝U a2= 2ai + 4,又 ai = 1,所以

42、 a2= 6.由 2a3 3a2= 12 ,得 2a3= 12 + 3a2 ,所以 a3= 15.nan+1 n + 1 an口r an +1 an(2)由已知 nan+1 (n+ 1)an= 2n(n+ 1),得 n n + I = 2,即 = 2，所以數(shù)列an是首項(xiàng)為O1= 1,公差d = 2的等差數(shù)列.則n= 1+ 2(n 1)= 2n 1,所以an = 2n2 n. n1n4、數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn= n2 7n 8.(1)求an的通項(xiàng)公式；求an的前n項(xiàng)和Tn.14 n= 1 解析(1)當(dāng) n = 1 時(shí)，a1 = S1 = 14;當(dāng) n2 時(shí)，an= Sn SI-1 = 2n 8,

43、故 an=2n 8 n 2由 an= 2n 8 可知：當(dāng)n 4 時(shí)，an0,當(dāng)n 5 時(shí)，an>O.當(dāng)n 4 時(shí)，Tn= 3=n2+ 7n+ 8,當(dāng) n 5 時(shí)，Tn=- S4+ (Sn S4)= Sn- 2S4= n2 7n 8 2 × ( 20) = n2 7n+ 32,n2 + 7n + 81 n 4二 Tn= n2 7n+ 32n 5第19頁（共33頁）1、已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, a3= 3, a5= 5,貝U Sz的值是（A. 30B . 29C. 28272、已知數(shù)列an中 a1= 1, an+1= an 1 ,貝U a4 等于(D )C. 13、設(shè)等差

44、數(shù)列an的公差為d,且a1a2= 35,2a4 a6= 7,貝U d =（C. 2a10+ a11的值為（4、已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且S5= 50, S10= 200,則A . 20B . 40C . 60D . 805、已知等差數(shù)列an各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n 項(xiàng)和為 Sn,若 a1 = 1, > S3= a2,貝U a8= (D )A . 12B . 13C . 14D . 156、九章算術(shù)“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3 升,F面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為（B ）4a1 + 6d = 3,即解得3a1 + 21d=

45、 4,C.a1+ a2+ a3+ a4= 3,解析：選B 設(shè)該等差數(shù)列為an,公差為d,由題意得13a1 =,22 13 7 67 a5=+ 4× 一 = 一 故選 B75226666.故選d =66'7、 數(shù)列an滿足 2an= an + an+ （n2），且 a2+ a4+ a6= 12,貝U a3+ a4+ a5等于（D ）A. 9B. 10C. 11D. 128、已知等差數(shù)列 an的公差為d（d 0）,且a3+ a6+ a10 + a13= 32 ,若am= 8 ,貝U m的值為（A ）A. 8B. 12C. 6 D. 49、設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=

46、9, Se= 36,則a7+ a8+ a9等于（B ）A. 63B. 45C. 36 D. 2710、 已知等差數(shù)列an中，a1= 11, a5= 1,則an的前n項(xiàng)和Sn的最大值是（C ）A. 15B. 20C. 26D. 3011、等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1= 13, S = S11,當(dāng)SI最大時(shí)，n的值是（C ）A . 5B . 6C . 7 D . 812、 已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為 3, a6+ a18= 54, S19 = 437,則a2 020的值是（B ）A . 4 039B . 4 043 C . 2 019D . 2 03813、在等差數(shù)列an中，a1 +a

47、3 + a5 =105 , a2 + a4 +a6 = 99 ,以SI表示an的前n項(xiàng)和，則使SI達(dá)到最大值的n是（B）A . 21B . 20C . 19 D . 1814、 在等差數(shù)列an中，a1 = 2 015,其前n項(xiàng)和為Sn,若卷SO = 2,貝卩& 018 = （ C ）A . 2 018B . 2 018C . 4 036D . 4 03615、 設(shè) Sn為等差數(shù)列an的前 n項(xiàng)和，a12= 8, S9= 9,貝U S16= 72.16、 已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為 3,且S10 = 10, S20= 30,則S30 = _60.17、 等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若

48、am= 10, S2m-1= 110,則m=6.18、 設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若 a3= 5,且Sl, Ss, S7成等差數(shù)列，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an= _2n 1.a1 + 2d = 5,解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,a3= 5,且S1, S5, Sr成等差數(shù)列，二a1+ 7a1+ 21d= 10a1+ 20d,a1 = 1,解得 an= 2n 一 1.d= 2,19、 等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知a5+ a7= 4, a6+ a8= 2 ,則當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n的值是.解析：依題意得2a6= 4,2a7= 2, a6 = 2>0 , a7= 1<0.又?jǐn)?shù)列a

49、n是等差數(shù)列，所以在該數(shù)列中，前6項(xiàng)均為正數(shù)，自第 7項(xiàng)起以后各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，于是當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n = 6.S2 014 S2 00820、 已知Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a1= 2 014,歹常2"譲 =6,貝卩S2 019=8076.21、等差數(shù)列an與bn的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn,若Sn= InE ,則bl= 一務(wù)_.22、 設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an= 2n- 10(n N*),則 |ai| + a + + a15 = _130.23、【2019年高考全國I卷文數(shù)】記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S9=-a5.(1)若a3=4 ,求 an的通項(xiàng)公式；(2)若a

50、1>0,求使得Sn an的n的取值范圍.【解析】(1)設(shè)an的公差為d.由S9a5得a1 4d 0 .由a3=4得a1 2d 4 .于是a18,d2 .因此 an的通項(xiàng)公式為a.102n.(2)由(1)得 a14d ,故 an (n 5)d,Snn(n 9)d2第21頁(共33頁)2由 a1 0知 d 0,故 Sn an等價(jià)于 n 11n 10,0 ,解得 1 n 10所以n的取值范圍是n1 n 10, n N .24、已知等差數(shù)列an的前三項(xiàng)和為一3,前三項(xiàng)的積為 8.求等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式；若a2, a3, a1成等比數(shù)列，求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Tn解設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,貝U a2= a1 + d, a3= a1 + 2d.3a1+ 3d = 3,a1 = 2,a1 = 4,由題意得解得或a1 a1+ d a1 + 2d = 8,d=- 3d= 3.所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得an= 2 3(n 1) = 3n + 5或an= 4