異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角專題復習與提高精品資料

1、空間角專題復習知識梳理一、異面直線所成的角及求法(1)定義： 在空間任意取一點，過該點分別作兩異面直線的平行線所成的銳角或直角稱為兩異面直線所成的角(2)取值范圍：若 是異面直線a 和b 所成的角，則其取值范圍是(0， 2 ，當2 時，稱異面直線a 和b 垂直，記為a b.(3)求法： 平移法：將兩異面直線中的一條或兩條平移至某特殊點后，構(gòu)造三角形，通過解該三角形而求其大?。欢?、直線與平面所成的角及求法(1)定義：設 l 和 分別表示直線與平面若l或 l? ，則稱直線 l 和平面所成的角為 0；若 l ，則稱 l 與 所成的角為；若 l 與 相交，則 l2與 l 在 內(nèi)的射影所成的銳角為直線l

2、 與平面 所成的角(2)取值范圍： 設 是直線 l 與平面 所成的角，則 的取值范圍是 0, 2(3)求法：定義法：探尋直線l 在平面 內(nèi)的射影， (通常由垂直法找射影 )構(gòu)造直線 l 與平面 所成角對應的直角三角形， 通過解該直角三角形而求得直線與平面所成的角三、二面角及求法(1)定義： 在二面角的棱上任取一點，分別在二面角的兩個面內(nèi)作棱的垂線，則這兩垂線所成的角稱為該二面角的平面角，且定義平面角的大小為該二面角的大小(2)取值范圍： 規(guī)定二面角的取值范圍為0 ， (3)求法： 定義法：分別在二面角的兩個面內(nèi)作棱的垂線，則這兩垂線所成的角稱為該二面角的平面角 練習提升1如圖， E、 F 分別

3、是三棱錐異面直線AB 與 PC 所成的角為A 30°C 60°PABC 的棱()B45°D 90°AP 、BC的中點，PC 10，AB 6， EF 7，則答案： C2. 已知長方體ABCD A1B1C1D1 中， AB BC 4， CC1 2，則直線 BC1 和平面 DBB1D1 所成的角的正弦值為()A.3B. 5221010C.5D. 10答案： C3.如圖，在邊長為1 的菱形 ABCD 中， ABC60°，將菱形沿對角線AC折起，使折起后BD1，則二面角 BAC D 的余弦值為()11A. 3B.2223C.3D. 2答案： A4在正方體

4、 ABCD A1B1C1D 1 中， B1C 與對角面 DD 1B1B 所成角的大小是()A 15°B30°C 45°D 60°答案： B5如圖， ABCD A1B1C1D1 是長方體， AA1 a， BAB1 B1A1C1 30°，則 AB 與 A1C1 所成的角為 _， AA1 與 B1C 所成的角為 _答案： 300 ， 4506. 在正方體 ABCD A1B1C1D1 中，(1)直線 A1B 與平面 ABCD 所成的角是 _；(2)直線 A1B 與平面 ABC1D 1 所成的角是 _；(3)直線 A1B 與平面 AB1C1 D 所成的角

5、是 _答案(1)45 ° (2)30 ° (3)90 °7設直線與平面所成角的大小范圍為集合P，二面角的平面角大小范圍為集合Q，異面直線所成角的大小范圍為集合R，則 P、 Q、 R 的關系為 ()A RP? QB R? P? QCP? R? QDR? P Q答案： B8設 ABC 和 DBC 所在兩平面互相垂直，且AB BC BDa， CBA CBD 120 °，則 AD 與平面 BCD 所成角的大小為()A 30°B 45°C 60°D 75°解析： 作 AOCB 交 CB 的延長線于O，連接 OD ，則 OD

6、即為 AD 在平面 BCD 內(nèi)的射影，ADO 即為 AD 與平面 BCD 所成的角3AOOD 2 a，ADO 45°.答案： B9. 如圖， AB 是圓的直徑， PA 垂直于圓所在的平面， C 是圓上一點 (不同于 A、B)且 PA AC，則二面角PBC A 的大小為()A 60°B30°C45°D15°答案 C10如圖，已知四棱錐P ABCD 的底面是正方形，PA平面 ABCD ，且 PA AD，則平面PAB 與平面 PCD 所成的二面角的度數(shù)為 ()A 90°B60°C 45°D30°解析： ABCD

7、，面PAB 與平面 PCD 的交線 l 必為過 P 點與 AB 平行的直線PA平面 ABCD ，PAAB， PACD，又 CDAD，DC 平面 PAD，DC PD ，PAl， PDl，即APD 為所求二面角的平面角，APD 45°.答案： C11把正方形ABCD 沿對角線BD 折成直二面角，對于下列結(jié)論： AC BD ； ADC 是正三角形； AB 與 CD 成 60°角； AB 與平面 BCD 成 60°角則其中正確結(jié)論的個數(shù)是()A1個B2 個C3 個D4 個解析： 取 BD 的中點 O，則 BD OC，BD OA，得 BD 平面 AOC，1BD AC ，正確

8、；cosADC cos45 °·cos45 ° 2，ADC 60°， AD DC ，ADC 是正三角形，正確；AB 與 CD 成 60°角，正確； AB與平面 BCD 成角ABO 45°，錯誤答案： C12如圖所示的正方體 ABCD A1B1C1D1 中，過頂點B、D 、 C1 作截面，則二面角 B DC1 C 的平面角的余弦值是 _解析：取 C1D 的中點 O，連接 BO、CO，則 BOC1D ，COC1D ，BOC 是二面角B DC 1 C 的平面角2設正方體的棱長為1，則 CO 2 ，BDC 1 為正三角形，6OB 2 ，且 B

9、C 1，OB2 OC2 BC23cosBOC2OB·OC 3 .答案：3313 如圖，在直三棱柱ABC A1B1C1 中， AB BC AA1， ABC 90°，點 E、 F 分別是棱AB 、BB1 的中點則直線EF 和 BC1 所成的角是 ()A 45°B 60°C 90°D 120 °解析： 取 B11 的中點G， A11 的中點 H ，連結(jié) FG、 BG、 HG、 EH，則 FGBC1，且CB1EFG 或其補角就是所求的角，利用余弦定理可求得cosEFG 2，故所求角為 60°.答案： B14如圖，將 Rt ABC 沿

10、斜邊上的高AD 折成 120 °的二面角 C AD C，若直角邊AB4 3，AC 46，則二面角 ABC D 的正切值為 ()2A.2B. 2C.2D 14解析： CDC 120°，過 D 作 DEBC于 E，連結(jié) AE，則AED 即為所求又知 AD平面 BC D ，AD 42，在BC D 中，由余弦定理求得BC 43，再由面積公式 SBCD11AD 2.2BC ·DE 2·BD·C D·sin60 知° DE 4，tanAED DE答案： A點評：考查二面角的知識，余弦定理及三角形的邊角計算如何作出二面角的平面角是解決此類

11、問題的關鍵4 3，那么二面角 A BD P15在矩形 ABCD 中，AB 3，AD 4，PA平面 ABCD ，PA 5的度數(shù)是 ()A 30°B 45°C 60°D 75°解析： 如右圖所示，過A 作 AEBD ，垂足為 E，連結(jié) PE，則 PEBD (三垂線定理 )，故PEA 為二面角P BD A 的平面角在 RtBAD 中， AE ABBD·AD 125.PA3在 RtPAE 中， tanPEA AE 3 ，PEA 30°.答案： A16正四棱錐P ABCD 的兩個側(cè)面PAB 與 PCD 互相垂直，則相鄰兩個側(cè)面所成二面角的平面角

12、為 ()A 60°B 90°C 120 °D 150 °解析： 如圖，作BEPC，連結(jié) DE .PDC PBC，DEPCDEB 就是二面角D PC B 的平面角，O 為 DB 的中點，1OEB2DEB ，又面 PAB面PCD ，1PO2AB ，23在 RtPOC 中， OC 2 AB，所以 PC 2 AB.12AB ·AB6OE2236 AB.2 AB22 ABtanOEB 3，66 AB2OEB3，DEB 3 .答案： C17. 如圖，在四棱錐 V ABCD 中，底面 ABCD 是邊長為 2 的正方形，其它四個側(cè)面都是側(cè)棱長為5的等腰三角形，

13、則二面角V ABC 的度數(shù)是 _答案60°18如圖，直角梯形ABCD 中， AB CD ， DAB 2，點 M、 N 分別在 AB， CD 上，且MN AB， MC CB， BC2， MB 4，現(xiàn)將梯形ABCD 沿 MN 折起，使平面AMND 與平面MNCB 垂直 (如圖 )(1)求證： AB平面 DNC ；3(2)當 DN 2時，求二面角D BC N 的大小解： (1)證明： MBNC， MB ?平面 DNC ，NC? 平面 DNC，MB平面DNC.同理 MA 平面DNC ，又 MA MB M，且 MA 、 MB? 平面 MAB.平面MAB平面NCD? AB平面DNC .AB? 平

14、面 MAB(2)過 N 作 NHBC 交 BC 延長線于H ，平面 AMND 平面 MNCB ， DNMN ，DN 平面 MBCN ，從而 DH BC，DHN 為二面角 D BC N 的平面角由 MB 4， BC 2，MCB 90°知MBC 60°，3 3 CN 4 2cos60 ° 3，NH 3sin60 ° 2 .DN3由條件知： tanNHD NH 3 ，NHD 30°.19.如圖，已知在四棱錐P ABCD 中，底面ABCD 是矩形， PA平面 ABCD ， PA AD 1，AB2， E、F 分別是 AB、 PD 的中點(1)求證： AF

15、 平面 PEC ；(2)求 PC 與平面 ABCD 所成的角的正切值；(3)求二面角P ECD 的正切值解： (1)證明：如圖，取PC 的中點 O，連接 OF 、 OE，則 FO DC ，1且 FO2DC，F(xiàn)O AE ，又 E是 AB的中點，且 AB DC，F(xiàn)O AE.四邊形 AEOF 是平行四邊形，AF OE.又 OE? 平面 PEC，AF?平面 PEC，AF 平面PEC.(2)如圖，連接AC，PA平面 ABCD ，PCA 是直線 PC 與平面 ABCD 所成的角在 RtPAC 中，PAtanPCA AC 1 5，55PC 與平面 ABCD 所成的角的正切值為5即直線5 .(3)如圖，作 A

16、MCE，交 CE 的延長線于 M .連接 PM ，由三垂線定理得PM CE，PMA 是二面角 P ECD 的平面角由AME CBE 可得2AM2，PAtanPMA AM2.二面角 PECD 的正切值為2.20. 如圖所示，四棱錐 P ABCD 的底面 ABCD 是邊長為 1 的菱形， BCD 60°， E 是 CD 的中點， PA底面 ABCD ，PA3.(1)證明：平面PBE平面 PAB；(2)求二面角A BE P 的大小(1) 證明如圖所示 ,連接 BD,由 ABCD 是菱形且 BCD 60°知， BCD 是等邊三角形因為 E 是 CD 的中點，所以BE CD .又 A

17、B CD，所以 BE AB.又因為 PA 平面 ABCD ，BE? 平面 ABCD ，所以 PA BE.而 PA AB A，因此 BE 平面 PAB.又 BE? 平面 PBE，所以平面 PBE 平面 PAB.(2)解由 (1) 知， BE 平面 PAB，PB ? 平面 PAB，所以 PB BE.又 ABBE，所以 PBA 是二面角ABE P 的平面角PA在 RtPAB 中， tanPBA AB3，則 PBA 60°.故二面角A BE P 的大小是 60°.21已知平面 外兩點 A、B 到平面 的距離分別為 1 和 2，A、B 兩點在 內(nèi)的射影之間距離為 3，求直線 AB 和

18、平面 所成的角解 (1)如圖 (1) ，當 A、 B 位于平面 同側(cè)時，由點 A、B 分別向平面 作垂線，垂足分別為A1、B1，則 AA1 1，BB12， B1A1 3.過點 A 作 AH BB1 于 H，則 AB 和 所成角即為 HAB .而 tan BAH2 1333 . BAH 30°.(2)如圖 (2) ，當 A、 B 位于平面異側(cè)時，經(jīng)A、 B 分別作 AA 1 于 A1， BB1于 B1，AB C，則 A1 B1 為 AB 在平面 上的射影， BCB1 或 ACA1 為 AB 與平面 所成角 BCB1 ACA1， BB1 B1C 2， B1C2CA1 ，而 B1C CA13，AA1CA123 B1C3. tan BCB1 BB123，B1C233 BCB1 60°， AB 與 所成角為60°.綜合 (1)、 (2)可知： AB 與平面 所成角為30°或 60°.22. 如圖，在三棱錐 P ABC 中， PA底面 ABC， BCA 90°，點 D 、E 分別在棱 PB、PC上，且 DE BC.(1)求證： BC 平面 P