基于冗余偏好關(guān)系的決策方法探討

1、 基于廣義Fuzzy偏好關(guān)系的決策方法探討董玉成1，徐寅峰1,2 （1.西安交通大學(xué)管理學(xué)院； 2.機(jī)械制造系統(tǒng)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室）摘要：本文提出了廣義模糊偏好關(guān)系的概念。設(shè)計(jì)了互補(bǔ)化排序和加性一致化排序兩種排序方法，討論了兩種排序方法的相關(guān)性質(zhì)?；谶@兩種排序方法，定義了冗余一致性指標(biāo)和加性一致性指標(biāo)，并討論了采用加權(quán)算術(shù)平均算子（算子）或有序加權(quán)平均算子（算子）對(duì)廣義模糊偏好關(guān)系進(jìn)行集結(jié)，其群體偏好一致性（包括冗余一致性和加性一致性）的相關(guān)性質(zhì)。本文結(jié)果對(duì)進(jìn)一步完善基于模糊偏好關(guān)系的群決策模型具有理論和現(xiàn)實(shí)意義。關(guān)鍵詞：廣義模糊偏好關(guān)系；排序方法；冗余一致；加性一致；信息集成算子 中圖分類(lèi)

2、號(hào)：C934 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：AStudy on decision making using generalized fuzzy preference relations Abstract: This paper first introduces the concept of generalized fuzzy preference relations and designs two methods to obtain the priorities vector from them. Moreover, we discuss desired properties on these two prio

3、rity methods. At last, we give some results on redundancy consistency and additive consistency of the collective preference relation aggregated by weighted averaging operator or ordered weighted averaging operator. These results are very important for GDM with fuzzy preference relations.Keywords: ge

4、neralized fuzzy preference relations; priority method; redundancy consistency; additive consistency; information aggregation operator.1 引言偏好關(guān)系又稱(chēng)判斷矩陣，在多屬性決策中被廣泛研究。模糊互補(bǔ)偏好關(guān)系是最常見(jiàn)的偏好關(guān)系1-8。當(dāng)決策者在某準(zhǔn)則下對(duì)個(gè)方案進(jìn)行兩兩比較構(gòu)造一個(gè)典型的模糊互補(bǔ)偏好關(guān)系時(shí)，一般需要經(jīng)過(guò)次判斷。然而決策者有時(shí)可能對(duì)某些比較判斷缺少把握或不想發(fā)表意見(jiàn)，這樣就會(huì)使偏好關(guān)系中的某些項(xiàng)出現(xiàn)空缺，對(duì)這類(lèi)偏好關(guān)系一般稱(chēng)為殘缺互補(bǔ)偏好關(guān)系8-9。另

5、一方面，決策者也可能作出多達(dá)次比較判斷，這樣就出現(xiàn)了冗余判斷，使模糊互補(bǔ)偏好關(guān)系失去互補(bǔ)性,我們稱(chēng)這種偏好關(guān)系為廣義模糊偏好關(guān)系。這一新概念引入是基于如下理由：1）有些學(xué)者10-11在AHP的研究中，認(rèn)為放棄乘性偏好關(guān)系的互反性是合理的，比如在一場(chǎng)球賽中，球隊(duì)擊敗了球隊(duì)，但是球隊(duì)同樣可以擊敗了球隊(duì)，這種情形在現(xiàn)實(shí)生活中的成對(duì)比較判斷里很常見(jiàn)。這些研究和分析也完全適合模糊互補(bǔ)偏好關(guān)系，它為我們引入廣義模糊偏好關(guān)系提供了理論支持。2）在采用一些最常見(jiàn)信息集成算子對(duì)模糊互補(bǔ)偏好關(guān)系進(jìn)行集成時(shí)，無(wú)法保證集成的群體偏好關(guān)系的互補(bǔ)性。比如采用有序加權(quán)平均算子（）12對(duì)模糊互補(bǔ)偏好關(guān)系進(jìn)行集成后，無(wú)法保證集

6、成的群體偏好關(guān)系是互補(bǔ)的13。因此，討論從廣義模糊偏好關(guān)系中發(fā)展權(quán)向量就有了必要性，而這些排序方法也能應(yīng)用于Chiclana等提出的模糊多人決策模型13-16。本文的主要目的是對(duì)基于廣義模糊偏好關(guān)系的決策方法進(jìn)行探討。文章給出了廣義模糊偏好關(guān)系排序的兩種方法；定義了廣義模糊偏好關(guān)系的冗余一致性和加性一致性，并研究采用加權(quán)算術(shù)平均算子（）或有序加權(quán)平均算子（）對(duì)廣義模糊偏好關(guān)系進(jìn)行集成，其群體偏好一致性（包括冗余一致性和加性一致性）的相關(guān)性質(zhì)。本文研究對(duì)進(jìn)一步完善基于模糊偏好關(guān)系的群決策模型具有理論和現(xiàn)實(shí)意義。2 廣義模糊偏好關(guān)系排序方法2.1 廣義模糊偏好關(guān)系的互補(bǔ)化排序?yàn)榱藬⑹龇奖阆冉o出幾個(gè)

7、定義：定義 1 令 是一矩陣，若對(duì)任意有，則稱(chēng)為模糊矩陣17。本文定義為廣義模糊偏好關(guān)系。定義 26，7 令 是一矩陣，若對(duì)任意有，則稱(chēng)為模糊互補(bǔ)偏好關(guān)系(或稱(chēng)為互補(bǔ)模糊偏好關(guān)系)。令是階廣義模糊偏好關(guān)系集合，是階模糊互補(bǔ)偏好關(guān)系集合，由定義知。為了通過(guò)廣義模糊偏好關(guān)系對(duì)方案進(jìn)行排序，從中發(fā)展權(quán)向量，一個(gè)直觀的方法是采用模糊互補(bǔ)偏好關(guān)系去貼近廣義模糊偏好關(guān)系，然后借助有關(guān)模糊互補(bǔ)偏好關(guān)系的排序方法6-8，最終獲取權(quán)向量。本文采用歐氏距離定義兩矩陣和的貼近程度，即：。那么這種方法可歸納為尋找一最貼近的模糊互補(bǔ)偏好關(guān)系。數(shù)學(xué)模型如下：設(shè)，。令 （1）其中，即為最貼近模糊互補(bǔ)偏好關(guān)系。通過(guò)模糊互補(bǔ)偏

8、好關(guān)系的排序方法6-8（本文采用最小方差法，具體見(jiàn)文獻(xiàn)7）對(duì)進(jìn)行排序，其排序向量可以近似作為的排序向量。定理 1 設(shè)，為最貼近模糊互補(bǔ)偏好關(guān)系，那么。 證明：（1）等價(jià)如下優(yōu)化問(wèn)題 （2）（2）等價(jià)于（3） （3）令得 ，化簡(jiǎn)得 （4）令，令為采用最小方差法排序公式7對(duì)進(jìn)行排序的權(quán)向量，那么 （5）把（4）代入（5）得 （6）把近似作為的排序權(quán)向量，我們稱(chēng)該排序方法為廣義模糊偏好關(guān)系互補(bǔ)化排序。2.2廣義模糊偏好關(guān)系的加性一致化排序定義 3 令是一模糊互補(bǔ)偏好關(guān)系，若對(duì)任意有，則稱(chēng)A是加性一致模糊互補(bǔ)偏好關(guān)系。令是階加性一致模糊互補(bǔ)偏好關(guān)系集合，由定義知。在這一節(jié)，我們考慮通過(guò)尋找一個(gè)最貼近廣

9、義模糊偏好關(guān)系的加性一致模糊互補(bǔ)偏好關(guān)系，從而直接獲取權(quán)向量。數(shù)學(xué)模型如下：設(shè)，令 （7）稱(chēng)為的最貼近加性一致模糊互補(bǔ)偏好關(guān)系。令，記為對(duì)應(yīng)的權(quán)向量。因?yàn)槭悄：有砸恢缕藐P(guān)系，我們有6-8 （8）由（8）代入（7）有 （9） 稱(chēng)為的排序向量。定理 2設(shè)。為的最貼近模糊互補(bǔ)偏好關(guān)系，為采用加性一致化排序方法獲取的權(quán)向量。那么，。證明：（9）等價(jià)如下優(yōu)化問(wèn)題 （10）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，令，得 （11） （12）聯(lián)立（11）（12）得 （13）聯(lián)立（8）（13）得 （14）3進(jìn)一步討論3.1 兩種排序方法的相關(guān)性質(zhì)一種廣義模糊偏好關(guān)系的排序方法可以看作由到 的一個(gè)映射, 記為。并稱(chēng)是廣義模糊偏好關(guān)

10、系的排序向量。下面討論兩種排序方法的一些性質(zhì)。定理 3 當(dāng)是模糊互補(bǔ)偏好關(guān)系（即）時(shí)，本文兩種排序方法（公式（6）和公式（13）等價(jià)于模糊互補(bǔ)偏好關(guān)系排序的最小方差法。證明：因?yàn)?，所?，把這兩式分別代入（6）和（13），都可得，這即為模糊互補(bǔ)偏好關(guān)系的最小方差法排序公式。得證。定理3顯示本文兩種排序方法是廣義最小方差排序法。定義 4 一種排序方法稱(chēng)為強(qiáng)條件下保序的，如果對(duì)任意，有和，則, 且當(dāng)前者所有等式成立時(shí), 有。定義4 推廣了模糊互補(bǔ)偏好關(guān)系強(qiáng)條件保序的概念。定理4將證明兩種排序方法是強(qiáng)條件保序的。定理 4 廣義模糊偏好關(guān)系互補(bǔ)化排序方法（公式（6）和加性一致化排序方法（公式（13）是

11、強(qiáng)條件下保序的。證明：對(duì)任意，有和，將其代入（6）或者（13），有, 且當(dāng)前者所有等式成立時(shí), 有。所以得證。類(lèi)似模糊互補(bǔ)偏好關(guān)系，定義廣義模糊偏好關(guān)系排序方法的置換不變性。定義 5 設(shè)是一種排序方法，是任一個(gè)給定的廣義模糊偏好關(guān)系，記的排序權(quán)向量為。 如果對(duì)于任一置換不變矩陣,均有，則稱(chēng)這種排序方法是置換不變的。定理 5廣義模糊偏好關(guān)系互補(bǔ)化排序（公式（6）和加性一致化排序（公式（13）是置換不變的。證明：設(shè)，且設(shè)是置換不變矩陣，。令，分別是A 和B 在公式（6）下的排序向量, 經(jīng)置換后, 的第行成了 的第行, 的第列成了的第列, 因此類(lèi)似若，分別是和在公式（9）下的排序向量，則有所以?xún)煞N排

12、序方法具有置換不變性。3.2群決策與一致性偏好關(guān)系一致性測(cè)量一般包括兩個(gè)問(wèn)題3：（1）什么時(shí)候決策者提供的個(gè)體偏好關(guān)系是一致的；（2）什么時(shí)候，一群人提供的偏好關(guān)系是一致的。對(duì)于第（2）個(gè)問(wèn)題一般討論兩個(gè)方面：（a）群體偏好關(guān)系的一致性13, 18-19；（b）群體決策的共識(shí)測(cè)量 20。基于本文兩種排序方法，我們給出廣義模糊偏好關(guān)系的冗余一致性指標(biāo)和加性一致性指標(biāo)（）（見(jiàn)定義6）?；谶@些一致性指標(biāo)，集中討論一致性測(cè)量的第（2）個(gè)問(wèn)題的第（a）方面（注：廣義模糊偏好關(guān)系一致性測(cè)量的其它相關(guān)問(wèn)題我們?cè)诮窈蟮难芯恐杏懻摚?，即采用算子和算子?duì)廣義模糊偏好關(guān)系進(jìn)行群集成后群體偏好關(guān)系的一致性問(wèn)題。關(guān)于

13、無(wú)冗余判斷的乘性偏好關(guān)系和模糊互補(bǔ)偏好關(guān)系的群體一致性問(wèn)題，文獻(xiàn)13，18-19作過(guò)一些討論，本節(jié)研究可以認(rèn)為是這些討論的繼續(xù)。定義 6設(shè)。定義為的冗余一致性指標(biāo)。定義為的加性一致性指標(biāo)。由互補(bǔ)化排序方法原理（公式（4）可知 （15）由加性一致化排序方法原理（公式（14）可知 （16）顯然越大，則中冗余判斷越多，當(dāng)，則認(rèn)為是冗余一致的（即是模糊互補(bǔ)偏好關(guān)系）。同樣越大，則加性一致性越差，當(dāng)，則認(rèn)為是加性一致的（即是加性一致模糊互補(bǔ)偏好關(guān)系）?？梢苑謩e為和設(shè)定臨界值和。當(dāng)則認(rèn)為廣義模糊偏好關(guān)系是冗余一致可接受；當(dāng)可認(rèn)為是加性一致可接受。當(dāng)和同時(shí)成立，則認(rèn)為是一致可接受，此時(shí)從中發(fā)展的權(quán)向量才認(rèn)為

14、是可靠和有效的。對(duì)臨界值的設(shè)定，AHP的一致性檢驗(yàn)可以給我們啟示： (1)類(lèi)似Saaty21在AHP中使用的方法，通過(guò)使用平均隨機(jī)一致性指標(biāo)對(duì)一致性指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)化，然后經(jīng)驗(yàn)性的去設(shè)定臨界值；(2) 也可類(lèi)似采用P. Jong 22 的統(tǒng)計(jì)方法，把臨界值設(shè)定歸結(jié)為卡方檢驗(yàn)。限于本文篇幅，作者在今后研究中詳細(xì)討論該問(wèn)題。（1） 用算子進(jìn)行群決策設(shè)為決策者給出的個(gè)廣義模糊偏好關(guān)系。采用加權(quán)算術(shù)平均算子（算子）對(duì)進(jìn)行集成，得到群體模糊偏好關(guān)系記為。其中，為專(zhuān)家的權(quán)重且。定理 6設(shè)。（a）若 ，那么；（b）若 ，那么。證明：我們僅證明（a）。（b）可以完全類(lèi)似證明，限于篇幅省略。因?yàn)?，所?（17）（18）

15、聯(lián)立（17）和（18）得 （19）從定理6可得：采用算子進(jìn)行集成，若個(gè)體廣義模糊偏好關(guān)系的一致性水平（包括冗余一致性和加性一致性）都是可接受的，那么群體偏好必然是一致可接受的。（2）用算子進(jìn)行群決策采用有序加權(quán)算術(shù)平均算子（算子）對(duì)進(jìn)行集成，得到群體廣義模糊偏好關(guān)系記為。其中，且為中第大的元素。為 算子相關(guān)聯(lián)的加權(quán)向量，其中。定義 7 設(shè)是一組廣義模糊偏好關(guān)系，定義為其第次序廣義模糊偏好關(guān)系。定理 7設(shè)。（a）若 ，那么；（b）若 ，那么。證明：由定理6和定義7可直接得證。從定理7可知：采用算子進(jìn)行集成，若次序廣義模糊偏好關(guān)系的一致性水平（包括冗余一致性和加性一致性）都是可接受的，那么群體偏好

16、必然是一致可接受的。4 算例為了敘述方便，記，為采用本文第一種排序方法（公式6）和第二種排序方法（公式13）從廣義模糊偏好關(guān)系中獲取的權(quán)向量。記, 為的冗余一致性指標(biāo)和加性一致性指標(biāo)的值?，F(xiàn)考慮有兩個(gè)決策者對(duì)四個(gè)方案進(jìn)行評(píng)估，分別給出自己的廣義模糊偏好關(guān)系。按照本文方法計(jì)算出，的值，具體如下。,，, , , 如按算子對(duì)進(jìn)行集成，加權(quán)向量設(shè)為，得到群體偏好關(guān)系為。并計(jì)算出，?？梢钥闯?，這與定理6相符合。，如按算子對(duì)進(jìn)行集成，加權(quán)向量不妨設(shè)為，得到群體偏好關(guān)系為。為的次序廣義模糊偏好關(guān)系。并計(jì)算出，的值?？梢钥闯觯@與定理7相符合。，5 結(jié)論本文主要做了如下工作：（1）提出了廣義模糊偏好關(guān)系的概念

17、，并設(shè)計(jì)了互補(bǔ)化排序和加性一致化排序兩種排序方法；（2）討論了兩種排序方法的一些相關(guān)性質(zhì)；（3）給出了冗余一致性指標(biāo)和加性一致性指標(biāo)的公式，并討論了采用加權(quán)算術(shù)平均算子（算子）和有序加權(quán)平均算子（算子）對(duì)廣義模糊偏好關(guān)系進(jìn)行集結(jié)，其群體偏好一致性（包括冗余一致性和加性一致性）的一些性質(zhì)。本文結(jié)果對(duì)完善基于模糊偏好關(guān)系的群決策模型具有理論和現(xiàn)實(shí)意義。在今后的研究中，我們將進(jìn)一步探討這些問(wèn)題。參考文獻(xiàn)1 Orlorski S A. Decision-making with a fuzzy preference relation J. Fuzzy Sets and Systems, 3(1978)

18、155-167.2 Tanino T. Fuzzy preference orderings in group decision making J, Fuzzy Sets and Systems 12 (1984) 117-131.3 Herrera-Viedma E, Herrera F, Chiclana F et al. Some issues on consistency of fuzzy preference relations J. European Journal of Operational Research 154 (2004):98-109.4樊治平,姜艷萍,肖四漢.模糊判

19、斷矩陣的一致性及其性質(zhì)J.控制與決策.2001, 16(1):69:71.5 Ma Jian, Fan Zhi-Ping, Jiang Yan-Ping et al. A method for repairing the inconsistency of fuzzy preference relations J. Fuzzy Sets and Systems 157 (2006):20-33.6 樊治平,姜艷萍.模糊判斷矩陣排序方法研究的綜述J.系統(tǒng)工程.2001, 19(5):12-18.7 徐澤水.模糊互補(bǔ)判斷矩陣排序的最小方差法J.系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐.2001, 21(10):93-96

20、:130.8 徐澤水.不確定多屬性決策方法及應(yīng)用M.清華大學(xué)出版社.2004.9 徐澤水.基于殘缺互補(bǔ)判斷矩陣的交互式群決策方法J.控制與決策.2005, 20(8):913-916.10 Koczkodaj W W, Orlowski M. An orthogonal basis for computing a consistent approximation to a pairwise comparisons matrix J, Computers and Mathematics with Applications. 34(1997):41-47. 11 Koczkodaj W W, Or

21、lowski M. Computing a consistency approximation to generalized pairwise comparisons matrix J, Computers and Mathematics with Applications. 37(1999):79-85. 12 Yager RR. On ordered weighted averaging aggregation operators in multicriteria decision making J. IEEE Transactions on Systems, Man and Cybern

22、etics. 18(1988):183190.13 Chiclana F, Herreraa F, Herrera-Viedmaa E. A note on the reciprocity in the aggregation of fuzzy preference relations using OWA operators J. Fuzzy Sets and Systems. 137 (2003):7183.14 Chiclana F, Herrera F, Herrera-Viedma E. Integrating three representation models in fuzzy

23、multipurpose decision making based on fuzzy preference relations J. Fuzzy Sets and Systems. 97 (1998): 33-48.15 Chiclana F, Herrera F, Herrera-Viedma E. Integrating multiplicative preference relations in a multipurpose decision-making model based on fuzzy preference relations J. Fuzzy Sets and Systems. 122 (2001): 277-291.16 Chiclana F, Herrera F, Herrera-Viedma E. A note on the internal consistency of various preference representations J. Fuzzy Sets and Systems. 131 (2002): 75-78.17楊倫標(biāo)，高英儀.模糊數(shù)學(xué)理論及應(yīng)用.華