2015年陜西省高考數(shù)學試卷（文科）

1、2015年陜西省高考數(shù)學試卷（文科）一.選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求（每小題5分，共60分）1（5分）設集合M=x|x2=x，N=x|lgx0，則MN=（）A0，1B（0，1C0，1）D（，12（5分）某中學初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為（）A93B123C137D1673（5分）已知拋物線y2=2px（p0）的準線經(jīng)過點（1，1），則該拋物線焦點坐標為（）A（1，0）B（1，0）C（0，1）D（0，1）4（5分）設f（x）=，則f（f（2）=（）A1BCD5（5分）一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面

2、積為（）A3B4C2+4D3+46（5分）“sin=cos”是“cos2=0”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件7（5分）根據(jù)如圖框圖，當輸入x為6時，輸出的y=（）A1B2C5D108（5分）對任意向量、，下列關系式中不恒成立的是（）A|B|C（）2=|2D（）（）=229（5分）設f（x）=xsinx，則f（x）（）A既是奇函數(shù)又是減函數(shù)B既是奇函數(shù)又是增函數(shù)C是有零點的減函數(shù)D是沒有零點的奇函數(shù)10（5分）設f（x）=lnx，0ab，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b），則下列關系式中正確的是（）Aq=rpBp=rqCq=rpDp=r

3、q11（5分）某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A、B兩種原料已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示如果生產(chǎn)一噸甲、乙產(chǎn)品可獲得利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為（） 甲乙 原料限額 A（噸） 3 212 B（噸） 12 8A12萬元B16萬元C17萬元D18萬元12（5分）設復數(shù)z=（x1）+yi（x，yR），若|z|1，則yx的概率為（）A+B+CD二.填空題：把答案填寫在答題的橫線上（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13（5分）中位數(shù)為1010的一組數(shù)構成等差數(shù)列，其末項為2015，則該數(shù)列的首項為 14（5分）如圖，某港口一天6時到18時的水渠變

4、化曲線近似滿足函數(shù)y=3sin（x+）+k據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深（單位：m）的最大值為 15（5分）函數(shù)y=xex在其極值點處的切線方程為 16（5分）觀察下列等式：1=1+=+1+=+據(jù)此規(guī)律，第n個等式可為 三.解答題：解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟（共5小題，共70分）17（12分）ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c向量=（a，b）與=（cosA，sinB）平行（）求A；（）若a=，b=2，求ABC的面積18（12分）如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中點，O是AC與BE的交點將ABE沿BE折起到如圖2中A1BE的位

5、置，得到四棱錐A1BCDE（）證明：CD平面A1OC；（）當平面A1BE平面BCDE時，四棱錐A1BCDE的體積為36，求a的值19（12分）隨機抽取一個年份，對西安市該年4月份的天氣情況進行統(tǒng)計，結果如下：（）在4月份任取一天，估計西安市在該天不下雨的概率；（）西安市某學校擬從4月份的一個晴天開始舉行連續(xù)2天的運動會，估計運動會期間不下雨的概率日期123456789101112131415天氣晴雨陰陰陰雨陰晴晴晴陰晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天氣晴陰雨陰陰晴陰晴晴晴陰晴晴晴雨20（12分）如圖，橢圓E：+=1（ab0）經(jīng)過點A（0，1），且離心率為

6、（）求橢圓E的方程；（）經(jīng)過點（1，1），且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點P，Q（均異于點A），證明：直線AP與AQ斜率之和為221（12分）設fn（x）=x+x2+xn1，x0，nN，n2（）求fn（2）；（）證明：fn（x）在（0，）內(nèi)有且僅有一個零點（記為an），且0an（）n三.請在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分選修4-1：幾何證明選講22（10分）如圖，AB切O于點B，直線AO交O于D，E兩點，BCDE，垂足為C（）證明：CBD=DBA；（）若AD=3DC，BC=，求O的直徑選修4-4：坐標系與參數(shù)方程23在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方

7、程為（t為參數(shù)），以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，C的極坐標方程為=2sin（）寫出C的直角坐標方程；（）P為直線l上一動點，當P到圓心C的距離最小時，求P的直角坐標選修4-5：不等式選講24已知關于x的不等式|x+a|b的解集為x|2x4（）求實數(shù)a，b的值；（）求+的最大值2015年陜西省高考數(shù)學試卷（文科）參考答案與試題解析一.選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求（每小題5分，共60分）1（5分）設集合M=x|x2=x，N=x|lgx0，則MN=（）A0，1B（0，1C0，1）D（，1【分析】求解一元二次方程化簡M，求解對數(shù)不等式化簡N，然后利用并集運算得答

8、案【解答】解：由M=x|x2=x=0，1，N=x|lgx0=（0，1，得MN=0，1（0，1=0，1故選：A【點評】本題考查了并集及其運算，考查了對數(shù)不等式的解法，是基礎題2（5分）某中學初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為（）A93B123C137D167【分析】利用百分比，可得該校女教師的人數(shù)【解答】解：初中部女教師的人數(shù)為110×70%=77；高中部女教師的人數(shù)為150×40%=60，該校女教師的人數(shù)為77+60=137，故選：C【點評】本題考查該校女教師的人數(shù)，考查收集數(shù)據(jù)的方法，考查學生的計算能力，比較基礎3（5

9、分）已知拋物線y2=2px（p0）的準線經(jīng)過點（1，1），則該拋物線焦點坐標為（）A（1，0）B（1，0）C（0，1）D（0，1）【分析】利用拋物線y2=2px（p0）的準線經(jīng)過點（1，1），求得=1，即可求出拋物線焦點坐標【解答】解：拋物線y2=2px（p0）的準線經(jīng)過點（1，1），=1，該拋物線焦點坐標為（1，0）故選：B【點評】本題考查拋物線焦點坐標，考查拋物線的性質(zhì)，比較基礎4（5分）設f（x）=，則f（f（2）=（）A1BCD【分析】利用分段函數(shù)的性質(zhì)求解【解答】解：，f（2）=22=，f（f（2）=f（）=1=故選：C【點評】本題考查函數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意分

10、段函數(shù)的性質(zhì)的合理運用5（5分）一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A3B4C2+4D3+4【分析】由已知中的三視圖可得，該幾何體是以俯視圖為底面的半圓柱，底面半徑為1，高為2，代入柱體表面積公式，可得答案【解答】解：由已知中的三視圖可得，該幾何體是以俯視圖為底面的半圓柱，底面半徑為1，高為2，故該幾何體的表面積S=2×+（2+）×2=3+4，故選：D【點評】本題考查的知識點是柱體的體積和表面積，簡單幾何體的三視圖，難度中檔6（5分）“sin=cos”是“cos2=0”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【分析】由cos

11、2=cos2sin2，即可判斷出【解答】解：由cos2=cos2sin2，“sin=cos”是“cos2=0”的充分不必要條件故選：A【點評】本題考查了倍角公式、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力，屬于基礎題7（5分）根據(jù)如圖框圖，當輸入x為6時，輸出的y=（）A1B2C5D10【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的x的值，當x=3時不滿足條件x0，計算并輸出y的值為10【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得x=6x=3滿足條件x0，x=0滿足條件x0，x=3不滿足條件x0，y=10輸出y的值為10故選：D【點評】本題主要考查了循環(huán)結構的程序框圖，正確寫出每次循環(huán)得到的x的值是解題的關鍵

12、，屬于基礎題8（5分）對任意向量、，下列關系式中不恒成立的是（）A|B|C（）2=|2D（）（）=22【分析】由向量數(shù)量積的運算和性質(zhì)逐個選項驗證可得【解答】解：選項A恒成立，|=|cos，|，又|cos，|1，|恒成立；選項B不恒成立，由三角形的三邊關系和向量的幾何意義可得|；選項C恒成立，由向量數(shù)量積的運算可得（）2=|2；選項D恒成立，由向量數(shù)量積的運算可得（）（）=22故選：B【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積，屬基礎題9（5分）設f（x）=xsinx，則f（x）（）A既是奇函數(shù)又是減函數(shù)B既是奇函數(shù)又是增函數(shù)C是有零點的減函數(shù)D是沒有零點的奇函數(shù)【分析】利用函數(shù)的奇偶性的定義判斷f（x

13、）為奇函數(shù)，再利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而得出結論【解答】解：由于f（x）=xsinx的定義域為R，且滿足f（x）=x+sinx=f（x），可得f（x）為奇函數(shù)再根據(jù)f（x）=1cosx0，可得f（x）為增函數(shù)，故選：B【點評】本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷方法，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎題10（5分）設f（x）=lnx，0ab，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b），則下列關系式中正確的是（）Aq=rpBp=rqCq=rpDp=rq【分析】由題意可得p=（lna+lnb），q=ln（）ln（）=p，r=（lna+lnb），可得大小關系【解答】解：由題意可得若p=f（）=

14、ln（）=lnab=（lna+lnb），q=f（）=ln（）ln（）=p，r=（f（a）+f（b）=（lna+lnb），p=rq，故選：B【點評】本題考查不等式與不等關系，涉及基本不等式和對數(shù)的運算，屬基礎題11（5分）某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A、B兩種原料已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示如果生產(chǎn)一噸甲、乙產(chǎn)品可獲得利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為（） 甲乙 原料限額 A（噸） 3 212 B（噸） 12 8A12萬元B16萬元C17萬元D18萬元【分析】設每天生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品分別為x，y噸，利潤為z元，然后根據(jù)題目條件建立約束條件，得到目標

15、函數(shù)，畫出約束條件所表示的區(qū)域，然后利用平移法求出z的最大值【解答】解：設每天生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品分別為x，y噸，利潤為z元，則，目標函數(shù)為 z=3x+4y作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域（陰影部分）即可行域由z=3x+4y得y=x+，平移直線y=x+由圖象可知當直線y=x+經(jīng)過點B時，直線y=x+的截距最大，此時z最大，解方程組，解得，即B的坐標為x=2，y=3，zmax=3x+4y=6+12=18即每天生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品分別為2，3噸，能夠產(chǎn)生最大的利潤，最大的利潤是18萬元，故選：D【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，建立約束條件和目標函數(shù)，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵12（5分）設復數(shù)z

16、=（x1）+yi（x，yR），若|z|1，則yx的概率為（）A+B+CD【分析】判斷復數(shù)對應點圖形，利用幾何概型求解即可【解答】解：復數(shù)z=（x1）+yi（x，yR），若|z|1，它的幾何意義是以（1，0）為圓心，1為半徑的圓以及內(nèi)部部分yx的圖形是圖形中陰影部分，如圖：復數(shù)z=（x1）+yi（x，yR），若|z|1，則yx的概率：=故選：C【點評】本題考查復數(shù)的幾何意義，幾何概型的求法，考查計算能力以及數(shù)形結合的能力二.填空題：把答案填寫在答題的橫線上（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13（5分）中位數(shù)為1010的一組數(shù)構成等差數(shù)列，其末項為2015，則該數(shù)列的首項為5【分析】由題意可

17、得首項的方程，解方程可得【解答】解：設該等差數(shù)列的首項為a，由題意和等差數(shù)列的性質(zhì)可得2015+a=1010×2解得a=5故答案為：5【點評】本題考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)，涉及中位數(shù)，屬基礎題14（5分）如圖，某港口一天6時到18時的水渠變化曲線近似滿足函數(shù)y=3sin（x+）+k據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深（單位：m）的最大值為8【分析】由圖象觀察可得：ymin=3+k=2，從而可求k的值，從而可求ymax=3+k=3+5=8【解答】解：由題意可得：ymin=3+k=2，可解得：k=5，ymax=3+k=3+5=8，故答案為：8【點評】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的

18、考查15（5分）函數(shù)y=xex在其極值點處的切線方程為y=【分析】求出極值點，再結合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的方程【解答】解：依題解：依題意得y=ex+xex，令y=0，可得x=1，y=因此函數(shù)y=xex在其極值點處的切線方程為y=故答案為：y=【點評】本小題主要考查直線的斜率、導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力屬于基礎題16（5分）觀察下列等式：1=1+=+1+=+據(jù)此規(guī)律，第n個等式可為+=+【分析】由已知可得：第n個等式含有2n項，其中奇數(shù)項為，偶數(shù)項為其等式右邊為后n項的絕對值之和即可得出【解答】解：由已知可得：第n個等式含有2n項，其中奇數(shù)項

19、為，偶數(shù)項為其等式右邊為后n項的絕對值之和第n個等式為：+=+【點評】本題考查了觀察分析猜想歸納求數(shù)列的通項公式方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題三.解答題：解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟（共5小題，共70分）17（12分）ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c向量=（a，b）與=（cosA，sinB）平行（）求A；（）若a=，b=2，求ABC的面積【分析】（）利用向量的平行，列出方程，通過正弦定理求解A；（）利用A，以及a=，b=2，通過余弦定理求出c，然后求解ABC的面積【解答】解：（）因為向量=（a，b）與=（cosA，sinB）平行，所以asinB=0，由正弦

20、定理可知：sinAsinBsinBcosA=0，因為sinB0，所以tanA=，可得A=；（）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA，可得7=4+c22c，解得c=3，ABC的面積為：=【點評】本題考查余弦定理以及正弦定理的應用，三角形的面積的求法，考查計算能力18（12分）如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中點，O是AC與BE的交點將ABE沿BE折起到如圖2中A1BE的位置，得到四棱錐A1BCDE（）證明：CD平面A1OC；（）當平面A1BE平面BCDE時，四棱錐A1BCDE的體積為36，求a的值【分析】（I）運用E是AD的

21、中點，判斷得出BEAC，BE面A1OC，考慮CDDE，即可判斷CD面A1OC（II）運用好折疊之前，之后的圖形得出A1O是四棱錐A1BCDE的高，平行四邊形BCDE的面積S=BCAB=a2，運用體積公式求解即可得出a的值【解答】解：（I）在圖1中，因為AB=BC=a，E是AD的中點，BAD=，所以BEAC，即在圖2中，BEA1O，BEOC，從而BE面A1OC，由CDBE，所以CD面A1OC，（II）即A1O是四棱錐A1BCDE的高，根據(jù)圖1得出A1O=AB=a，平行四邊形BCDE的面積S=BCAB=a2，V=a=a3，由a=a3=36，得出a=6【點評】本題考查了平面立體轉(zhuǎn)化的問題，運用好折疊

22、之前，之后的圖形，對于空間直線平面的位置關系的定理要很熟練19（12分）隨機抽取一個年份，對西安市該年4月份的天氣情況進行統(tǒng)計，結果如下：（）在4月份任取一天，估計西安市在該天不下雨的概率；（）西安市某學校擬從4月份的一個晴天開始舉行連續(xù)2天的運動會，估計運動會期間不下雨的概率日期123456789101112131415天氣晴雨陰陰陰雨陰晴晴晴陰晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天氣晴陰雨陰陰晴陰晴晴晴陰晴晴晴雨【分析】（）在4月份任取一天，不下雨的天數(shù)是26，即可估計西安市在該天不下雨的概率；（）求得4月份中，前一天為晴天的互鄰日期對有16個，其中后一

23、天不下雨的有14個，可得晴天的次日不下雨的概率，即可得出結論【解答】解：（）在4月份任取一天，不下雨的天數(shù)是26，以頻率估計概率，估計西安市在該天不下雨的概率為；（）稱相鄰的兩個日期為“互鄰日期對”，由題意，4月份中，前一天為晴天的互鄰日期對有16個，其中后一天不下雨的有14個，所以晴天的次日不下雨的概率為，從而估計運動會期間不下雨的概率為【點評】本題考查概率的應用，考查學生的計算能力，確定基本事件的個數(shù)是關鍵20（12分）如圖，橢圓E：+=1（ab0）經(jīng)過點A（0，1），且離心率為（）求橢圓E的方程；（）經(jīng)過點（1，1），且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點P，Q（均異于點A），證明：直線

24、AP與AQ斜率之和為2【分析】（）運用離心率公式和a，b，c的關系，解方程可得a，進而得到橢圓方程；（）由題意設直線PQ的方程為y=k（x1）+1（k0），代入橢圓方程+y2=1，運用韋達定理和直線的斜率公式，化簡計算即可得到結論【解答】解：（）由題設知，=，b=1，結合a2=b2+c2，解得a=，所以+y2=1；（）證明：由題意設直線PQ的方程為y=k（x1）+1（k0），代入橢圓方程+y2=1，可得（1+2k2）x24k（k1）x+2k（k2）=0，由已知得（1，1）在橢圓外，設P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x20，則x1+x2=，x1x2=，且=16k2（k1）28k（k2）（

25、1+2k2）0，解得k0或k2則有直線AP，AQ的斜率之和為kAP+kAQ=+=+=2k+（2k）（+）=2k+（2k）=2k+（2k）=2k2（k1）=2即有直線AP與AQ斜率之和為2【點評】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率和方程的運用，聯(lián)立直線方程，運用韋達定理，考查直線的斜率公式，屬于中檔題21（12分）設fn（x）=x+x2+xn1，x0，nN，n2（）求fn（2）；（）證明：fn（x）在（0，）內(nèi)有且僅有一個零點（記為an），且0an（）n【分析】（）將已知函數(shù)求導，取x=2，得到fn（2）；（）只要證明fn（x）在（0，）內(nèi)有單調(diào)遞增，得到僅有一個零點，然后fn（an

26、）變形得到所求【解答】解：（）由已知，fn（x）=1+2x+3x2+nxn1，所以，則2fn（2）=2+2×22+3×23+n2n，得fn（2）=1+2+22+23+2n1n2n=（1n）2n1，所以（）因為f（0）=10，fn（）=1=12×12×0，所以fn（x）在（0，）內(nèi)至少存在一個零點，又fn（x）=1+2x+3x2+nxn10，所以fn（x）在（0，）內(nèi)單調(diào)遞增，所以fn（x）在（0，）內(nèi)有且僅有一個零點an，由于fn（x）=，所以0=fn（an）=，所以，故，所以0【點評】本題考查了函數(shù)求導、錯位相減法求數(shù)列的和、函數(shù)的零點判斷等知識，計算比較復雜，注意細心三.請在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分選修4-1：幾何證明選講22（10分）如圖，AB切O于點B，直線AO交O于D，E兩點，BCDE