分式方程的增根與無(wú)解[1]

1、例談分式方程的增根與無(wú)解泰州市智堡中學(xué) 楊紅英分式方程的增根與無(wú)解是分式方程中常見(jiàn)的兩個(gè)概念，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)分式方程后，常常會(huì)對(duì)這兩個(gè)概念混淆不清，認(rèn)為分式方程無(wú)解和分式方程有增根是同一回事，事實(shí)上并非如此分式方程有增根，指的是解分式方程時(shí)，在把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的變形過(guò)程中，方程的兩邊都乘了一個(gè)可能使分母為零的整式，從而擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍而產(chǎn)生的未知數(shù)的值；而分式方程無(wú)解則是指不論未知數(shù)取何值，都不能使方程兩邊的值相等它包含兩種情形：（一）原方程化去分母后的整式方程無(wú)解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但這個(gè)解卻使原方程的分母為0，它是原方程的增根，從而原方程無(wú)解現(xiàn)舉例說(shuō)明如下：

2、例1 解方程 解：方程兩邊都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）解這個(gè)方程，得x=2經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)x=2時(shí)，原方程無(wú)意義，所以x=是原方程的增根所以原方程無(wú)解【說(shuō)明】顯然，方程中未知數(shù)x的取值范圍是x2且x-2而在去分母化為方程后，此時(shí)未知數(shù)x的取值范圍擴(kuò)大為全體實(shí)數(shù)所以當(dāng)求得的x值恰好使最簡(jiǎn)公分母為零時(shí)，x的值就是增根本題中方程的解是x2，恰好使公分母為零，所以x2是原方程的增根，原方程無(wú)解例2 解方程解：去分母后化為x13x2（2x）整理得0x8因?yàn)榇朔匠虩o(wú)解，所以原分式方程無(wú)解【說(shuō)明】此方程化為整式方程后，本身就無(wú)解，當(dāng)然原分式方程肯定就無(wú)解了由此可見(jiàn)，分式方程無(wú)解不

3、一定就是產(chǎn)生增根例3（2007湖北荊門(mén)）若方程=無(wú)解，則m=解：原方程可化為=方程兩邊都乘以x2，得x3=m解這個(gè)方程，得x=3m因?yàn)樵匠虩o(wú)解，所以這個(gè)解應(yīng)是原方程的增根即x=2，所以2=3m，解得m=1故當(dāng)m=1時(shí)，原方程無(wú)解【說(shuō)明】因?yàn)橥瑢W(xué)們目前所學(xué)的是能化為一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一個(gè)根，所以如果這個(gè)根是原方程的增根，那么原方程無(wú)解但是同學(xué)們并不能因此認(rèn)為有增根的分式方程一定無(wú)解，隨著以后所學(xué)知識(shí)的加深，同學(xué)們便會(huì)明白其中的道理，此處不再舉例例4當(dāng)a為何值時(shí)，關(guān)于x的方程會(huì)產(chǎn)生增根？解：方程兩邊都乘以（x+2）（x-2），得2（x2）ax3（x2）整理得（a1）x10

4、 若原分式方程有增根，則x2或2是方程的根把x2或2代入方程中，解得，a4或6【說(shuō)明】做此類(lèi)題首先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，然后找出使公分母為零的未知數(shù)的值即為增根，最后將增根代入轉(zhuǎn)化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值若將此題“會(huì)產(chǎn)生增根”改為“無(wú)解”，即：當(dāng)a為何值時(shí)，關(guān)于x的方程無(wú)解？此時(shí)還要考慮轉(zhuǎn)化后的整式方程（a1）x10本身無(wú)解的情況，解法如下：解：方程兩邊都乘以（x+2）（x-2），得2（x2）ax3（x2）整理得（a1）x10 若原方程無(wú)解，則有兩種情形：（1）當(dāng)a10（即a1）時(shí)，方程為0x10，此方程無(wú)解，所以原方程無(wú)解。（2）如果方程的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程無(wú)解原方程若有增根，增根為x2或2，把x2或2代入方程中，求出a4或6綜上所述，a1或a一或a6時(shí)