樣本數據特征初步分析

1、第三章第三章 樣本數據特征的樣本數據特征的 初步分析初步分析信息在被操縱或處理后并沒有超出其原有的格式信息在被操縱或處理后并沒有超出其原有的格式 保留了數據的原值保留了數據的原值 ,并按數值的升序或降序顯示數據。并按數值的升序或降序顯示數據。 易觀察到：易觀察到： 數據集中包含最大觀察值和最小觀察值數據集中包含最大觀察值和最小觀察值 確認在某個數據集中哪些數組具有相同的值確認在某個數據集中哪些數組具有相同的值 很容易發(fā)現各個值之間的差異很容易發(fā)現各個值之間的差異 3、樣本數據結構的基本特征：頻次與頻率、樣本數據結構的基本特征：頻次與頻率一、一些基本概念一、一些基本概念1、頻次（頻數）、頻次（頻

2、數） 在有限的樣本數據集合中，同樣的數據值（樣本值）在有限的樣本數據集合中，同樣的數據值（樣本值）出現的次數出現的次數 稱為該樣本值出現的頻次稱為該樣本值出現的頻次。2、頻率、頻率 該樣本值出現的頻次該樣本值出現的頻次 / 該數據集合的數據總數。該數據集合的數據總數。常用表示方法：常用表示方法： （1）表）表 ； （2）餅圖；）餅圖； （3）條形圖；）條形圖；二、樣本數據集合的基本特征的延伸：累積頻率二、樣本數據集合的基本特征的延伸：累積頻率 當樣本數據的測度在順次級以上時，把樣本值小于等于當樣本數據的測度在順次級以上時，把樣本值小于等于某個樣本數據某個樣本數據xi的頻率值累加起來，就得到的頻

3、率值累加起來，就得到“小于等于小于等于xi”的累積頻率。的累積頻率。注：名義級的樣本數據集合，不存在累積頻率問題。注：名義級的樣本數據集合，不存在累積頻率問題。表示法同上。表示法同上。將數據值分成幾組將數據值分成幾組 顯示各組中有多少數值顯示各組中有多少數值很容易發(fā)現數據的圖形特點很容易發(fā)現數據的圖形特點 無法保留原始數據的值無法保留原始數據的值 某個變量所有可能值的集合某個變量所有可能值的集合 顯示了變量的圖形特點顯示了變量的圖形特點 分布分布 P當數據集為小型時，數據之間的變化特點很容易觀察出當數據集為小型時，數據之間的變化特點很容易觀察出來來 P隨著數據集變?yōu)橹行突虼笮?，變量的特性一般?/p>

4、現得越隨著數據集變?yōu)橹行突虼笮?，變量的特性一般表現得越來越不明顯來越不明顯 頻數分布的類別頻數分布的類別 頻數頻數 每一組包含的觀察值數目每一組包含的觀察值數目 組組 組限組限 每一組的上限和下限每一組的上限和下限 組寬組寬 上限和下限之間的間距上限和下限之間的間距 如何將數據轉換成表格如何將數據轉換成表格 ?哪些重要或必要的信息應當包括在內哪些重要或必要的信息應當包括在內 ? 確定確定 “組數組數”和和“組寬組寬 ” 頻數分布一般包括與每組有關的頻數、累積頻數、相對頻數分布一般包括與每組有關的頻數、累積頻數、相對頻數和相對累積頻數頻數和相對累積頻數顯示每組范圍內或其下有多少觀察值顯示每組范圍

5、內或其下有多少觀察值 相對頻數描述每組范圍內觀察值所占的百分比，相對頻數描述每組范圍內觀察值所占的百分比，即每組的頻數除以觀察值的總數目即每組的頻數除以觀察值的總數目 顯示每組范圍內或其下觀察值所占的百分比顯示每組范圍內或其下觀察值所占的百分比 對于定性變量而言對于定性變量而言 -常常根據變量結果的種類來選擇組常常根據變量結果的種類來選擇組 例如，為了研究本班例如，為了研究本班100名學生的性別名學生的性別 - 頻數 累積頻數 男性 60 60 女性 40 100 100 對于定量變量而言對于定量變量而言 -選擇選擇“組數組數” 和和“組寬組寬 ”是主要問題是主要問題應當遵循哪些基本原則來確定

6、組應當遵循哪些基本原則來確定組 -1.各個組之間必須是各個組之間必須是“相互排斥相互排斥”的的 2.各個組必須將各個組必須將“所有數據均包括在內所有數據均包括在內” 3.組數組數K 的經驗法則的經驗法則 2K n ,此處此處n代表觀察值的總數目代表觀察值的總數目4. 各組之間的寬度最好相等，但這并不是必要條件。各組之間的寬度最好相等，但這并不是必要條件。當組寬相等時，當組寬相等時， W nW 最小觀察值最大觀察值 5.應當盡量避免開口組應當盡量避免開口組 6.組寬最好是整數組寬最好是整數 例如例如,為了研究某班為了研究某班100名學生的身高名學生的身高 -我們確定將整個數據分成我們確定將整個數

7、據分成5組，每組寬度相等，組，每組寬度相等，W = 10厘米厘米 身高 (厘米) 頻數 累積頻數 相對頻數 相對累積頻數 140 150 6 6 0.06 0.06 150 160 23 29 0.23 0.29 160 170 36 65 0.36 0.65 170 180 28 93 0.28 0.93 180 190 7 100 0.07 1.00 100 1.00 1. 一張整理有序的表格可以使數據中隱藏的信息清楚地表現出一張整理有序的表格可以使數據中隱藏的信息清楚地表現出 來來2. 有助于采用圖形方式來匯總數據有助于采用圖形方式來匯總數據 3數據集表格不具有唯一性數據集表格不具有唯一

8、性以下數據表示一個當地咖啡館進行的以下數據表示一個當地咖啡館進行的30筆交易筆交易 -確定確定“組數組數” 和和“組寬組寬 ”樣本大小樣本大小 n =3025 = 32 305 組組最小觀察值最小觀察值 = 14,最大觀察值最大觀察值 = 83最好采用最好采用“整數整數” W = 15 組組數數 組寬組寬 8 .1351483 組 別 頻 數 累 積 頻 數 相 對 頻 數 相對累積頻數 10 25 4 4 133. 0304 0.133 25 40 6 4+6=10 200. 0306 0.333 40 55 8 10+8=18 267. 0308 0.600 55 70 7 25 233.

9、 0307 0.833 70 85 5 30 167. 0305 1.000 30 1.000 數據必須按照升序排列數據必須按照升序排列 為了構造圖形，我們將數值的第一個數字作為莖為了構造圖形，我們將數值的第一個數字作為莖 莖葉排列使我們可以通過圖形來了解數據的分布莖葉排列使我們可以通過圖形來了解數據的分布 例如例如,我們想將我們想將12個數據轉換成一張莖葉圖形個數據轉換成一張莖葉圖形 : 4.4 3.6 4.4 3.7 7.6 3.9 3.6 3.5 3.0 4.5 3.8 2.22| 23| 0 5 6 6 7 8 94| 4 4 55|6|7| 6 三種最常使用的圖形類型三種最常使用的圖

10、形類型 - 直方圖直方圖 頻數多邊形頻數多邊形 分布曲線分布曲線 在構造圖形之前，需要用頻數分布來顯示數據在構造圖形之前，需要用頻數分布來顯示數據 應當將數據轉換成頻數分布表應當將數據轉換成頻數分布表 水平軸代表變量的數值，核對符號代表每一組的中點水平軸代表變量的數值，核對符號代表每一組的中點 垂直軸代表計數頻數或百分比頻數垂直軸代表計數頻數或百分比頻數 每個條形圖的高度與每一組的頻數或百分比相對應每個條形圖的高度與每一組的頻數或百分比相對應 每個條形圖的寬度與每一組的寬度相對應每個條形圖的寬度與每一組的寬度相對應 例如，我們在本單元中想通過繪制直方圖來表示例如，我們在本單元中想通過繪制直方圖

11、來表示100名學生的身名學生的身高分布高分布 身高身高185.0175.0165.0155.0145.0計數頻數計數頻數403020100身高身高190.0180.0170.0160.0150.0計數頻數計數頻數403020100200.0140.0用線段將各組中點和頻數（或相對頻數）的交叉點連接起來，用線段將各組中點和頻數（或相對頻數）的交叉點連接起來，就可以得到頻數多邊形圖形就可以得到頻數多邊形圖形 身高身高.190.0180.0170.0160.0150.0累積計數頻數累積計數頻數806040200140.0100圖形顯示了每一組的累積頻圖形顯示了每一組的累積頻數或相對累積頻數數或相對累

12、積頻數 它可以用它可以用“小于小于”或或“大于大于”來表示來表示 定性變量定性變量常常用非數值刻度來測量常常用非數值刻度來測量 對這些變量可以進行分類對這些變量可以進行分類 可以采用兩種最為常見的圖形來描述定性變量的分布可以采用兩種最為常見的圖形來描述定性變量的分布 餅圖餅圖 條形圖條形圖 餅圖餅圖的圓圈代表了所有觀察值的集合的圓圈代表了所有觀察值的集合 根據定性變量的類型數目將餅圖分成幾個部分根據定性變量的類型數目將餅圖分成幾個部分 餅圖每一部分的大小與每一類型的相對頻數成正比餅圖每一部分的大小與每一類型的相對頻數成正比 例如，我們可以用餅圖來描述某班例如，我們可以用餅圖來描述某班100名學

13、生的性別分布狀名學生的性別分布狀況況 男性男性60%女性女性40% 對于定性變量而言，條形圖表示每一類型的百分比或對于定性變量而言，條形圖表示每一類型的百分比或 計數頻數計數頻數 每個條形圖的高度代表每一類型的百分比或比例每個條形圖的高度代表每一類型的百分比或比例 條形圖的寬度沒有意義，所有類型的寬度均相同條形圖的寬度沒有意義，所有類型的寬度均相同 例如，我們用條形圖來顯示某班例如，我們用條形圖來顯示某班100名學生的性別分布狀況名學生的性別分布狀況020406080男性男性女性女性 餅圖餅圖 :圖形圖形 餅圖餅圖 對各組情形進行總結對各組情形進行總結 條形圖條形圖 :圖形圖形 條形圖條形圖

14、對各組情形進行總結對各組情形進行總結 直方圖直方圖 :圖形圖形 直方圖直方圖 選擇關心的變量選擇關心的變量 莖葉圖形莖葉圖形 :分析分析 描述統(tǒng)計學描述統(tǒng)計學 尋找尋找 選擇繪圖選項選擇繪圖選項 所有觀察值所有觀察值 的平均值的平均值均值均值 所有觀察值中位于最中心位置的那個值所有觀察值中位于最中心位置的那個值 中位數中位數 出現最頻繁的數據值出現最頻繁的數據值 眾數眾數 均值均值 -總體均值總體均值 N總體大小總體中所有觀察值之和Nx樣本均值樣本均值 n樣本大小樣本中所有觀察值之和nxxKim 測驗的平均成績等于測驗的平均成績等于 在此我們可以看到，在匯總在此我們可以看到，在匯總Kim的測驗

15、成績時，均值并不能發(fā)揮的測驗成績時，均值并不能發(fā)揮很好的作用。在大多數情況下，很好的作用。在大多數情況下，Kim的測驗成績低于的測驗成績低于30分，她只分，她只在一次測驗中意外地獲得了在一次測驗中意外地獲得了98的高分，因此她的平均成績被提高的高分，因此她的平均成績被提高到到35分。分。 355261925987 Kim是一名中等學校的學生，她上星期進行了是一名中等學校的學生，她上星期進行了5次測驗，成次測驗，成績分別如下績分別如下 7, 98, 25, 19, 和和26均值對極值表現得非常敏感均值對極值表現得非常敏感 如果數據中存在極值（或者說數據分布有所偏斜），那么如果數據中存在極值（或者

16、說數據分布有所偏斜），那么均值就不能很好地測度集中趨勢均值就不能很好地測度集中趨勢 中位數中位數 (Md) -1.將將n個觀察值按升序或降序排列個觀察值按升序或降序排列 2.如果觀察值個數是奇數，則中位數就是位于最中心位置的那個觀如果觀察值個數是奇數，則中位數就是位于最中心位置的那個觀察值，即數據集中的第察值，即數據集中的第 個觀察值個觀察值 3.如果觀察值個數是偶數，則中位數就是位于正中心兩個觀察值的如果觀察值個數是偶數，則中位數就是位于正中心兩個觀察值的平均值，即數據集中的第平均值，即數據集中的第 個和第個和第 個觀察值的平均值個觀察值的平均值 thn)21( thn)2(thn)12(

17、舉例舉例: 有有6名工人組成一個樣本，請找出他們每周工資的中位名工人組成一個樣本，請找出他們每周工資的中位數數 151179163142180195按升序重新排列每周的工資按升序重新排列每周的工資 142151163179180195 最中心位置的最中心位置的兩個兩個數值數值 求這兩個數值的平均數求這兩個數值的平均數 中位數中位數 = 1712179163 Kim的5次測驗成績 又如何呢?Kim成績的中位數為成績的中位數為25看來中位數能更好地測度看來中位數能更好地測度Kim測驗成績的中心位置測驗成績的中心位置 -中位數不受中位數不受“極值極值”的影響的影響 眾數眾數 (Mo) -并不經常用眾

18、數來測度中心位置并不經常用眾數來測度中心位置適用于定性變量適用于定性變量 眾數不具有唯一性眾數不具有唯一性 舉例舉例: 有有6名工人組成一個樣本，請找出他們每周工資的眾數名工人組成一個樣本，請找出他們每周工資的眾數 151 179 163 142 180 195 不存在不存在 眾數眾數 151 180 163 142 180 195 180 142 180 163 142 180 195 142 和和180 (雙峰雙峰 )對對兩個旅行團的小孩年齡進行了數據調查，以下是調兩個旅行團的小孩年齡進行了數據調查，以下是調查結果：查結果： -年齡年齡 : 14, 17, 11, 10, 11, 14,

19、9, 12, 8, 10, 9均值均值 36.11119.111714 中位數中位數 11眾數眾數 9, 10 , 11 和和 14 (有有4 個眾數個眾數 ) age: 9, 14, 8, 10, 13, 7, 9, 11, 16, 10, 12, 9均值均值 67.10129.149 中位數中位數 10眾數眾數 9均值、中位數和眾數之間的關系均值、中位數和眾數之間的關系 -1. 對稱分布對稱分布 (均值均值 = Md = Mo) 均值均值 = Md = Mo均值、中位數和眾數之間的關系均值、中位數和眾數之間的關系 -2.傾向左側傾向左側 (均值均值 Md Md Mo) MdMo均值均值為了

20、計算分組數據的為了計算分組數據的均值均值 計算每一組的中點計算每一組的中點 假設觀察值都落在各組的中點上假設觀察值都落在各組的中點上 總體均值總體均值 樣本均值樣本均值 Nfx nfxX 下列頻數分布顯示了某家公司下列頻數分布顯示了某家公司50名工人的每周工資名工人的每周工資收入，估計每周工資的平均水平收入，估計每周工資的平均水平 每周工資收入 工人人數(f) 140 149 4 150 159 6 160 169 9 170 179 12 180 189 9 190 199 7 200 209 3 每周工資收入 工人人數(f) 中中點點 (x) fx 140 149 4 144.5 578.

21、0 150 159 6 154.5 927.0 160 169 9 164.5 1480.5 170 179 12 174.5 2094.0 180 189 9 184.5 1660.5 190 199 7 194.5 1361.5 200 209 3 204.5 613.5 50 fN 0 .8715fx 3 .174500 .8715 Nfx 每周的平均工資每周的平均工資為了計算分組數據的為了計算分組數據的中位數中位數 計算每一組的累積頻數計算每一組的累積頻數 包括包括“最中心位置最中心位置” 觀察值的那一組就是觀察值的那一組就是“中位數組中位數組” ddMMdfcnwLM 2LMd :中

22、位數組的下中位數組的下 限限fMd :中位數組的頻數中位數組的頻數 w :中位數組的寬度中位數組的寬度 c :位于中位數組之前那一組的累位于中位數組之前那一組的累積頻數積頻數 繼續(xù)討論前面的例子，即計算繼續(xù)討論前面的例子，即計算50名工人每周工資名工人每周工資收入的中位數收入的中位數每周工資收入 實際組限 工人人數(f) c.f. 140 149 139.5 149.5 4 4 150 159 149.5 159.5 6 10 160 169 159.5 169.5 9 19 170 179 169.5 179.5 12 31 包括最中心數值的那一組 180 189 179.5 189.5 9

23、 40 190 199 189.5 199.5 7 47 200 209 199.5 209.5 3 50 LMd = 169.5fMd = 12w = 10c = 19中位數組中位數組 170 1795 .17455 .169126105 .1691219250105 .1692 ddMMdfcnwLM每周工資收入的中位數每周工資收入的中位數為了計算分組數據的為了計算分組數據的眾數眾數 出現最頻繁的那一組就是出現最頻繁的那一組就是“眾數組眾數組” 2110dddwLMMo LMo :眾數組的下限眾數組的下限 d1 : 眾數組眾數組的頻數減去眾數組的頻數減去眾數組之前之前那那一組的頻數一組的頻

24、數 w :眾數組的寬度眾數組的寬度 d2 : 眾數組眾數組的頻數減去眾數組的頻數減去眾數組之后之后那那一組的頻數一組的頻數 繼續(xù)討論前面的例子，即計算繼續(xù)討論前面的例子，即計算50名工人每周工資收入的眾數名工人每周工資收入的眾數每周工資收入 實際組限 工人人數(f) 140 149 139.5 149.5 4 150 159 149.5 159.5 6 160 169 159.5 169.5 9 170 179 169.5 179.5 12 出現最頻繁的那一組 180 189 179.5 189.5 9 190 199 189.5 199.5 7 200 209 199.5 209.5 3 L

25、Mo = 169.5w = 10d1 = 12 9 = 3眾數組眾數組 170 1795 .17455 .16963105 .169333105 .169211 dddwLMOMo每周工資收入的眾數每周工資收入的眾數d2 = 12 9 = 3 優(yōu)點 缺點 均值 1. 直觀清晰 2. 可用于比較定量 數據集 1. 可能會受極值影響 2. 計算煩瑣 3. 如果數據集有開口組，則無法對其進行計算 4. 不適用于定性變量 中位數 1. 不受極值影響 2. 可用于計算有開口組的數據集 3. 適用于定量變量和按順序排列的定性變量 1. 很費時間 2. 在進行統(tǒng)計推斷時，可靠性比“均值”要差 眾數 1. 不

26、受極值影響 2. 可用于計算有開口組的數據集 1. 有些數據集沒有 眾數 2. 可能會出現多個眾數 舉例舉例:A A列數據列數據: : 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65均值均值 = Md = Mo = 60B B列數據列數據: : 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85均值均值= Md = Mo = 60測度離中趨勢最常用的三種方法測度離中趨勢最常用的三種方法 -1.全距全距 2.標準差標準差 (SD)3.變異系數變異系數 (CV)全距全距 =最大觀察值最大觀察值 最小觀察值最小觀察值 全距有兩個主要缺點全距有兩個主要缺點 -1.對數據

27、集中的極值顯得非常敏感對數據集中的極值顯得非常敏感 2. 忽略了位于最大觀察值與最小觀察值之間的數據是如忽略了位于最大觀察值與最小觀察值之間的數據是如何分布的何分布的有有5名工人組成一個樣本，請找出他們每周工資的全距名工人組成一個樣本，請找出他們每周工資的全距 151179163142180X最大值最大值 = 180X最小值最小值 = 142全距全距 = 180 142 = 38標準差可以讓我們大致了解數據值距離標準差可以讓我們大致了解數據值距離均值有多遠均值有多遠 標準差標準差 總體標準差總體標準差 , Nx2)( 樣本標準差樣本標準差 , s1)(2 nXxs計算標準差的其他公式計算標準差

28、的其他公式 總體標準差總體標準差 :222)( NxNx樣本標準差樣本標準差 :11)(222 nXnxnXxs舉例：舉例：有有5名工人組成一個名工人組成一個總體總體，請找出他們每周工資的標準差，請找出他們每周工資的標準差 151179163142180X X (X )2 151 -12 144 179 16 256 163 0 0 142 -21 441 180 17 289 X = 815 (X )2=1130 1635815 Nx 03.1551130)(2 Nx 數據分布的經驗法則數據分布的經驗法則 -當數據集接近對稱分布時當數據集接近對稱分布時 ，則大約，則大約 68.3 %的數據落

29、在均值的的數據落在均值的1倍標準差范圍內倍標準差范圍內 95.5 %的數據落在均值的的數據落在均值的2倍標準差范圍內倍標準差范圍內 99.7 5%的數據落在均值的的數據落在均值的3倍標準差范圍內倍標準差范圍內 測量數據相對于均值的離中趨勢測量數據相對于均值的離中趨勢 變異系數變異系數 (CV)%100均值標準差CV? 什么時候采用變異系數什么時候采用變異系數 (CV) 來測度離中趨勢來測度離中趨勢 ? 比較具有不同單位的數據集比較具有不同單位的數據集 比較具有不同幅度的數據集比較具有不同幅度的數據集 舉例舉例:例如，我們想比較例如，我們想比較1993年年2月至月至1994年年1月期間黃金和鋅塊

30、的月期間黃金和鋅塊的價格波動情況，我們收集了價格數據并得出如下計算結果：價格波動情況，我們收集了價格數據并得出如下計算結果： 42.364$ X黃金黃金:4592. 0$ X鋅塊鋅塊 :每盎司每盎司 50.21$ s每磅每磅 0247. 0$ sCV表示每種商品相對于其自身平均價格的波動幅度表示每種商品相對于其自身平均價格的波動幅度 ：黃金黃金:鋅塊鋅塊 :%9 . 5%10042.36250.21 CV%38. 5%1004592. 00247. 0 CV為了計算分組數據的為了計算分組數據的標準差標準差 計算每一組的中點計算每一組的中點 假設觀察值都落在各組的中點上假設觀察值都落在各組的中點

31、上 總體標準差總體標準差 樣本標準差樣本標準差 Nxf2)( 1)(2 nXxfs總體標準總體標準差差 Nxf2)( 1)(2 nXxfs樣本標準差樣本標準差 計算標準差的其他公式計算標準差的其他公式 舉例舉例：計算工人每周工資的計算工人每周工資的總體總體標準差標準差 -每周工資收入 工人人數(f) 140 149 4 150 159 6 160 169 9 170 179 12 180 189 9 190 199 7 200 209 3 每周工資收入 工人人數( f) 中點中點 (x) (x )(x )2 f(x )2 140 149 4 144.5 -29.8 888.04 3552.16

32、 150 159 6 154.5 -19.8 392.04 2352.24 160 169 9 164.5 - 9.8 96.04 864.36 170 179 12 174.5 -0.2 0.04 0.48 180 189 9 184.5 -10.2 104.04 936.36 190 199 7 194.5 20.2 408.05 2856.28 200 209 3 204.5 30.2 912.04 2736.12 N = f = 50 f (x )2 = 13298 31.165013298)(2 Nxf 總體標準差總體標準差 計算工人每周工資的計算工人每周工資的樣本樣本標準差標準差每周工資收入 工人人數(f) 140 149 4 150 159 6 160 169 9 170 179 12 180 189 9 190 199 7 200 209 3 每周工資收入 工人人數( f) 中點中點 (x) (x )(x )2 f(x )2 140 149 4 144.5 -29.8 888.04 3552.16 150 159 6 154.5 -19.8 392.04 2352.24