2022年2022年高一數(shù)學(xué)典型例題分析：等比數(shù)列

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載等比數(shù)列·例題解析【例 1】已知 sn 為數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和,sn pnp r,n n* ,那么數(shù)列 ana為等比數(shù)列b當(dāng) p 0 時為等比數(shù)列c當(dāng) p 0, p 1 時為等比數(shù)列d不為等比數(shù)列分析由 sn pnn n* ,有 a1=s1 p,并且當(dāng)n 2 時, an=sn sn-1 p n pn-1 p 1pn-1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故a2= p1p,因此數(shù)列a n 成等比數(shù)列p 0p 1 0 p1p n 1pp1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載p2p n 2p但滿意此條件的實(shí)數(shù)p 為不

2、存在的,故此題應(yīng)選d說明數(shù)列 an成等比數(shù)列的必要條件為an 0n n* ,仍要注精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載意對任n n *, n 2 ,a na n 1都為同一常數(shù)為其定義規(guī)定的精確含義精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【例 2】已知等比數(shù)列1, x1, x2, x2n, 2,求 x1· x2· x3·· x2n解 1,x1, x2, x2n, 2 成等比數(shù)列,公比q 2 1· q2n+1x1x2x3x2nq ·q2·q 3q 2n=q1+2+3+2n2n1+2n=q2q n 2 n1 2

3、n1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【例3】等比數(shù)列a n 中,(1) 已知 a2= 4 , a 5 ,求通項(xiàng)公2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載式； 2已知 a3· a4·a5 8,求 a2a3a4a5a6 的值52解 1a= a q 5 2 q = 12精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載n2 a a q n 2 41n 2 21n 42精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載(2) a· a a 2a · a· a a3 = 8精品學(xué)

4、習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3543454 a42精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又a aa a a2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載26354234564a a a a a= a5= 32精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【例 4】已知 a 0,b 0 且 a b,在 a, b 之間插入n 個正數(shù) x1, x2,xn,使得 a, x1, x2, xn, b 成等比數(shù)列,求精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證 n x 1x 2abx n 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證明設(shè)這 n 2 個數(shù)所成數(shù)列的公比為q,就

5、b=aqn+1n q1b an 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 n x 1x 2x nn aqaq2aq naq 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載abab2【例5】設(shè) a.b.c.d 成等比數(shù)列,求證：b c2 ca2d b2 a d2證法 一 a.b.c. d 成等比數(shù)列a bcb cd b2 ac, c2 bd, ad bc左邊 =b22bc c2 c2 2ac a2 d2 2bd b2=2b2 ac 2c2 bd a2 2bc d2 a22ad d2 a d2右邊證畢證法二a.b.c. d 成等比數(shù)列,設(shè)其公比為q ,就：b aq, c aq2, d=a

6、q3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載左邊 aq aq2 2 aq2 a2 aq3 aq2 a22a2q3 a2q 6=aaq32 a d2=右邊證畢說明這為一個等比數(shù)列與代數(shù)式的恒等變形相綜合的題目證法一為抓住了求證式中右邊沒有b.c 的特點(diǎn),走的為利用等比的條件消去左邊式中的b.c 的路子證法二就為把a(bǔ).b.c.d 統(tǒng)一化成等比數(shù)列的基本元素a.q 去解決的證法二略微麻 煩些,但它所用的統(tǒng)一成基本元素的方法,卻較證法一的方法具有普遍性【例 6】求數(shù)列的通項(xiàng)公式：1an 中, a12, an+1 3an 22an 中, a1=2, a25,且 an+23an+1

7、2an0思路：轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列解 1a n+1 = 3an 2a n+1 1 = 3a n 1 an 1為等比數(shù)列 an 1=3· 3n-1 an =3n1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2a n+2 3an+1 2an= 0a n+2 a n+1= 2a n+1 a n 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 an+1an為等比數(shù)列,即an+1 an=a2 a1· 2n-1=3· 2n-1再留意到a2 a1=3, a3 a2=3·21 , a4 a3=3· 22, an an-1=3· 2n-2,這些等式相加,即

8、可以得到精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載n1a= 31 2 2 2 2 n-2 = 3· 21 = 32 n 1 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載n21說明解題的關(guān)鍵為發(fā)覺一個等比數(shù)列,即化生疏為已知1中發(fā)覺 an 1為等比數(shù)列, 2中發(fā)覺 an+1 an為等比數(shù)列,這也為通常說的化歸思想的一種表達(dá)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【例7】如實(shí)數(shù) a .a .a .a 都不為零,且滿意 a2 a2 a2 2a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載12341242精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a a aa2 a2= 0求

9、證： a .a.a 成等比數(shù)列,且公比為 a 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載134231234精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載證 a1.a2.a3.a4 均為不為零的實(shí)數(shù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載22222a a x 2a a a xa a= 0為實(shí)系數(shù)一元二次方程精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1221323精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載等式a2 a2 a2 2a aa aa2 a2= 0說明上述方程有實(shí)數(shù)根a 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1242134234上述方程的判別式 0

10、,即 2aa a 2 4a 2 a 2 a 2 a 2 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2131= 4a 2 a a 2 0223精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載213 a 2 a a 2 0213又 a1.a2.a3 為實(shí)數(shù)22 a a a 0213必有a2 a a= 0即a2 = a a213213因而 a1. a2.a3 成等比數(shù)列精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2又 a= 2a 2 a1a 3 a2 a1a3 a 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載142a 2a2 1a1 a3a1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a2

11、 a4 即為等比數(shù)列a1.a2.a3 的公比【例 8】如 a.b.c 成等差數(shù)列,且a 1.b.c 與 a.b.c 2 都成等比數(shù)列,求 b 的值解設(shè) a.b.c 分別為 b d.b.b d ,由已知 b d 1.b.b d 與 b d.b.b d 2 都成等比數(shù)列,有b 2 = b d 1b d2b= b db d 2整理,得b 2 = b 2 d 2 b db 2 = b 2 d 2 2b 2d b d=2b 2d即 b=3d代入,得9d2=3d d 13d d9d2=2d 1· 4d解之,得d=4 或 d=0舍 b=12【例 9】已知等差數(shù)列 an 的公差和等比數(shù)列bn的公比都

12、為d,又知d1 ,且 a4=b4, a10=b10：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載1求 a1 與 d 的值；2b16 為不為 an中的項(xiàng)？精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載思路：運(yùn)用通項(xiàng)公式列方程a= ba 3d = a d 3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解 1 由4411a= b9精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1010a19d = a1d精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載39a1 1 d = a1 1 d =3d 9d精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載63d d 2 = 03d11舍或d 2

13、2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a1d3 2d3 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載32 b16=b1· d15=32b 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載且a4= a1 3d =22 = b4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3b 4 = b1 ·d=2b1 = 23 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3b1 = a1 =2 b16= 32b1= 32a1,假如 b 16 為 an中的第 k 項(xiàng),就 32a1=a1 k1d k 1d=33a1=33d k=34 即 b16 為an中的第 34 項(xiàng)精品學(xué)習(xí)

14、資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【例10】設(shè)a 為等差數(shù)列,b= 1 an,已知 b b21 b=,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載nn211238精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載b 1b 2 b 3=,求等差數(shù)列的通項(xiàng)8精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解設(shè)等差數(shù)列 an的公差為 d ,就 an=a1 n 1d精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1a1 b n = 2 n 1d精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載11ab 1b 3 = 21· 2a1 +2d1= 22a1 +d2b2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - -

15、- 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1由b b b=,解得 b 31=,解得1b=,代入已知條件精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1238128221精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載b1 b 2 b 3 =8整理得21b1 b 3 =417精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載b1b 2b38b1 b 3 =8解這個方程組,得11精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載b 1 = 2, b3=或b1 = 8, b 3 = 28精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 a1= 1, d=2 或 a1=3, d=

16、2當(dāng) a1= 1, d=2 時, an=a1 n 1d=2n 3當(dāng) a1=3, d=2 時, an=a1n 1d=5 2n【例 11】三個數(shù)成等比數(shù)列,如其次個數(shù)加4 就成等差數(shù)列,再把這個等差數(shù)列的第3 項(xiàng)加 32 又成等比數(shù)列,求這三個數(shù)解法一按等比數(shù)列設(shè)三個數(shù),設(shè)原數(shù)列為a, aq, aq2由已知： a, aq 4, aq2 成等差數(shù)列即： 2aq 4=a aq2a, aq 4, aq232 成等比數(shù)列即： aq 42=aaq2 32精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載aq 2 = 4aa = 2a = 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載,兩式聯(lián)立解得：或q =

17、329q = 51050精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載這三數(shù)為：2, 6,18或 9 ,9 , 9 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解法二按等差數(shù)列設(shè)三個數(shù),設(shè)原數(shù)列為b d, b 4, b d由已知：三個數(shù)成等比數(shù)列即： b42=b db d精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載8b d 2= 16精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載b d ,b ,b d32 成等比數(shù)列精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載即 b2=b db d 3232b d 2 32d = 026b =9b = 10精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - -

18、 - 歡迎下載.兩式聯(lián)立,解得：或8d = 8精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載d = 321050三數(shù)為,或2 , 6, 18999解法三任意設(shè)三個未知數(shù),設(shè)原數(shù)列為a1,a2, a3由已知： a1, a2, a3 成等比數(shù)列2得： a2 = a a13a1, a2 4, a3 成等差數(shù)列得： 2a2 4=a1 a3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a1, a2 4, a3 32 成等比數(shù)列得： a2 42=a1a3 32.式聯(lián)立,解得：2a1 = 910a2 =9a1 = 2或 a2 = 6精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載50a3 =9a3 = 18精

19、品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載說明將三個成等差數(shù)列的數(shù)設(shè)為a d, a, a d；將三個成精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載等比數(shù)列的數(shù)設(shè)為a, aq, aq2 或a, a, aq為一種常用技巧,可起到q精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載簡化運(yùn)算過程的作用【例 12 】有四個數(shù),其中前三個數(shù)成等差數(shù)列,后三個數(shù)成等比數(shù)列,并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和為16,其次個數(shù)與第三個數(shù)的和為12,求這四個數(shù)分析此題有三種設(shè)未知數(shù)的方法方法一設(shè)前三個數(shù)為a d ,a, a d,就第四個數(shù)由已知條精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精

20、選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載件可推得：ad 2a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載方法二設(shè)后三個數(shù)為b, bq, bq2,就第一個數(shù)由已知條件推得為2bbq 方法三設(shè)第一個數(shù)與其次個數(shù)分別為x, y,就第三.第四個數(shù)依次為12y,16 x由這三種設(shè)法可利用余下的條件列方程組解出相關(guān)的未知數(shù),從而解出所求的四個數(shù),精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解法一設(shè)前三個數(shù)為 ad 2a d, a, a d,就第四個數(shù)為a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載依題意,有ad ad 2a= 16精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - -

21、 - 歡迎下載a ad = 12a1 = 4a2 = 9解方程組得：或d1 = 4d 2 = 6所求四個數(shù)為：0, 4, 8, 16 或 15, 9, 3, 1解法二設(shè)后三個數(shù)為：b, bq, bq 2,就第一個數(shù)為：2b bq精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載依題意有：2b bq bq 2b bq = 12= 16精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解方程組得：b1 = 4或q= 2b2 = 91精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1q2 = 3所求四個數(shù)為：0, 4, 8, 16 或 15, 9, 3, 1解法三

22、設(shè)四個數(shù)依次為x, y, 12 y, 16 xx 12 y = 2y精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載依題意有y· 16 x = 12 y 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x1 = 0x 2 = 15解方程組得：或y1 = 4y 2 = 9這四個數(shù)為0, 4,8, 16 或 15, 9,3, 1【例 13 】已知三個數(shù)成等差數(shù)列,其和為126；另外三個數(shù)成等比數(shù)列,把兩個數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)依次相加,分別得到85, 76, 84求這兩個數(shù)列解設(shè)成等差數(shù)列的三個數(shù)為b d, b, b d,由已知, b d bb d=126 b=42這三個數(shù)可寫成42d, 42, 4

23、2 d 再設(shè)另三個數(shù)為a, aq,aq2由題設(shè),得精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載a42d = 85ap42 = 76aq2 42d = 84ad = 43精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載整理,得aq = 34aq2 d = 42精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解這個方程組,得a1=17 或 a2=68當(dāng) a=17 時, q=2, d=261精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng)a = 68時, q =, d = 252精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載從而得到： 成等比數(shù)列的三個數(shù)為17,34,68,此時成等差的三個數(shù)為68,42, 16；或者成等比的三個數(shù)為68, 34, 17,此時成等差的三個數(shù)為17,42, 67【例 14】已知在數(shù)列 an中, a1.a2.a3 成等差數(shù)列, a2 .a3.a4 成等比數(shù)列, a3. a4.a5 的倒數(shù)成等差數(shù)列,證明：a1.a3. a5 成等比數(shù)列證明由已知,有2a2=a1 a3a2 = a ·a324211a4a3a52a3 ·